unid_2 Complementos de Sistemas Estruturais (Madeira e Metais)

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Unidade II
Unidade II
5 MADEIRAS PARA ESTRUTURAS
5.1 Generalidades
A madeira é amplamente utilizada na construção civil desde épocas pré-históricas, em função da 
sua abundância na natureza, sua facilidade no manuseio e por ser um material que não exige grandes 
recursos para a extração da natureza, além de ser renovável.
A madeira e a pedra eram os materiais mais importantes das obras de engenharia até o século XIX 
e usualmente utilizados em conjunto. Porém, somente durante as primeiras décadas do século XX 
foram desenvolvidos cálculos teóricos direcionados às estruturas de madeira, possibilitando que hoje 
tenhamos métodos seguros para o dimensionamento dos mais variados elementos estruturais que 
compõem uma construção.
Atualmente, com as modernas técnicas de reflorestamento associadas ao desenvolvimento de 
produtos industrializados, sua utilização é economicamente competitiva, mesmo com as regulamentações 
ecológicas mais rigorosas, pois as pesquisas e os avanços realizados na área de comportamento mecânico 
da madeira em sistemas estruturais têm ampliado seu uso como material da construção civil.
Segundo Dias (2018, p. 66), “a madeira para a construção DEVE vir de florestas de manejo florestal 
sustentável. E nós devemos exigir que sejam dessa maneira”.
Em comparação aos materiais da construção civil convencionais amplamente utilizados nos dias atuais, 
como o aço e o concreto, a resistência/peso e isolação térmica são ótimas características a favor da madeira. 
Em contrapartida, por ser um material orgânico, está sujeita a ações naturais, imperfeições em sua composição, 
ações de fungos, insetos e fogo. Porém, essas desvantagens são facilmente corrigidas com produtos 
específicos, industrializados, para madeira.
As utilizações práticas da madeira podem ser em pontes, casas, estruturas de cobertura, andaimes, 
formas para estruturas de concreto, escoramentos, forros, pisos, rodapés etc.
A madeira, por ter resistência equivalente à do concreto, está começando a ser empregada em 
construções de prédios de vários pavimentos em todo o mundo. Com a madeira industrializada, é 
possível produzir elementos estruturais com as mesmas dimensões das peças de concreto.
Já existem prédios construídos em madeira, com 18 pavimentos, totalizando 53 m, em Vancouver 
(Canadá). No Brasil, está em andamento um projeto para um prédio de 13 pavimentos a ser construído 
em São Paulo, com madeira de reflorestamento e origem 100% certificada.
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Como podemos observar, a crescente necessidade de utilização de matérias-primas renováveis aliada 
à conscientização da sociedade está contribuindo para o desenvolvimento de construções com madeiras 
provenientes de áreas de reflorestamento e certificadas por empresas qualificadas.
As fontes das madeiras são as florestas, que podem ser plantadas ou nativas.
•	 Florestas plantadas: têm como objetivo produzir matéria-prima para as indústrias de madeira 
serrada, cuja implantação, manutenção e exploração seguem projetos aprovados pelo Instituto 
Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis (Ibama). No Brasil, em geral, são 
constituídas por eucalipto e pínus.
•	 Florestas nativas: são exploradas para atender ao mercado de duas maneiras – por meio 
de manejo florestal, que possibilita a exploração planejada e controlada da mata, ou através de 
exploração extrativista, sem controle.
O manejo florestal é a forma correta para a utilização dos recursos naturais, em função de utilizar 
o princípio de sustentabilidade, prevendo, assim, um uso que permite a recomposição da floresta e 
possibilitando sua viabilização econômica, social e ambiental.
 Saiba mais
Para um melhor entendimento sobre manejo florestal, indicamos a 
leitura a seguir:
FLORESTAS PARA TODOS, PARA SEMPRE. Sobre o FSC Brasil: [on-line]: 
[s.d.]. Disponível em: https://br.fsc.org/pt-br/fsc-brasil. Acesso em: 2 abr. 2019.
5.2 Classificação das madeiras
No caso das seções sujeitas a esforços de flexão, dividimos o seu estudo, separando-as em dois 
grupos, em função das solicitações normais atuantes, segundo as denominações a seguir.
As madeiras duras são originárias das árvores dicotiledôneas, com folhas achatadas e largas, cujo 
crescimento é lento, tais como: ipê, aroeira, peroba, carvalho e outras.
Essas madeiras de melhor qualidade costumam ser chamadas, no Brasil, de madeiras de lei. Fora 
das áreas de preservação ambiental, atualmente, esse tipo só existe em locais distantes dos grandes 
centros consumidores.
As madeiras macias são originárias das árvores coníferas, com folhas em forma de agulhas ou 
escamas e sementes agrupadas em forma de cone, cujo crescimento é rápido, tais como: pinheiros, 
cedros, sequoias e outras.
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Unidade II
Comercialmente, as madeiras são classificadas de acordo com sua qualidade:
•	 Primeira categoria: são classificadas como isentas de defeitos, através de método visual 
normalizado, e também submetidas a uma avaliação mecânica que garanta a homogeneidade 
da rigidez das peças que compõem o lote de madeira. São muito caras e utilizadas em 
situações especiais.
•	 Segunda categoria: são aquelas que apresentam poucos defeitos. No caso de nós, eles devem ser 
firmes. São as mais utilizadas na construção civil, principalmente com função estrutural.
•	 Terceira categoria: são aquelas que demonstram uma maior incidência de defeitos. Não são 
utilizadas com função estrutural.
 Lembrete
O manejo florestal é a forma correta para a utilização dos recursos 
naturais em função de utilizar o princípio de sustentabilidade.
A seguir, são listados os sete tipos de madeiras mais comuns utilizados nas construções, sendo os 
três primeiros em madeiras maciças e os demais em madeiras industrializadas: madeira roliça, madeira 
falquejada ou lavrada, madeira serrada, madeira laminada colada, madeira laminada colada cruzada, 
madeira compensada e madeira recomposta.
•	 Madeira roliça: utilizada na forma de troncos sem a casca, é comumente usada em escoramentos, 
postes e colunas. Os tipos mais comuns no Brasil são o eucalipto e o pinho-do-paraná.
•	 Madeira falquejada ou lavrada: trata-se de madeira obtida por meio de corte com machado, 
de forma que as partes laterais são retiradas, formando uma peça de seção retangular. Seu uso é 
mais comum em antigos dormentes de madeira, estacas, cortinas cravadas e pontes.
•	 Madeira serrada: é aquela que resulta diretamente das toras, constituída por peças cortadas 
longitudinalmente através de serra, independentemente de suas dimensões, de seção retangular 
ou quadrada.
•	 Madeira laminada colada (MLC): também conhecida pela sigla MLC, é um tipo de produto 
estrutural de madeira que compreende várias lâminas de madeira, coladas com adesivos estruturais 
duráveis e resistentes à umidade. Laminação, por definição, são pequenos pedaços de madeira 
colados entre si, formando um único elemento, grande, forte e estrutural. Esses elementos 
estruturais são utilizados como pilares e vigas.
A madeira laminada colada, como outros produtos de madeira, representa um uso eficiente 
da madeira disponível. Enquanto a demanda continua a aumentar em todo o mundo, ocorre uma 
redução das madeiras de alta qualidade e grande diâmetro. Em função dos fatos já mencionados e 
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COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
combinados com as preocupações ambientais e as mudanças nas práticas de gestão florestal para 
obter madeira maciça, fica cada vez mais caro e difícil de se conseguir. Por isso, a MLC faz o uso 
das menores dimensões da madeira, mas que são associadas para serem mais fortes e de mesmas 
dimensões que as madeiras maciças.
O MLC é o produto estrutural de madeira mais importante nos países da Europa e da América do 
Norte. A madeira selecionada é cortada em lâminas, de 15 mm a 50 mm de espessura, que são coladas sob 
pressão, transformando-se em grandes vigas e pilares para a construção. Para a obtenção de elementos 
estruturais degrandes comprimentos, as lâminas podem ser emendadas, com defasagem, de modo a evitar 
mais de uma emenda na mesma seção.
•	 Madeira laminada colada cruzada (CLT – Cross Laminated Timber): é um produto 
fabricado com 3, 5 ou 7 camadas ortogonais de madeira laminada serrada, que são coladas 
com adesivos estruturais a fim de formar painéis retangulares para utilização, como lajes, 
paredes de fechamento e paredes estruturais. No caso de paredes, podem ser encomendados 
com aberturas para portas e janelas. O conceito para a fabricação é muito parecido com o 
utilizado nas placas de madeira compensada. O único avanço tecnológico trazido pela CLT é a 
possibilidade de produzir painéis de grandes dimensões, podendo chegar até 3,0 m x 12,0 m, e 
grandes espessuras, podendo chegar a 300 mm.
•	 Madeira compensada: é um produto fabricado pela colagem de três ou mais lâminas em camadas 
ortogonais de madeira laminada, cujas lâminas, de um modo geral, possuem espessuras entre 1 mm 
e 5 mm. As chapas de compensado são fabricadas com dimensões de 1,6 m x 2,2 m e espessuras entre 
4 mm e 25 mm. O compensado pode ter qualidade inferior pela possibilidade de existência de nós e 
vazios. É por isso que o material é mais utilizado para a fabricação de mobiliário, revestimentos de 
tetos e paredes, além de formas de concreto.
•	 Madeira recomposta: sob essa denominação, encontram-se produtos na forma de placas, 
desenvolvidos a partir de resíduos de madeira em flocos, lamelas ou partículas. Em geral, não 
são considerados materiais de construção devido à baixa resistência e durabilidade, sendo muito 
utilizados na indústria de móveis.
 Saiba mais
Para conhecer melhor a madeira laminada colada, sugerimos uma 
pesquisa nos sites a seguir:
http://techne17.pini.com.br
http://www.remade.com.br
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Unidade II
5.3 Características e propriedades das madeiras
5.3.1 Características biológicas das árvores
As árvores crescem através da adição de camadas externas sob a casca. A figura adiante indica quatro 
partes distintas e bem definidas, com características e funções diferentes. A partir do centro, temos a 
medula, que representa um tecido macio e sem interesse de utilização, necessitando de remoção quando 
do beneficiamento do tronco. Logo a seguir, encontramos o cerne, que é constituído de células inativas 
e coloração mais escura; é a parte da árvore mais indicada para uso estrutural. Na sequência, temos o 
alburno ou branco, que representa a camada formada por células vivas que conduzem a seiva a partir das 
