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38. **Problema:** Determine os valores de \( k \) para os quais a equação \( x^2 + kxy + 
4y^2 = 1 \) representa uma elipse. 
 - **Resolução:** Utilize o discriminante da equação para determinar as condições 
sobre \( k \). 
 - **Resposta:** A equação representa uma elipse para \( -4 < k < 4 \). 
 
39. **Problema:** Encontre a equação do plano que contém a linha \( \frac{x - 1}{2} = 
\frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{-1} \) e é perpendicular ao plano \( x - y + z = 1 \). 
 - **Resolução:** Determine um vetor normal ao plano dado e utilize-o para encontrar a 
equação do plano procurado. 
 - **Resposta:** A equação do plano é \( 2x + 3y - z = 11 \). 
 
40. **Problema:** Determine a área da região limitada pelo círculo \( x^2 + y^2 = 4 \) que 
está no primeiro quadrante. 
 - **Resolução:** Calcule a integral dupla sobre a região desejada. 
 - **Resposta:** A área é \( 2\pi \) unidades quadradas. 
 
41. **Problema:** Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
pela curva \( y = \sqrt{x} \), o eixo \( x \) e as retas \( x = 1 \) e \( x = 4 \) em torno da linha \( y 
= -1 \). 
 - **Resolução:** Utilize o método dos discos ou anéis para encontrar o volume. 
 - **Resposta:** O volume é \( \frac{167\pi}{10} \) unidades cúbicas. 
 
42. **Problema:** Determine os valores de \( k \) para os quais a equação \( x^2 + 4xy + k 
y^2 = 1 \) representa uma hipérbole. 
 - **Resolução:** Utilize o discriminante da equação para determinar as condições 
sobre \( k \). 
 - **Resposta:** A equação representa uma hipérbole para \( k > 0 \) ou \( k < -4 \). 
 
43. **Problema:** Encontre a equação do plano tangente à superfície \( z = x^2 - y^2 \) no 
ponto \( (1, -1, 0) \). 
 - **Resolução:** Calcule os gradientes parciais da função \( z \) e utilize-os para 
determinar a equação do plano tangente. 
 - **Resposta:** A equação do plano tangente é \( x - y = 2 \).