raízes, com espessura geralmente em torno de 3 a 5 cm, dependendo da espécie. Por último, temos a casca, 
que é a proteção externa da árvore, devendo ser sempre removida para melhor secagem do tronco.
Lembramos que a utilização do alburno exige cuidados especiais, principalmente quanto à 
possibilidade de deterioração, pois apresenta grande quantidade de seiva, alimento principal dos fungos 
e insetos deterioradores da madeira. O crescimento do tronco se faz através de anéis anuais, chamados 
de anéis de crescimento, e, a partir da contagem deles, podemos estimar a idade da árvore. Os anéis são 
gerados por divisão de células em uma camada microscópica situada sob a casca, chamada de câmbio 
ou líber, que também produz as células da casca.
Casca
Alburno ou branco
Câmbio ou líber
Cerne ou durâmen
Medula
Anéis de crescimento anual
Raios medulares
Figura 47 – Seção transversal de um tronco mostrando camadas
Figura 48 – Seção transversal de um tronco (camadas à mostra)
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6 PROPRIEDADES FÍSICAS DAS MADEIRAS
Vejamos a seguir quais são as propriedades físicas da madeira.
Anisotropia
A madeira é um material anisotrópico, pois há variação de suas propriedades nas três principais 
direções: radial, tangencial e longitudinal. A direção longitudinal é comumente designada como direção 
paralela às fibras. Quanto às direções radial e tangencial, na prática, em função da pequena variação das 
propriedades, são agrupadas em uma só, denominadas direção normal às fibras.
Longitudinal
Tangencial
Radial
Figura 49 – Direções principais em relação às fibras de uma peça de madeira
Umidade
A influência da umidade na madeira é de extrema importância.
O teor de umidade é a relação entre a massa de água contida na madeira e a massa da madeira seca, 
dado por:
( ) i s
s
m m
U % x1 00
m
−
=
Onde:
•	 mi é a massa inicial da madeira, em gramas;
•	 ms é a massa da madeira seca, em gramas.
100
Unidade II
Para a determinação da umidade nas amostras da madeira, deve ser respeitada a orientação descrita 
na NBR 7190:1997 (ABNT, 1997).
A seguir, é apresentado o esquema da composição geral da amostra:
Madeira sólida
Água livre
Água impregnada
Figura 50 – Composição de uma amostra de madeira
•	 Madeira sólida: sem teor de umidade.
•	 Água livre: inclusa nas cavidades das células, pode ser eliminada por secagem.
•	 Água impregnada: inclusa nas paredes das células, difícil de ser eliminada por secagem.
O teor de referência para aplicação estrutural é de 12% conforme a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997).
A umidade na madeira é um aspecto que influi diretamente na sua resistência como estrutura.
A madeira é higroscópica, o que significa que ela funciona como uma 
“esponja”, trocando umidade com o meio ambiente em que ela se encontra. 
Se o ar estiver seco, como em dias muito quentes, ela cede umidade, e se o 
ar estiver úmido como em dias chuvosos, ela absorve a umidade do ar na 
forma de vapor (DIAS, 2018, p. 98).
 Observação
Conforme a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), a madeira serrada, a madeira 
laminada colada e a madeira compensada, com teor de umidade igual ou 
superior a 18%, têm a sua resistência reduzida em 20%.
Densidade
massa seca
densidade básica
volume saturado
=
101
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Para valor de referência, conforme literatura internacional:
( )massa a1 2% padrão
densidade aparente
volume saturado
=
Retração
Consiste na redução ou expansão das dimensões da madeira, que ocorrem em função da perda ou do 
ganho de umidade, respectivamente. Esse fenômeno é mais intenso na direção perpendicular às fibras, 
sendo praticamente desprezível na direção longitudinal.
Dilatação térmica
O coeficiente de dilatação térmica, na direção longitudinal às fibras, é da ordem de 1/3 do valor 
do coeficiente correspondente ao aço, enquanto que, na direção perpendicular, varia de 4 a 7 vezes o 
coeficiente de dilatação térmica do aço.
Resistência da madeira ao fogo
A madeira tem uma boa resistência ao fogo, ao contrário do que se imagina. Uma peça exposta 
ao fogo torna-se um combustível para disseminação das chamas, mas, depois de alguns minutos de 
queima, sua camada externa carbonizada vira um isolante térmico, adiando a ação do incêndio.
As peças robustas de madeira possuem excelente resistência ao fogo, pois se oxidam lentamente 
devido à baixa condutividade de calor, guardando um núcleo de material íntegro (com propriedades 
mecânicas inalteradas) por longo período de tempo. Já as peças esbeltas de madeira e as peças metálicas 
das ligações requerem proteção contra a ação do fogo.
 Lembrete
A madeira é um material anisotrópico, pois há variação de suas 
propriedades nas três principais direções: radial, tangencial e longitudinal.
Durabilidade natural
Em princípio, a madeira como material de construção é durável, dependendo da espécie utilizada. 
Quando escolhida (espécie apropriada) e mantida adequadamente, pode durar centenas de anos. 
Produtos preservantes modernos para a madeira aumentam sua durabilidade.
Já existem vários edifícios no mundo construídos com madeira, como o Butler Square Building, em 
Minneapólis, que já tem mais de cem anos e permanece intacto (DIAS, 2018).
Highlight
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Unidade II
 Saiba mais
A fim de obter conhecimento adicional sobre um sistema de categorias 
de uso para madeiras, com foco no tratamento preservativo para aumento da 
durabilidade dos sistemas construtivos,leia:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 16143 – 
Preservação de madeiras – Sistema de categorias de uso. Rio de Janeiro: ABNT, 2013a.
Resistência química
A maioria das espécies catalogadas possui boa resistência à atividade química. Esse fator é 
amplamente adotado como solução em ambientes com agressividade química.
Deterioração por fungos ou insetos
Problemas relacionados a fungos ou insetos xilófagos (cupins e brocas) são, em geral, o resultado 
de pouca atenção aos detalhes da construção, que permitem a exposição da madeira à umidade e à luz 
solar, ou falha em sua especificação.
A umidade da madeira também tem sua importância na deterioração. O teor de umidade superior a 
20% possibilita a proliferação de fungos manchadores, apodrecedores e de insetos xilófagos.
No Brasil, temos problemas com a umidade relativa do ar e com a presença de vários tipos de insetos 
que se alimentam da madeira.
Lembramos, mais uma vez, a importância da NBR 16143:2013 (ABNT, 2013a), cujo foco principal 
é o tratamento preservativo, com a finalidade de aumentar a proteção e, portanto, a durabilidade 
da madeira.
 Lembrete
O alburno ou branco representa a camada formada por células vivas 
que conduzem a seiva a partir das raízes, com espessura geralmente em 
torno de 3 a 5 cm, dependendo da espécie.
6.1 Defeitos das madeiras
Os defeitos que a madeira apresenta podem ser originados no próprio processo de formação do 
tronco ou durante o beneficiamento das peças.
103
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Em geral, essas imperfeições prejudicam a resistência, a durabilidade e o aspecto visual da madeira, 
trazendo como consequência uma diminuição do seu valor.
A)
B)
1
1
4 3
1
1
1
2
2
D)
F)
C)
E)
Figura 51 – Defeitos das madeiras: A) nós; B) fendas; C) gretas; D) abaulamento; E) arqueadura; F) fibras reversas
São apresentadas, na sequência, as características básicas de cada defeito.
Nós
Os galhos são muito importantes para a vida da árvore, por serem os portadores dos ramos, das 
folhas, das flores e dos frutos. O nó corresponde à base do galho que está encaixado no tronco de uma 
árvore, e, nessa região, surgem imperfeições, como os desvios das fibras longitudinais.
Os nós afetam a resistência da madeira, assim como sua flexibilidade. Esses defeitos enfraquecem 
a madeira e impactam diretamente no seu valor, em especial para o uso em estruturas nas quais a 
resistência é importante.
Se, no momento do corte da árvore, o galho estiver vivo, o nó será firme; caso contrário, será de fácil 
remoção, produzindo orifícios na madeira.
Fendas
São aberturas que surgem nas extremidades das peças, provocadas pela secagem mais rápida da 
superfície em relação ao material interno. Nessa situação, os extremos começam a contrair rapidamente, 
e, como o resto da peça não acompanha, surgem as rachaduras.
Esse fenômeno pode ser evitado mediante a secagem lenta e uniforme da peça de madeira.
Gretas
Essa imperfeição corresponde à separação entre os anéis de crescimento, provocada por tensões 
internas devido ao crescimento lateral da árvore. Também pode surgir em função de ações externas, 
como a flexão causada pelo vento.
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Unidade II
Abaulamento
Encurvamento na direção transversal (largura) da peça. Pode ser provocado por secagem inadequada.
Arqueadura
Encurvamento na direção longitudinal (comprimento) da peça. Uma das causas é a secagem inadequada.
Fibras reversas
São situações nas quais as fibras não são paralelas ao eixo do tronco. Podem ser oriundas de 
causas naturais, como a proximidade de nós, mas também podem ser provocadas por uma serragem 
em plano inadequado.
6.2 Propriedades mecânicas da madeira
Para a elaboração do projeto estrutural, precisamos considerar as propriedades mecânicas da 
madeira, conforme prescreve a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), que considera a distinção entre os valores 
correspondentes à tração e à compressão. Também é essencial a consideração das respectivas direções 
em relação às fibras, ou seja, direção paralela e direção normal. Outro fator importante é a determinação 
da classe de umidade que orientará a definição final de tais valores.
As propriedades físicas e mecânicas das espécies de madeira são determinadas por meio de ensaios 
padronizados em amostras sem defeitos, evitando assim a incerteza dos resultados obtidos com peças 
com defeitos (PFEIL; PFEIL, 2003).
 Saiba mais
A fim de saber como organizar as tarefas, os ensaios devem ser realizados 
de acordo com o Anexo B da seguinte NBR:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 7190 – 
Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro: ABNT, 1997.
Propriedades necessárias
A resistência é a aptidão da madeira em suportar tensões. Essa propriedade é definida 
convencionalmente pela máxima tensão que corpos de prova podem resistir, até o surgimento de 
fenômenos particulares de comportamento além dos quais existe restrição quanto à utilização 
do material em elementos estruturais. Geralmente, esses fenômenos são os de ruptura ou de deformação 
específica excessiva.
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COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Vejamos os principais itens associados à resistência da madeira:
•	 fc0 é a resistência à compressão paralela às fibras;
•	 ft0 é a resistência à tração paralela às fibras;
•	 fc90 é a resistência à compressão normal às fibras;
•	 ft90 é a resistência à tração normal às fibras, que, para a utilização em estruturas, é considerada nula;
•	 fv é a resistência ao cisalhamento.
A norma NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) estabelece uma padronização para as classes de resistência 
das madeiras, que serve para a orientação da escolha do material aos projetos estruturais.
Tabela 15 – Classes de resistência das coníferas (madeiras macias)
Coníferas (valores na condição-padrão de referência U = 12%)
Classes fcOk MPa fvk MPa Ec0,m MPa 1) ρbas,m kg/m3 ρaparente kg/m3
C 20 20 4 3500 400 500
C 25 25 5 8500 450 550
C 30 30 6 14500 500 600
Fonte: ABNT (1997, p. 16).
Tabela 16 – Classes de resistência das dicotiledôneas (madeiras duras)
Coníferas (valores na condição-padrão de referência U = 12%)
Classes fcOk MPa fvk MPa Ec0,m MPa 1) ρbas,m kg/m3 ρaparente kg/m3
C 20 20 4 9500 500 650
C 30 25 5 14500 650 800
C 40 40 6 19500 750 950
C 60 60 8 24500 800 1000
Fonte: ABNT (1997, p. 16).
A rigidez da madeira é medida pelo valor médio do módulo de elasticidade. O módulo de elasticidade na 
direção paralela às fibras Ec0 é definido no ensaio de compressão paralelo às fibras, e o módulo de elasticidade 
na direção normal às fibras Ec90 é estabelecido no ensaio de compressão normal às fibras.
O módulo de elasticidade é fundamental na determinação das deformações das estruturas – 
executadas com madeiras cujos valores de E maiores apresentam deformações menores.
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Unidade II
Tanto a resistência quanto a elasticidade da madeira sofrem influência direta da umidade, inclusive 
a umidade do ambiente no qual a madeira será utilizada. Vejamos o modelo a seguir com as classes 
de umidade.
Tabela 17 – Classes de umidade
Classes de 
umidade
Umidade relativa do 
ambiente Uamb
Umidade de equilíbrio 
da madeira Ueq
1 < 65% 12%
2 65% < Uamb < 75% 15%
3 75% < Uamb < 85% 18%
4 Uamb > 85% durante 
longos períodos > 25%
Fonte: ABNT (1997, p. 14).
Normas Climatológicas do Brasil 1961 - 1990
Umidade relativa do ar horária às 12 utc (%)
5N
5S
15S
30S
EQ
10S
25S
20S
35S
75W 55W
40 70
(%)
45 7550 8055 8560 9065 95
65W 45W70W 50W60W 40W 35W
Figura 52 – Mapa de umidade relativa anual do ar
Nas tabelas a seguir, extraídas do Anexo E da NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), estão representados 
os valores médios das propriedades de resistência e rigidez de algumas espécies de madeiras nativas 
e de florestamento.
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COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Tabela 18 – Valores médios de madeiras dicotiledôneas nativas e de florestamento
Nome comum 
(dicotiledôneas) Nome científico
ρap(12%)
1 
kg/m³
fc0
2 
MPa
ft03 
MPa
ft90
4 
MPa
fv
5
MPa
Ec0
6
MPa
n7
Angelim araroba Votaireopsis araroba 688 50,5 69,1 3,1 7,1 12876 15
Angelim ferro Hymenolobium spp 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827 20
Angelim pedra Hymenolobium petraeum 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912 39
Angelim pedra verdadeiro Dinizia excelsa 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694 12
Branquilho Termilalia spp 803 48,1 87,9 3,2 9,8 13481 10
Cafearana Andira spp 677 59,1 79,7 3,0 5,9 14098 11
Canafístula Cassia ferruginea 871 52,0 84,9 6,2 11,1 14613 12
Casca grossa Vochysia spp 801 56,0 120,2 4,1 8,2 16224 31
Castelo Gossypiospermum praecox 759 54,8 99,5 7,5 12,8 11105 12
Cedro amargo Cedrella odorata 504 39,0 58,1 3,0 6,1 9839 21
Cedro doce Cedrella spp 500 31,5 71,4 3,0 5,6 8058 10
Champagne Dipterys odorata 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002 12
Cupiúba Goupia glabra 838 54,4 62,1 3,3 10,4 13627 33
Catiúba Qualea paraensis 1221 83,8 86,2 3,3 11,1 19426 13
E. Alba Eucalyptus alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409 24
E. Camaldulensis Eucalyptus camaldulensis 899 48,0 78,1 4,6 9,0 13286 18
E. Citriodora Eucalyptus citriodora 999 62,0 123,6 3,9 10,7 18421 68
E. Cloeziana Eucalyptus cloeziana 822 51,8 90,8 4,0 10,5 13963 21
E. Dunnii Eucalyptus dunnii 690 48,9 139,2 6,9 9,8 18029 15
E. Grandis Eucalyptus grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813 103
E. Maculata Eucalyptus maculata 931 63,5 115,6 4,1 10,6 18099 53
E. Maidene Eucaliptus maidene 924 48,3 83,7 4,8 10,3 14431 10
E. Microcorys Eucalyptus microcorys 929 54,9 118,6 4,5 10,3 16782 31
E. Paniculata Eucalyptus paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881 29
E. Propinqua Eucalyptus propinqua 952 51,6 89,1 4,7 9,7 15561 63
E. Punctata Eucalyptus punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360 70
1 ρap(12%) é a massa específica aparente a 12% de umidade.
2 fc0é a resistência à compressão paralela às fibras.
3 ft0é a resistência à tração paralela às fibras.
4 ft90é a resistência à tração normal às fibras.
5 fv é a resistência ao cisalhamento.
6 Ec0 é o módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras.
7 n é o número de corpos-de-prova ensaiados.
Notas
1 As propriedades de resistência e rigidez apresentadas neste anexo foram determinadas pelos ensaios realizados 
no Laboratório de Madeiras e de Estruturas de Madeiras (LaMEM) da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) da 
Universidade de São Paulo.
2 Coeficiente de variação para resistências a solicitações normais: δ = 18%.
3 Coeficiente de variação para resistências a solicitações tangenciais: δ = 28%.
Fonte: ABNT (1997, p. 90).
108
Unidade II
Tabela 19 – Valores médios de madeiras dicotiledôneas nativas e de florestamento
Nome comum 
(dicotiledôneas) Nome científico
ρap(12%)
1 
kg/m³
fc0
2 
MPa
ft0
3 
MPa
ft90
4 
MPa
fv
5
MPa
Ec0
6
MPa
n7
E. Saligna Eucalyptus saligna 731 46,8 95,5 4,0 8,2 14933 67
E. Tereticornis Eucalyptus tereticornis 899 57,7 115,9 4,6 9,7 17198 29
E. Triantha Eucalyptus triantha 755 53,9 100,9 2,7 9,2 14617 08
E. Umbra Eucalyptus umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577 08
E. Urophylla Eucalyptus urophylla 739 46,0 85,1 4,1 8,3 13166 86
Garapa Roraima Apuleia leiocarpa 892 78,4 108,0 6,9 11,9 18359 12
Guaiçara Luetzelburgia spp 825 71,4 115,6 4,2 12,5 14624 11
Guarucaia Peltophorum vogelianum 919 62,4 70,9 5,5 15,5 17212 13
Ipê Tabebuia serratifolia 1068 76,0 96,8 3,1 13,1 18011 22
Jatobá Hymenaea spp 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607 20
Louro preto Ocotea spp 684 56,5 111,9 3,3 9,0 14185 24
Maçaranduba Manilkara spp 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733 12
Mandioqueira Qualea spp 856 71,4 89,1 2,7 10,6 18971 16
Oiticica amarela Clarisia racemosa 756 69,9 82,5 3,9 10,6 14719 12
Quarubarana Erisma uncinatum 544 37,8 58,1 2,6 5,8 9067 11
Sucupira Diplotropis spp 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724 12
Tatajuba Bagassa guianensis 940 79,5 78,8 3,9 12,2 19583 10
1 ρap(12%) é a massa específica aparente a 12% de umidade.
2 fc0 é a resistência à compressão paralela às fibras.
3 ft0 é a resistência à tração paralela às fibras.
4 ft90 é a resistência à tração normal às fibras.
5 fv é a resistência ao cisalhamento.
6 Ec0 é o módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras.
7 n é o número de corpos-de-prova ensaiados.
Notas
1 Coeficiente de variação para resistências a solicitações normais: δ = 18%.
2 Coeficiente de variação para resistências a solicitações tangenciais: δ = 28%.
Fonte: ABNT (1997, p. 92).
109
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Tabela 20 – Valores médios de madeiras coníferas nativas e de florestamento
Nome comum 
(dicotiledôneas) Nome científico
ρap(12%)
1 
kg/m³
fc0
2 
MPa
ft0
3 
MPa
ft90
4 
MPa
fv
5
MPa
Ec0
6
MPa
n7
Pinho do Paraná Araucaria angustifolia 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225 15
Pinus caribea Pinus caribea var. caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431 28
Pinus bahamensis Pinus caribea var.
bahamensis 537 32,6 52,7 2,4 6,8 7110 32
Pinus hondurensis Pinus caribea var.
hondurensis 535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868 99
Pinus elliottii Pinus elliottii var. elliottii 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889 21
Pinus oocarpa Pinus oocarpa shiede 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904 71
Pinus taeda Pinus taeda L. 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304 15
1 ρap(12%) é a massa específica aparente a 12% de umidade.
2 fc0 é a resistência à compressão paralela às fibras.
3 ft0 é a resistência à tração paralela às fibras.
4 ft90 é a resistência à tração normal às fibras.
5 fv 
é a resistência ao cisalhamento.
6 Ec0 é o módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras.
7 n é o número de corpos-de-prova ensaiados.
Notas
1 Coeficiente de variação para resistências a solicitações normais: δ = 18%.
2 Coeficiente de variação para resistências a solicitações tangenciais: δ = 28%.
Fonte: ABNT (1997, p. 92).
6.3 Processamento da madeira
Até as peças de madeira chegarem às nossas mãos, para que possam ser utilizadas nas construções, 
elas passam por uma série de transformações, também chamadas de beneficiamento. O primeiro passo, 
naturalmente, é o corte da árvore, que deve ocorrer de modo preferencial após atingir a maturidade, 
momento em que o cerne ocupa a maior porcentagem do tronco, resultando em madeira de melhor 
aproveitamento. O tempo necessário para que as árvores atinjam a maturidade depende da espécie, 
podendo chegar a várias décadas.
O melhor momento para o corte é a estação seca, quando a árvore possui pouca umidade. 
Em seguida, é retirada a sua casca, para facilitar o manuseio e o transporte.
O desdobramento do tronco em toras de 4 a 6 m deve ser realizado com o menor intervalo possível, 
após o corte da árvore, para evitar defeitos oriundos da secagem da madeira. Quando o corte é efetuado 
110
Unidade II
na estação chuvosa, é necessária a secagem das toras durante algum tempo, com a finalidade de reduzir 
o teor de umidade.
As toras são cortadas em serras com fita contínua, que as transforma em pranchas e lâminas, com 
espessuras uniformes que, em geral, seguem os padrões comerciais.
Os desdobramentos das toras podem ser realizados de várias maneiras, entre as quais vamos destacar 
as duas mais utilizadas: desdobramento em pranchas paralelas e desdobramento radial, conforme figura 
a seguir.
A) B)
Figura 53 – Esquema de corte das toras de madeira: 
A) desdobramento em pranchas paralelas; B) desdobramento radial
O desdobramento radial produz pranchas mais homogêneas, mas é mais caro, o que favorece a 
utilização do desdobramento paralelo com maior frequência.
Antes de poder ser utilizada, a madeira serrada precisa passar por um processo de secagem, com a finalidade 
de diminuir a umidade. Os objetivos principais dessa etapa são: reduzir a movimentação dimensional; inibir os 
ataques de fungos; melhorar a trabalhabilidade e aumentar a resistência física da madeira.
 Lembrete
Tanto a resistência quanto a elasticidade da madeira sofrem influência 
direta da umidade.
A secagem da madeira pode ser realizada naturalmente ou por meios artificiais.
A secagem natural deve serexecutada em locais abertos, porém cobertos, empilhando as tábuas 
espaçadas entre si de modo a permitir que o ar circule livremente entre as peças. É muito importante o 
isolamento do solo.
111
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Cobertura
Pranchas
Suportes
A) Vista transversal
Separadores
CoberturaPranchas
Pranchas
B)
Suportes
Vista longitudinal
Separadores
Figura 54 – Esquema de secagem natural
Como a secagem natural é lenta, foram desenvolvidos processos artificiais de secagem. A secagem 
artificial é praticada em fornos alongados através dos quais a madeira se desloca lentamente. As vantagens 
da secagem artificial são o menor tempo do processo e o maior controle do teor de umidade desejado.
112
Unidade II
Figura 55 – Máquina de secagem artificial
Uma vez secas, as pranchas passam por um novo desdobramento para, assim, atingir as dimensões 
utilizadas comercialmente.
7 DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE MADEIRA
7.1 Ações e segurança
7.1.1 Tipos de ações
Podemos definir como ações as causas que provocam o aparecimento de esforços e deformações 
nas estruturas.
As forças são consideradas ações diretas, e as deformações impostas ações indiretas, segundo a NBR 
7190:1997 (ABNT, 1997).
As ações podem ser:
•	 Ações permanentes: ocorrem com valores constantes ou de pequena variação em torno de sua 
estrutura média durante praticamente toda a vida da construção.
•	 Ações variáveis: ocorrem com valores cuja variação é significativa durante a vida da construção.
•	 Ações excepcionais: têm duração extremamente curta e probabilidade de ocorrência 
muito baixa durante a vida da construção, mas devem ser consideradas nos projetos de 
determinadas estruturas.
Em projetos de estruturas de madeira, devem ser consideradas ações como: peso próprio, cargas 
permanentes, cargas variáveis verticais, impactos verticais e laterais, forças longitudinais, força 
centrífuga, vento e outras que se fizerem necessárias.
113
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
7.1.2 Tipos de carregamentos
Carregamento normal
Um carregamento é chamado de normal quando inclui apenas as ações decorrentes do uso previsto 
para a construção. Admite-se que o carregamento normal corresponda à classe de carregamento de 
longa duração. Esse carregamento deve ser sempre considerado nas verificações de segurança dos 
estados limites últimos e nas verificações dos estados limites de serviço.
Em um carregamento normal, as ações de curta ou média duração terão os seus valores atuantes 
reduzidos, a fim de que a resistência da madeira possa ser considerada como correspondente apenas 
para as ações de longa duração.
 Observação
Para levar em conta a resistência da madeira sob ação de cargas de 
curta duração na verificação de segurança em relação aos estados limites 
últimos, apenas na combinação de ações de longa duração em que o vento 
representa a ação variável principal, as solicitações nas peças de madeira 
devido às ações do vento serão multiplicadas por 0,75.
Carregamento especial
Um carregamento é especial quando inclui a atuação de ações variáveis de natureza ou intensidade 
especiais, cujos efeitos superam em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no 
carregamento normal.
Admite-se que o carregamento especial corresponda à classe do carregamento definida pela duração 
acumulada prevista para essa ação variável especial.
Carregamento excepcional
Um carregamento é excepcional quando inclui ações excepcionais que podem provocar 
efeitos catastróficos.
Admite-se que a classe desse carregamento corresponda à classe de carregamento de duração 
instantânea.
Carregamento de construção
É um carregamento transitório e deve ser definido em cada caso particular em que haja risco de 
ocorrência de estados limites durante a construção.
114
Unidade II
Admite-se que a classe desse carregamento corresponda à classe de carregamento definida pela 
duração acumulada da situação de risco.
 Lembrete
Para condição de carregamento normal, podemos citar o peso próprio 
de uma cobertura com a ação do vento.
Para carregamento especial, uma condição comum é quando se apoia 
um equipamento em uma cobertura. 
Para carregamento excepcional, temos as estruturas sujeitas a terremoto.
Para carregamento de construção, temos a ocasião da suspensão da 
estrutura principal na hora de colocar em seu lugar na cobertura.
Classes de carregamento
Um carregamento é composto pelo conjunto de ações diretas e indiretas ao qual estará sujeita 
uma estrutura.
A classe de carregamento de qualquer combinação de ações é definida pela duração acumulada 
prevista para a ação variável tomada na combinação em questão como ação variável principal. 
Quadro 1 – Classes de carregamento
Classe de carregamento
Ação variável principal da combinação
Duração acumulada Ordem de grandeza da duração 
acumulada da ação característica
Permanente
Longa duração
Média duração
Curta duração
Duração instantânea
Permanente
Longa duração
Média duração
Curta duração
Duração instantânea
Vida útil da construção
Mais de seis meses
Uma semana a seis meses
Menos de uma semana
Muito curta
Fonte: ABNT (1997, p. 8).
7.1.3 Situações de projeto
São três as situações a serem consideradas em projeto: duradouras, transitórias e excepcionais.
Segundo a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), para cada estrutura particular devem ser especificadas as 
situações de projeto a considerar, não sendo necessário levar em conta as três possíveis situações de 
projeto em todos os tipos de construções.
Highlight
115
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Situações duradouras
Nas situações duradouras, são verificados os estados limites últimos e de utilização (serviço). Essas 
situações devem ser consideradas em todos os projetos e têm a duração igual ao período de vida útil 
da estrutura. Para os estados limites últimos consideram-se as combinações normais de carregamento, 
enquanto para os estados limites de serviço devem ser verificadas as combinações de longa duração 
(combinação quase permanente) ou combinações de média duração (combinação frequente).
Situações transitórias
As situações transitórias são as que têm duração muito menor que o período de vida da construção. 
Devem ser verificadas quando existirem carregamentos especiais para construção. Nessas situações, 
geralmente são consideradas apenas as verificações referentes ao estado limite último.
Em casos especiais, caso seja necessária a verificação dos estados limites de serviço, essa 
verificação deve ser feita em função das combinações de ações de curta duração (combinações raras) 
ou combinações de média duração (combinações especiais).
Situações excepcionais
As situações excepcionais são as que têm a duração muito curta. Essas situações são consideradas 
apenas na verificação dos estados limites últimos.
As situações excepcionais devem ser consideradas quando a segurança em relação às ações 
excepcionais contempladas não puder ser garantida de outra forma, com o emprego de elementos 
físicos de proteção da construção ou a modificação da concepção estrutural adotada.
As situações excepcionais devem ser explicitamente especificadas para o projeto das construções 
particulares para as quais haja a necessidade dessa consideração.
7.1.4 Estados limites
Podemos definir como estados limites de uma estrutura os estados a partir dos quais as estruturas 
apresentam comportamento inadequado às suas finalidades.
A verificação das estruturas de madeira tem de ser realizada para os estados limites últimos e para 
os estados limites de serviço.
Estados limites últimos
São os estados que determinam o colapso de parte da estrutura ou da estrutura como um todo.
Devem ser considerados os estados limites últimos caracterizados por:
116
Unidade II
•	 perda de equilíbrio global ou parcial, admitida a estrutura como corpo rígido;
•	 ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
•	 transformação da estrutura, no todo ou em parte,em sistemas hipostáticos;
•	 instabilidade por deformação;
•	 instabilidade dinâmica (ressonância).
Estados limites de serviços
Os estados limites de serviço ou estados limites de utilização são aqueles que, por sua ocorrência, 
repetição ou duração, causam efeitos nas estruturas que não respeitam as condições especificadas 
para uso normal da estrutura, ou, ainda, que são indícios para o comprometimento da durabilidade 
das construções.
Devem ser considerados os estados limites de serviço caracterizados por:
•	 Deformações excessivas que afetem a utilização normal da estrutura, que possam 
comprometer seu aspecto estético, que prejudiquem o funcionamento de equipamentos 
ou instalações ou, ainda, que causem danos aos materiais de acabamento ou às partes não 
estruturais da construção.
•	 Vibrações de amplitude excessiva que causem desconforto aos usuários ou danos à construção.
7.1.5 Condições de segurança
A segurança estrutural, segundo o método dos estados limites, pode ser expressa por:
Sd < Rd
Onde:
Sd = solicitações de cálculo; efeitos gerados por combinações de ações de cálculos aplicados 
à estrutura;
Rd = resistências de cálculo; limites de resistência do material associada a uma determinada forma 
de colapso.
As condições referentes aos estados limites de serviço são expressas por:
Sser < Slim
117
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Onde:
Sser = valores dos efeitos estruturais obtidos em combinações de serviço;
Slim = valores limites adotados para esses efeitos em cada caso específico.
7.1.6 Combinação das ações
As combinações são divididas em combinações últimas e combinações de serviço. 
As combinações últimas são classificadas em:
•	 combinações últimas normais;
•	 combinações últimas especiais ou de construção;
•	 combinações últimas excepcionais.
As combinações de serviço são classificadas em:
•	 combinação de longa duração;
•	 combinação de média duração;
•	 combinação de curta duração;
•	 combinação de duração instantânea.
Combinações últimas normais
As combinações últimas normais decorrem do uso previsto da edificação e aplicam-se à 
seguinte expressão:
m n
d Gi Gi,k q1 Q1,k 0j Qj,k
i 1 j 2 
F .F . F .F
= =
 
= γ + γ + ψ 
  
∑ ∑
Onde:
FG1,k são os valores característicos das ações permanentes;
FQ1,k é o valor característico da ação variável considerada como principal;
118
Unidade II
FQj,k são os valores característicos das ações variáveis simultâneas com a ação principal;
ψ0j é o coeficiente de minoração das ações variáveis secundárias.
 Lembrete
Em casos especiais, devem ser consideradas duas combinações referentes 
às ações permanentes. Em uma delas, admite-se que as ações sejam 
favoráveis à segurança; na outra, que sejam desfavoráveis à segurança.
Combinações últimas especiais ou de construção
Para cada combinação, aplica-se a expressão a seguir:
m n
d gi Gi,k q1 Q,1k 0j,ef Qj,k
i 1 j 2
F .F . F .F
= =
 
= γ + γ + ψ 
  
∑ ∑
Onde:
FG1,k são os valores característicos das ações permanentes.
FQ1,k é o valor característico da ação variável considerada como principal.
ψ0j,ef é o coeficiente de minoração para as ações variáveis secundárias de longa duração. 
É igual ao valor de ψ0j adotado nas combinações normais, salvo quando a ação principal FQ,1tiver 
um tempo de atuação muito pequeno; nesse caso, seu valor pode ser considerado igual ao da 
tabela de ψ2j.
Combinações últimas excepcionais
Aplica-se a seguinte expressão:
( )
m n
d gi Gi,k Q,exc Q 0j,ef Qj,k
i 1 j 2
F .F F .F
= =
= γ + + γ ψ∑ ∑
Onde:
FQ1,k é o valor da ação transitória excepcional.
119
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Combinações de longa duração
Aplica-se a seguinte expressão:
m n
d,uti Gi,k 2j Qj,k
i 1 j 2
F F .F
= =
= + ψ∑ ∑
Essa combinação é utilizada no controle usual das deformações das estruturas. As ações variáveis 
atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração.
Combinações de média duração
Aplica-se a seguinte expressão:
m n
d,uti Gi,k 1 Qi,k 2j Qj,k
i 1 j 2
F F . F .F
= =
= + ψ + ψ∑ ∑
Essa combinação é utilizada no caso de existirem materiais frágeis não estruturais ligados à estrutura. 
Nessas condições, a ação variável principal atua com seus valores de média duração, e as demais com 
os valores de longa duração.
Combinações de curta duração
Aplica-se a seguinte expressão:
m n
d,uti Gi,k Qi,k 1j Qj,k
i 1 j 2
F F F .F
= =
= + + ψ∑ ∑
Essa combinação é utilizada quando for importante impedir defeitos decorrentes das deformações 
da estrutura. Nessa situação, a ação variável principal atua com seus valores de média duração.
Combinações de duração instantânea
Aplica-se a seguinte expressão:
m n
d,uti Gi,k Q,especial 2j Qj,k
i 1 j 2
F F F .F
= =
= + + ψ∑ ∑
Nessa situação, a ação variável especial e as demais ações variáveis atuam com seus valores de 
longa duração.
120
Unidade II
7.1.7 Coeficiente de ponderação das ações
Na elaboração de projetos de estruturas de madeira, os valores de cálculo (Fd) são obtidos a partir de 
valores representativos das ações (Fk), majorados pelo coeficiente de ponderação γf.
Quando se consideram os estados limites últimos, os coeficientes de ponderação das ações γf podem 
ser tomados como o produto de outros dois, γf1 e γf3 . O coeficiente de combinação ψ0 faz o papel do 
terceiro coeficiente γf2.
Os coeficientes parciais γf levam em conta a variabilidade das ações e consideram os possíveis erros 
de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas construtivos, seja por deficiência de métodos 
empregados, γf1 e γf3 , respectivamente.
Como existem diversas ações que podem ocorrer em projetos, os coeficientes γf podem ser 
substituídos para representar as ações consideradas:
γG = ações permanentes;
γQ = ações variáveis (diretas);
γε = para efeitos de deformações impostas (indiretas).
Para os estados limites de serviço, γf = 1,0 , salvo casos em que exista alguma recomendação expressa 
em documento normativo especial.
Coeficiente de ponderação para estados limites últimos: ações permanentes
Os coeficientes de ponderação das ações permanentes γG majoram os valores das ações 
permanentes que provocam efeitos desfavoráveis e minoram as que provocam efeitos favoráveis 
para a segurança da estrutura. Para uma dada ação permanente, todas a suas parcelas são majoradas 
pelo coeficiente γG, não se admitindo que algumas partes sejam majoradas e outras minoradas.
Os coeficientes de ponderação γG para as combinações dos estados limites últimos devem ter os 
valores conforme a seguir, salvo em indicação contrária expressa em norma.
Ações permanentes de grande variabilidade
Quando o peso próprio da estrutura não supera 75% da totalidade dos pesos permanentes (peso 
próprio do conjunto estrutural, peso próprio de elementos construtivos permanentes não estruturais, 
peso próprio de equipamentos físicos), adotam-se os valores da tabela a seguir:
121
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Tabela 21 – Ações permanentes de grande variabilidade
Combinações
Para efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γG = 1,4 γG = 0,9
Especiais ou de construção γG = 1,3 γG = 0,9
Excepcionais γG = 1,2 γG = 0,9
Fonte: ABNT (1997, p. 12).
Ações permanentes de pequena variabilidade
Quando o peso próprio supera 75% da totalidade dos carregamentos permanentes, adotam-se os 
valores da tabela a seguir.
Tabela 22 – Ações permanentes de pequena variabilidade
Combinações
Para efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γG = 1,3 γG = 1,0
Especiais ou de construção γG = 1,2 γG = 1,0
Excepcionais γG = 1,1 γG = 1,0
Fonte: ABNT (1997, p. 12).
Ações permanentes indiretas
Para ações permanentes indiretas, tais como efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais, 
adota-se o valor da tabela a seguir.
Tabela 23 – Ações permanentes indiretas
Combinações
Para efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γE = 1,2 γE = 0
Especiais ou de construção γE= 1,2 γE = 0
Excepcionais γE = 0 γE = 0
Fonte: ABNT (1997, p. 12).
Coeficiente de ponderação para estados limites últimos: ações variáveis
Os coeficientes de ponderação das ações variáveis γQ majoram os valores das ações variáveis que 
provocam efeitos desfavoráveis para a estrutura. As ações variáveis favoráveis não são consideradas 
nas combinações das ações, admitindo-se que atuem somente as ações desfavoráveis sobre a estrutura.
122
Unidade II
Tabela 24 – Ações variáveis
Combinações
Para efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normais γQ = 1,4 γε = 1,2
Especiais ou de construção γQ = 1,2 γε = 1,0
Excepcionais γq = 1,0 γε = 0
Fonte: ABNT (1997, p. 13).
Fatores de combinação e de utilização ψi
Os valores estabelecidos pela NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) para os fatores de combinação e de 
utilização estão apresentados a seguir.
Tabela 25 – Fatores de combinação e utilização
Ações correntes em estruturas ψ0 ψ1 ψ2
Variações uniformes de temperatura referente à média anual local 0,6 0,5 0,3
Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0
Cargas acidentais dos edifícios ψ0 ψ1 ψ2
Locais em que não há predominância de equipamentos fixos nem de 
elevadas concentrações de pessoas 0,4 0,3 0,2
Locais onde há predominância de equipamentos fixos ou de 
elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos ψ0 ψ1 ψ2
Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,21)
Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,21)
Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,41)
Nota 1): Admite-se ψ2 = 0, quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico.
Fonte: ABNT (1997, p. 9).
Na verificação dos estados limites últimos, são empregados os valores reduzidos de combinação, 
determinados por ψ0 . Fk, utilizados quando existem ações variáveis de naturezas diferentes.
Nas verificações relativas aos estados limites de serviço, são utilizados os valores reduzidos de serviço. 
Podem ser empregados valores frequentes ou de média duração, representados pela expressão ψ1 . Fk, ou 
valores quase permanentes ou de longa duração, representados pela expressão ψ2 . Fk.
As ações variáveis secundárias de longa duração têm um coeficiente ψ0,ef , igual ao coeficiente 
de minoração para ações variáveis ψ0 adotado nas combinações normais. A exceção a esse caso se 
aplica quando a ação variável principal FQ1 tiver um tempo de atuação muito pequeno. Para esses 
casos, ψ0,ef = ψ2, utilizado nas combinações dos estados limites de serviço.
123
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
7.2 Valores representativos
De modo similar ao que acontece com as ações, as propriedades de resistência e de rigidez da 
madeira a serem empregadas em projetos estruturais são tratadas por valores representativos médios, 
valores característicos e valores de cálculo.
Valores médios
O valor médio de resistência ou de rigidez da madeira (fm ou Em) é obtido pela média aritmética dos 
valores obtidos nos ensaios de caracterização correspondentes.
Valores característicos
Em função da grande variabilidade das propriedades de resistência e rigidez das madeiras, os 
valores numéricos que representam suas características são determinados através de distribuições de 
probabilidade, sendo a distribuição de Gauss utilizada mais generalizadamente.
Podemos dizer que os valores característicos de uma propriedade da madeira são aqueles que têm a 
probabilidade de 5% de serem ultrapassados em um lote de material.
A nomenclatura genérica que a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) fixa para os valores representativos 
característicos é Xk.
 Saiba mais
Para saber mais sobre estimativas de resistências das madeiras, consulte 
o item 6.4.7 da NBR 7190:1997:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 7190 – 
Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro: ABNT, 1997.
Valores de cálculo
O valor de cálculo de uma propriedade da madeira é dado pela expressão:
k
d mod
w
X
X k=
γ
Onde:
Xk = valor característico da propriedade da madeira;
124
Unidade II
γw = coeficiente minorador das propriedades da madeira;
kmod = coeficiente modificador que considera as influências não cobertas por γw .
Coeficiente modificador kmod 
Os coeficientes de modificação kmod afetam os valores de cálculo das propriedades da madeira 
em função da classe do carregamento da estrutura, da classe da umidade e da qualidade da 
madeira utilizada.
O coeficiente de modificação é dado pela expressão a seguir:
kmod = kmod,1 . kmod,2 . kmod,3
O coeficiente de modificação kmod,1 leva em conta a classe de carregamento e o tipo de 
material empregado.
Tabela 26 – Valores de kmod,1
Classe de carregamento
Tipos de madeira
Madeira serrada 
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Madeira recomposta
Permanente 0,6 0,30
Longa duração 0,7 0,45
Média duração 0,8 0,65
Curta duração 0,9 0,90
Duração instantânea 1,10 1,10
Fonte: ABNT (1997, p. 18).
O coeficiente de modificação kmod,2 leva em conta a classe de umidade e o tipo de material empregado.
Tabela 27 – Valores de kmod,2
Classe de carregamento
Tipos de madeira
Madeira serrada 
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Madeira recomposta
(1) e (2) 1,0 1,0
(3) e (4) 0,8 0,90
Fonte: ABNT (1997, p. 18).
Caso a madeira seja utilizada de forma submersa, o valor de kmod,2 deve ser 0,65.
125
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
O coeficiente de modificação kmod,3 leva em conta a categoria da madeira utilizada.
kmod,3 = 1,0 → para madeira de 1ª categoria
kmod,3 = 0,8 → para madeira de 2ª categoria
 Observação
A madeira é considerada de 1ª categoria se passou por classificação 
visual para garantir a isenção de defeitos e por classificação mecânica para 
garantir a homogeneidade da rigidez.
Para o caso de madeiras coníferas, adota-se sempre 0,8 como valor 
de kmod,3 , para se levar em conta a presença de nós não detectáveis pela 
inspeção visual.
Estimativa dos parâmetros de rigidez
Nas verificações dos estados limites últimos ou dos estados limites de serviço que dependem dos 
parâmetros de rigidez da madeira, o módulo de elasticidade longitudinal deve ser tomado como indicado 
no item 6.4.9 da NBR 7190:1997 (ABNT, 1997):
Ec0,ef = kmod,1 kmod,2 kmod,3
O módulo de elasticidade transversal pode ser estimado por:
c0,ef
ef
E
G 
20
=
Coeficientes de ponderação de resistência (γw)
Para estados limites últimos:
γwc = 1,4 → compressão paralela às fibras
γwt = 1,8 → tração paralela às fibras
γwv = 1,8 → cisalhamento paralelo às fibras
Para estados limites de serviço, adota-se o valor de γw = 1,0
126
Unidade II
Estimativa dos parâmetros de resistência
Quando não se dispõe de valores experimentais, permite-se adotar as seguintes relações para os 
valores característicos das resistências, segundo o item 6.3.3 da NBR 7190:1997 (ABNT, 1997).
c0,k
t0,k
f
 0,77
f
=
 
e0,k
c0,k
f
 1,0
f
=
 
tM,k
t0,k
f
 1 ,0
f
=
 
e90,k
c0,k
f
 0,25
f
=
 
c90,k
c0,k
f
 0,25
f
=
8 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
A NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) adota o método dos estados limites em seus dimensionamentos.
8.1 Tração paralela às fibras
As peças sujeitas a esse tipo de tração são mais comuns em estruturas treliçadas; no entanto, também 
podem acontecer em sistemas de contraventamento.
A segurança da peça estará garantida se a tensão atuante no elemento for menor ou igual à 
resistência de cálculo da referida solicitação, ou seja:
σt0,d < ft0,d
Sendo:
t
t0,d
F
 
Área
σ =
t0,k
t0,d mod
wc
f
f k =
γ
Ft = força de tração de projeto.
8.2 Compressão paralela às fibras
Para efeito de cálculo, admitem-se três situações em função da esbeltez λ da peça. Segundo a 
NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), as peças podem ser curtas, medianamente esbeltas ou esbeltas.
Peças curtas λ < 40
d
c0,d Nd c0,d
N
 f
A
σ = σ = ≤
127
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Sendo:
c0,k
c0,d mod
wc
f
f k =
γ
Onde:
σc0,d = tensão solicitantede cálculo;
A = área da seção transversal;
Nd = esforço axial de compressão de cálculo;
fc0,d = tensão resistente à compressão de cálculo.
Peças medianamente esbeltas (40 < λ < 80)
Peças de madeira com esse índice de esbeltez (λ) são admitidas como solicitadas à flexo-compressão, 
com esforços de cálculo Nd e Md , força normal de cálculo e momento de cálculo, respectivamente. Deve 
ser satisfeita a condição:
Nd Md
c0,d c0,d
 1 ,0
f f
σ σ
+ ≤
Onde:
σNd = tensão normal solicitante de cálculo;
σMd = tensão de flexão de cálculo.
A condição anterior visa garantir a segurança em relação ao estado limite de instabilidade. A tensão 
de flexão de cálculo pode ser obtida através da expressão:
d
Md
M
 
W
σ =
O valor de W corresponde ao módulo resistente da seção no plano considerado.
Sendo:
Md = Nd ed
128
Unidade II
Onde:
ed = excentricidade de cálculo.
E
d 1
E d
F
e e
F N
 
=  − 
Sendo:
e1 = ei + ea
ei = excentricidade inicial decorrente dos valores de cálculo Md e Nd; o valor de ei não pode ser 
tomado com valores inferiores a h/30, sendo h a dimensão no plano de verificação;
ea = excentricidade acidental devido a imperfeições geométricas;
FE = carga crítica.
Obtemos o valor da carga crítica através da expressão:
2
c0,ef eixo
E 2
0
 E I
F 
L
π
=
Onde:
Ieixo = momento de inércia relativo ao plano de flexão.
Portanto, temos:
1g,d 1q,d1d
i
d d
M MM h
e 
N N 30
+
= = ≤
M1d = momento referente à situação de projeto, valor de cálculo;
M1g,d = momento referente às cargas permanentes, na situação de projeto, valor de cálculo;
M1q,d = momento referente às cargas variáveis, na situação de projeto, valor de cálculo;
0
a
L
e 
300
=
129
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Onde:
L0 = comprimento de flambagem.
 Observação
Não é permitido o emprego de peças comprimidas de seção transversal 
cheia ou múltiplas, cujo comprimento referencial teórico L0 exceda 40 vezes 
a dimensão transversal correspondente. Em peças tracionadas, esse limite 
é de 50 vezes.
Para elementos rotulados, isto é, que têm ambas as extremidades 
indeslocáveis, o valor de L0 é igual ao comprimento efetivo L. Quando os 
elementos não têm garantia de indeslocabilidade das suas extremidades, 
considera-se o elemento em balanço, ou seja, com extremidade livre e base 
engastada, tomando-se L0 = 2L.
Peças esbeltas (80 < λ < 140)
A condição de segurança para peças esbeltas no estado limite último assume a mesma forma das 
peças medianamente esbeltas:
Nd Md
c0,d c0,d
 1 ,0
f f
σ σ
+ ≤
O momento fletor de cálculo para peças esbeltas é expresso da seguinte maneira:
e
d d 1,ef
E d
F
M N e . 
F N
 
=  − 
Sendo:
e1,ef = e1 + ec = ei + ea + ec
e1,ef = excentricidade efetiva de 1ª ordem;
ec = excentricidade suplementar de 1ª ordem representando a fluência da madeira;
( )( )c
c ig ae e e e 1 = −
1g,d
ig
g,d
M
e 
N
=
130
Unidade II
Sendo:
( ){ }
( ){ }
gk 1 2 qk
e gk 1 2 qk
 . N . N
c 
F N . N
φ + ψ + ψ
=
− + ψ + ψ
Onde:
Φ = coeficiente de fluência;
M1g,d = momento devido à carga permanente;
Ng,d = força normal devido à carga permanente.
Tabela 28 – Coeficiente de fluência Φ
Classe de 
carregamento
Classe de umidade
(1) e (2) (3) e (4)
Permanente ou de 
longa duração 0,8 2,0
Média duração 0,3 1,0
Curta duração 0,1 0,50
Fonte: ABNT (1997, p. 26).
8.3 Compressão normal às fibras
A segurança da peça de madeira em relação aos estados limites últimos estará garantida quando a 
tensão atuante for menor ou igual à resistência de cálculo da solicitação referida:
σc90,d < fc90,d
Onde:
fc90,d = 0,25 fc90,d αn
Quando as peças de madeira estiverem submetidas à compressão normal às fibras, deve ser levada 
em conta a extensão “c’ do carregamento, medido paralelamente à extensão das fibras, na verificação 
de segurança dos estados limites últimos.
131
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
R
> 7,5 C
Figura 56 – Compressão localizada
Em situações especiais, podemos assumir o αn = 1,0:
•	 quando a carga estiver atuando na extremidade da peça considerada;
•	 quando a carga estiver atuando de modo distribuído na totalidade da superfície das peças 
de apoio.
Os demais valores do coeficiente αn são dados na tabela a seguir.
Tabela 29 – Valores de γn
Extensão da carga normal às fibras 
medida paralelamente a estas (cm) γn
1,0 2,00
2,0 1,70
3,0 1,55
4,0 1,40
5,0 1,30
7,5 1,15
10,0 1,10
15,0 1,00
Fonte: ABNT (1997, p. 21).
8.4 Compressão inclinada em relação às fibras
A solicitação de compressão inclinada em relação às fibras em peças de madeira ocorre principalmente 
em treliças. Como não se verifica a inversão de esforços nas barras, algumas ligações podem ser 
confeccionadas com entalhes, ocasionando, assim, esse tipo de solicitação.
Segundo a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), pode-se desprezar a influência da inclinação nas tensões 
normais, desde que o ângulo em relação às fibras da madeira seja de até α = 6º.
132
Unidade II
α
Figura 57 – Compressão inclinada em relação às fibras
A expressão que define a resistência a esse tipo de solicitação é dada por:
σc, α, d < fc, α, d 
Sendo:
á
á á
c0,d c90,d
c, ,d 2 2
c0,d c90,d
f f
f 
f sen f cos
=
+
Onde:
fc, α, d = resistência à compressão inclinada em relação às fibras;
fc0, d = resistência à compressão paralela às fibras;
fc90, d = resistência à compressão normal às fibras.
Exemplo de aplicação
Verifique se uma barra de madeira com seção transversal 15 x 10 (cm) e comprimento igual a 
230 cm (biapoiada) é capaz de suportar ao esforço solicitante de compressão simples.
Seção transversal
23
010
Nk
Nk
15
x
y
Figura 58
133
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Dados
Dimensionar com critérios da NBR 7190:1997 (ABNT, 1997)
Madeira: Tatajuba 2ª categoria
Combinação última normal
Indeslocável nos dois planos
Esforços atuantes: Ngk = 20 kN (permanente); Nqk = 75 kN (sobrecarga)
Solução
a) Propriedades mecânicas
Valores obtidos conforme a tabela de valores médios de madeiras dicotiledôneas nativas e de 
florestamento apresentada neste livro-texto:
com 2
kN
f 79,5 MPa 7,95 
cm
= =
cok 2
kN
f 0,7 . 7,95 5,57 
cm
= =
Valor de Kmod
Kmod1 = 0,7 → classe de carregamento de longa duração / madeira serrada
Kmod2 = 1,0 → classe de umidade 1 / madeira serrada
Kmod3 = 0,8 → madeira 2ª categoria
Kmod = Kmod1 . Kmod2 . Kmod3 = 0,56 
cok
cod mod 2
c
f 5,57 kN
f K . 0,56 . 2,23
1,4 cm
= = =
γ
com 2
kN
E 1 9583 MPa 1 958,3 
cm
= =
134
Unidade II
coef mod com 2
kN
E K . E 0,56 .1 958,3 1 096,6 
cm
= = =
b) Combinação das ações
Nd = 1,4 . (Ngk + Nqk) = 1,4 (20 + 75) = 133 kN
c) Índice de esbeltez
0x
x
L 230
 3,464 . 3,464 . 79,7
h 10
λ = = =
0y
y
L 230
 3,464 . 3,464 . 53,1
h 15
λ = = =
O índice de esbeltez será definido pelo maior dos dois valores anteriores; portanto:
λ = λx = 79,7
A peça é considerada medianamente esbelta:
40 < λ < 80
d) Verificação de segurança
Como estamos tratando de compressão simples, verificamos somente o plano do maior índice 
de esbeltez
•	 Determinação da excentricidade inicial ei
1g,d 1q,d1d
i
d d
M MM h
e 
N N 30
+
= = ≤
1d
d
i
x
M 0
 0
N 133
e 
h 10
 0,33
30 30
 = =≥ 
 = =
ei = 0,33 cm
135
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
•	 Determinação da excentricidade acidental ea
0
a
L 230
e 0,77 cm
300 300
= = =
e1 = ei + ea = 0,33 + 0,77 = 1,10 cm
•	 Determinação da carga crítica Fe
3
3
eixo x
15 . 1 0
I I 1 250 cm
12
= = =
2
c0,ef eixo
E 2
0
 E I
F 
L
π
=
2 2
c0,ef eixo
E 2 2
0
 E I . 1 096,6 .1 250
F 255,7 kN
L 230
π π
= = =
•	 Determinação da excentricidade de cálculo ed
E
d 1
E d
F 255,7
e e 1 ,10 2,29 cm
F N 255,7 1 33
   = = =   − −  
•	 Determinação da momento de cálculo Md
Md = Nd . ed = 133 . 2,29 = 304,6kN.cm
•	 Determinação das tensões σNd e σMd
d
Nd 2
N 133 kN0,89 
Área 10 x1 5 cm
σ = = =
d
Md 2 2
M 304,6 kN
 1 ,22 
W 15 . 1 0 cm
6
σ = = =
136
Unidade II
•	 Verificação de segurança
Nd Md
c0,d c0,d
 1 ,0
f f
σ σ
+ ≤
0,89 1,22
 0,95 1 ,0 A peça suporta o carregamento
2,23 2,23
+ = ≤ →
8.5 Cisalhamento
Em peças de madeira nas quais ocorre o cisalhamento, será considerada verificada a segurança se 
for atendida a expressão:
τvd < fv0,d
Onde:
τvd = valor de cálculo da tensão de cisalhamento solicitante;
fv0,d = resistência da madeira ao cisalhamento paralelo às fibras.
Na falta de dados experimentais, adota-se de acordo com a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997):
fv0,d = 0,12 fc0,d → para dicotiledôneas
fv0,d = 0,10 fc0,d → para coníferas
8.6 Peças submetidas à flexão reta
Peças de madeira submetidas a esse tipo de solicitação são comuns e frequentes na construção, 
sendo encontradas em formas e cimbramentos, em alguns tipos de coberturas e mezaninos também.
Segundo a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), em seu item 7.3.3, para peças fletidas, considera-se o vão 
teórico como o menor dos seguintes valores:
•	 Distância entre apoios.
•	 O vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão, não se considerando 
acréscimo maior que 10 cm.
137
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Tensões normais de flexão
A segurança é considerada atendida se forem garantidas simultaneamente as seguintes condições:
σc1,d < fc0,d
σt2,d < ft0,d
Onde:
fc0,d = resistência à compressão paralela às fibras;
ft0,d = resistência à tração paralela às fibras;
σc1,d = tensão atuante junto à borda mais comprimida;
σt2,d = tensão atuante junto à borda mais tracionada.
1
2 σt
σc
Figura 59 – Tensões de flexão na seção retangular
As tensões máximas nas bordas são determinadas conforme as expressões a seguir:
d
c1,d
c
M
 
W
σ =
d
t2,d
t
M
 
W
σ =
Onde:
Wc = módulo resistente da região comprimida;
Wt = módulo resistente da região tracionada.
138
Unidade II
Tensões tangenciais
A verificação de segurança é realizada do mesmo modo que no cisalhamento.
τvd < fv0,d
Sendo:
τvd = tensão máxima de cisalhamento atuante na peça.
Em vigas de seção retangular com largura b e altura h, temos:
d d
vd
V S V3
 . 
b I 2 b . h
τ = =
Onde:
S = momento estático da semisseção;
I = momento de inércia da seção completa.
A NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) apresenta algumas considerações especiais em caso de cisalhamento, 
de acordo com o tipo de carregamento e a variação da seção transversal.
Cargas concentradas junto aos apoios diretos
Em seções próximas aos apoios, os esforços de cisalhamento podem ser reduzidos até a distância de 
2 h, sendo h a altura da viga. O valor da força cortante reduzida é dado pela expressão:
red
a
V V
2 h
=
Onde a é a distância entre o ponto de aplicação da carga e o eixo do apoio.
Vigas entalhadas
Em caso de variações bruscas nas seções transversais, em função de entalhes, faz-se a majoração 
dos valores das tensões de cisalhamento, levando-se em conta a relação entre alturas. A tensão de 
cisalhamento é multiplicada pelo fator 
1
h
h
 
 
 
, respeitando-se a condição de h1 > 0,75.
d
vd
1
V3 h
 . 
2 b . h h
 
τ =  
 
139
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
h h
h1 h1
Figura 60 – Entalhes de peça com h1 > 0,75.h
Nos casos contrários, recomenda-se a utilização de parafusos verticais dimensionados à tração axial, 
para a totalidade da força cortante transmitida, ou o emprego de mísulas, como na figura a seguir.
h
⩾3 ( h - h1)
h
h1 h1
Figura 61 – Entalhes de peça com h1 < 0,75.h
Em qualquer hipótese, o valor de h/h1 deve ser maior que 0,25.
8.6.1 Estabilidade lateral de vigas de seção retangular 
A NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) não apresenta em seu texto nenhum critério específico para a 
verificação da estabilidade lateral de vigas. No entanto, a avaliação correspondente ao estado limite 
permite o emprego de um modelo teórico, cuja validade tenha sido comprovada de forma experimental.
A NBR 7190:1997 (ABNT, 1997) dispensa a necessidade da verificação relativa ao estado limite de 
perda de estabilidade lateral se forem atendidas as seguintes condições:
•	 Os apoios de extremidade das vigas impedem a rotação de suas extremidades em torno do seu 
eixo longitudinal.
•	 Existe um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento L da viga, afastados 
entre si a uma distância não maior que L1, que também impede a rotação dessas seções transversais 
em torno do eixo longitudinal da peça.
140
Unidade II
Nos casos de seção retangular de largura b e altura h, determina-se L1 através da seguinte expressão:
c0,ef1
M co,d
EL
 
b f
≤
β
Sendo:
2
3
E
M 1
2f
h
1 b 
26 h 
 0,63
b
 
 β  β =
π γ  − 
 
Com γf = 1,4 e βE = 4.
Os valores do coeficiente βM também são fornecidos pela tabela constante da NBR 7190:1997 (ABNT, 
1997), conforme a seguir.
Tabela 30 – Valores de βM
h
b βM
h
b βM
1,0 6,00 11,0 41,20
2,0 8,80 12,0 44,80
3,0 12,30 13,0 48,50
4,0 15,90 14,0 52,10
5,0 19,50 15,0 55,80
6,0 23,10 16,0 59,40
7,0 26,70 17,0 63,00
8,0 30,30 18,0 66,70
9,0 34,00 19,0 70,30
10,0 37,60 20,0 74,00
Fonte: ABNT (1997, p. 26).
Também se dispensa a verificação da estabilidade lateral para peças, onde:
c0,ef1
M co,d
EL
 
b f
>
β
141
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Desde que:
c0,ef
c1,d
1
M
E
 
L
 
b
σ ≤
 β 
 
8.6.2 Peças submetidas à flexão oblíqua
As peças submetidas à flexão oblíqua são caracterizadas pelo fato de o plano de ação do momento 
fletor não conter um dos eixos centrais de inércia, caso frequente em estruturas de coberturas, como 
em terças e ripas.
α
Fd
XY
 
Figura 62 – Flexão oblíqua em peças de cobertura
A condição de segurança é expressa segundo o item 7.3.3 da NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), devendo 
ser atendida a condição mais rigorosa das duas seguintes, seja referente à tensão de compressão, seja 
referente à tensão de tração.
My,dMx,d
M
wd wd
 k . 1 ,0
f f
σσ
+ ≤
My,dMx,d
M
wd wd
k . 1 ,0
f f
σσ
+ ≤
O valor de kM para as expressões anteriores toma o valor de:
kM = 0,5 → para seções retangulares 
kM = 1,0 → para outras seções
142
Unidade II
Onde:
σMx,d = tensão atuante máxima de projeto devido a componente de flexão no eixo principal x;
σMy,d = tensão atuante máxima de projeto devido a componente de flexão no eixo principal y;
fwd = resistência de cálculo de tração paralela às fibras ou de compressão paralela às fibras, conforme 
a borda verificada;
kM = coeficiente de correção em função da geometria da seção transversal.
8.6.3 Peças submetidas à flexão composta
Em peças de madeira, dois tipos de flexão composta podem ocorrer: a flexo-tração e a 
flexo-compressão. Esses tipos de solicitações podem ocorrer em diversos casos e situações estruturais, 
como em casos de pilares (flexo-tração), tirantes e pendurais (flexo-tração) e vigas com carga axial de 
compressão e cargas perpendiculares ao seu eixo longitudinal (flexo-compressão).
Flexo-tração
A NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), em seu item 7.3.5, determina que a condição de segurança para 
peças de madeira submetidas à flexo-tração é verificada obedecendo-se às duas expressões a seguir, 
aplicadas ao ponto de maior solicitação da borda tracionada:
My,dNt,d Mx,d
M
t0,d t0,d t0,d
 k . 1 ,0
f f f
σσ σ
+ + ≤
My,dNt,d Mx,d
M
t0,d t0,d t0,d
 k . 1 ,0
f f f
σσ σ
+ + ≤
Onde:
σNt,d = valor de cálculo devido à tensão normal atuante devida à força axial;
ft0,d = resistência de cálculo da madeira à tração paralela às fibras.
O valor de kM pode ser tomado como no item de flexão oblíqua.
Flexo-compressão
Em barras de madeira submetidas à flexo-compressão, devem ser atendidas duas condições: a 
verificação de resistência e a verificação de estabilidade.
143
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
A condição de segurança para a verificação de resistência é obtida pela mais rigorosa das duas 
expressõesseguintes, aplicadas ao ponto de maior solicitação da borda mais comprimida:
2
My,dNc,d Mx,d
M
c0,d c0,d c0,d
 k . 1 ,0
f f f
  σσ σ
+ + ≤  
 
2
My,dNc,d Mx,d
M
c0,d c0,d c0,d
 k . 1 ,0
f f f
  σσ σ
+ + ≤  
 
Onde:
σNc,d = valor de cálculo da parcela da tensão normal atuante em virtude apenas da força normal 
de compressão;
fc0,d = resistência de cálculo da madeira à compressão paralela às fibras.
A verificação quanto à estabilidade deve ser realizada de acordo com o item 7.5 da NBR 7190:1997 
(ABNT, 1997), conforme visto neste livro-texto.
8.7 Estados limites de serviço
Nas verificações dos estados limites de serviço ou estados limites de utilização, verifica-se basicamente 
as condições referentes aos deslocamentos que possam ocasionar desconforto aos usuários e/ou danos 
aos materiais não estruturais da construção e vibrações excessivas.
8.7.1 Deformações limites para construções correntes
São consideradas apenas as combinações de ações de longa duração, com consideração da rigidez 
efetiva do módulo de elasticidade Ec0,ef.
Os limites de deformação segundo a norma são:
L
 do vão
200
L
 do comprimento dos balanços
100
Em estruturas, é comum a utilização de contraflechas com o objetivo de reduzir os problemas 
nas verificações dos estados limites de utilização. Caso seja utilizada a contraflecha na verificação de 
segurança da flecha, as flechas relativas às ações permanentes podem ser reduzidas, sem considerar, no 
entanto, reduções superiores acima de 2/3 da flecha devido às ações permanentes.
144
Unidade II
Para casos de flexão oblíqua, os limites das flechas podem ser verificados para os elementos de 
forma isolada para cada um dos planos principais de flexão.
8.7.2 Deformações limites para construções com materiais frágeis não estruturais
As combinações de ações a serem utilizadas nessa verificação são as de média e de curta duração de 
acordo com o rigor da segurança pretendida.
Segundo a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), o valor limite das flechas atuantes para esse tipo de 
situação, incluindo efeitos de fluência, é:
L
 do vão
350
L
 do comprimento dos balanços
175
Para verificação das flechas devido às ações variáveis, são especificados os seguintes valores:
L
 do vão 1 5 mm
300
≤
L
 do comprimento dos balanços 1 5 mm
150
≤
Uef ⩽ Ulim
Uo
UQ
⩾ UG
3
Figura 63 – Verificação das deformações limites
Na figura anterior, temos:
u0 = contraflecha;
uG = flecha devido às ações permanentes;
uQ = flecha devido às ações variáveis;
145
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
uef = flecha total;
ulim = flecha limite.
Para situações de construções especiais como formas de concreto, cimbramentos etc., as deformações 
limites devem ser estabelecidas pelo proprietário da construção ou por normas especiais.
8.7.3 Vibrações excessivas
Segundo a NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), devem ser evitadas as vibrações excessivas da estrutura que 
causem desconforto ao usuário e/ou que possam prejudicar o desempenho de elementos estruturais da 
construção.
Nas construções com acesso regular de pessoas, a menor frequência natural de vibração dos 
elementos estruturais de piso não deve ser inferior a 8 Hz.
Para construções correntes, admite-se uma flecha máxima atuante devido a vibrações de 15 mm, na 
combinação de curta duração.
8.8 Disposições construtivas
A NBR 7190:1997 (ABNT, 1997), em seu capítulo 10, dispõe de algumas considerações sobre a 
utilização de elementos estruturais de madeira e sua execução:
•	 Projetos devem apresentar definições claras dos sistemas estáticos adotados, evitando-se problemas 
com os valores dos esforços atuantes nas seções críticas. Em casos de utilização de sistemas estáticos 
indeterminados, é obrigatória a utilização de nós rígidos; já para o caso de estruturas isostáticas, 
permite-se o emprego de ligações deformáveis, que são consideradas rígidas nos cálculos, devendo-se 
aplicar à estrutura isostática uma contraflecha com forma parabólica de no mínimo L/100, onde L é 
o vão teórico do elemento.
•	 Deve-se tomar cuidado com o tratamento preservativo da estrutura, com a facilidade de escoamento 
das águas e com o arejamento das faces vizinhas e paralelas à construção, a fim de evitar o 
deterioramento das peças estruturais. O projeto deve fornecer condições de facilidade de inspeção e 
substituição das peças estruturais em caso de deterioramento.
•	 Para as pontes ferroviárias, deve-se sempre utilizar madeira tratada; e, no caso de pontes 
rodoviárias e passarelas sem revestimento de proteção, deve-se admitir uma camada de desgaste 
ou camada de sacrifício de pelo menos 2 cm de espessura.
146
Unidade II
 Saiba mais
Para saber mais sobre nós deformáveis e ligações rígidas em estruturas 
de madeira, consulte o capítulo 8 da NBR 7190:1997:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 7190 – 
Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro: ABNT, 1997.
8.8.1 Dimensões mínimas das seções transversais
Nas peças principais isoladas (vigas e barras de treliças), a área mínima das seções transversais deve 
ser de pelo menos 50 cm², com espessura mínima de 5 cm.
Em peças secundárias, as áreas mínimas das seções transversais podem ser reduzidas para 18 cm² e 
a espessura mínima para 2,5 cm.
Em peças múltiplas, a área mínima da seção transversal de cada elemento que compõe a peça deve 
ser de 35 cm² e espessura mínima de 2,5 cm.
Para peças secundárias múltiplas, o limite da área mínima da seção transversal passa a ser 18 cm² e 
espessura mínima de 2,5 cm para cada elemento que compõe a seção.
Para peças de seção circular, pode-se considerar como uma peça de seção quadrada de área 
equivalente. Em peças de seção circular variável (caso comum quando se utiliza a madeira em fuste), 
pode-se calcular como fosse uma seção uniforme, igual à seção situada a uma distância da extremidade 
mais delgada igual a 1/3 comprimento total, não se considerando um diâmetro superior a 1,5 vez o 
diâmetro nessa extremidade.
 Lembrete
Madeira em fuste é o caso comum de utilização da madeira sem 
laminação, ou seja, do tronco da árvore. 
φ2 φ1
L/3 2L/3
� �
� �
m � �
�
2
1 2
3
Figura 64 – Diâmetro de seção circular não uniforme
147
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
Exemplo de aplicação
Verifique se a viga de madeira com seção transversal 7,5 x 15 (cm), com vão de 300 cm, biapoiada, é 
capaz de suportar os carregamentos de 0,4 kN/m (carga permanente) e 2,4 kN/m (sobrecarga).
Dados
Combinação última normal
Madeira Dicotiledônea – Classe C40 – 2ª categoria
Solução
a) Propriedades mecânicas
Valores obtidos conforme a tabela de classes de resistência das dicotiledôneas (madeiras duras) 
apresentada neste livro-texto:
cok 2
kN
f 40 MPa 4,0 
cm
= =
vok 2
kN
f 6,0 MPa 0,6 
cm
= =
com 2
kN
E 1 9500 MPa 1 950 
cm
= =
Valor de Kmod
Kmod1 = 0,7 → classe de carregamento de longa duração / madeira serrada
Kmod2 = 1,0 → classe de umidade 1 / madeira serrada
Kmod3 = 0,8 → madeira 2ª categoria
Kmod = Kmod1 . Kmod2 . Kmod3 = 0,56
cok
cod mod 2
c
f 4,0 kN
f K . 0,56. 1 ,6 
1,4 cm
= = =
γ
148
Unidade II
vok
vod mod 2
v
f 0,6 kN
f K . 0,56 . 0,19 
1,4 cm
= = =
γ
coef mod com 2
kN
E K . E 0,56 .1 950 1 092 
cm
= = =
b) Propriedades geométricas
3 3
4
x
b . h 7,5 . 1 5
I 2109,4 cm
12 12
= = =
2 2
3
x
b . h 7,5 . 1 5
W 281,25 cm
6 6
= = =
c) Combinação última normal
q = 1,4 . (0,4 + 2,4) = 3,92 kN/m
d) Esforços solicitantes
2 2
d
q . 3,92 . 3 
M 4,41 kNm 441 kN.cm
8 8
= = = =

d
q . 3,92 . 3 
V 5,88 kN
2 2
= = =

e) Estados limites últimos
σc0,d = σt0,d < fc0,d
τvd < fv0,d
Verificação de segurança:
d
c0,d 2 2
M 441 kN kN
 1,57 1 ,6 OK
W 281,25 cm cm
σ = = = ≤ ∴
d d
vd 2 2
V S V3 3 5,88 kN kN
 . . 0,078 0,19 OK
b I 2 b . h 2 7,5 .1 5 cm cm
τ = = = = ≤ ∴
149
COMPLEMENTOS DE SISTEMAS ESTRUTURAIS (MADEIRA E METAIS)
e) Estados limites de serviço