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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 11: Regras de Derivação.
Objetivos da Aula
� Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação;
� Derivar funções utilizando diferentes técnicas;
� Conhecer e aplicar a regra da cadeia.
1 Regras de Derivação
Diferenciação ou derivação é a operação utilizada para encontrar a derivada de uma função, quando
esta é derivável. Existem alguns resultados que facilitam a operação de diferenciação.
Teorema 1. Sejam f e g funções deriváveis e c uma constante real, então
a) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x);
b) (f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x);
c) (c · f)′(x) = c · f ′(x);
d) (f · g)′(x) = f(x) · g′(x) + g(x) · f ′(x) ;
e)
(
f
g
)′
(x) =
f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)
[g(x)]2
.
Exemplo 1. Calcule f ′(x), sendo f(x) = x3 + x2 + 1.
Solução: Aplicando a regra da derivada da soma, temos
f ′(x) = [x3]′ + [x2]′ + [1]′ = 3x2 + 2x.
�
Exemplo 2. Calcule f ′(x), sendo f(x) = 3x+
√
x.
Solução: Note que:
f(x) = 3x+
√
x = 3x+ x
1
2
Aplicando a regra da derivada da soma, temos
f ′(x) = 3 +
1
2
x
1
2
−1 = 3 +
1
2
x−
1
2 = 3 +
1
2
√
x
.
�
1
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Exemplo 3. Calcule f ′(x), sendo f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde b, c e k são constantes.
Solução: Utilizando a regra da derivada da soma e a derivada da potência, temos:
f ′(x) = 20x3 + 3bx2 + 2cx.
�
Exemplo 4. Calcule f ′(x), sendo f(x) = (x2 + 3x) senx.
Solução: Aplicando a regra da derivada do produto, temos
f ′(x) = (2x+ 3) senx+ (x2 + 3x) cosx.
�
Exemplo 5. Calcule f ′(x), quando f(x) =
5x
x2 + 1
.
Solução: Aplicando a regra da derivada do quociente, temos
f ′(x) =
(5x)′.(x2 + 1)− (x2 + 1)′.(5x)
(x2 + 1)2
=
5(x2 + 1)− (2x).(5x)
(x2 + 1)2
=
5x2 + 5− 10x2
(x2 + 1)2
=
−5x2 + 5
(x2 + 1)2
.
�
Exemplo 6. Calcule f ′(x), para f(x) = tg x.
Solução: Note que
f(x) = tg x =
senx
cosx
.
Utilizando a regra da derivada do quociente, temos
f ′(x) =
cosx cosx− (− senx) senx
cos2 x
=
cos2 x+ sen2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x.
�
Utilizando a regra do quociente, podemos provar também que
f(x) = secx ⇒ f ′(x) = secx tg x
f(x) = cotg x ⇒ f ′(x) = − cossec2 x
f(x) = cossecx ⇒ f ′(x) = − cossecx cotg x
(Veri�que!)
Exemplo 7. Mostre que se a > 0, a 6= 1, então
d
dx
(loga x) =
1
x ln a
.
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Solução: Utilizando a fórmula da mudança de base e a propriedade (c) do Teorema 1, obtemos que
d
dx
(loga x) =
d
dx
(
ln(x)
ln(a)
)
=
1
ln a
d
dx
(lnx)
=
1
x ln a
.
�
Exemplo 8. Calcule f ′(x), quando f(x) =
3x2 + 2
√
x
x
.
Solução: Note que
f(x) =
3x2 + 2
√
x
x
=
3x2
x
+
2
√
x
x
= 3x+
2x
1
2
x
= 3x+ 2x−
1
2 .
Aplicando a derivada da soma, temos
f ′(x) = 3− x−
3
2 = 3− 1
x
√
x
.
�
Observação 1. O Exemplo 8 nos mostra que nem sempre precisamos aplicar a regra do quociente logo de
primeira. Algumas vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que seja
mais simples para derivar.
Exemplo 9. Seja x = t2 sen(t). Calcule
(a)
dx
dt
;
(b)
dx
dt
∣∣∣∣
t=π
.
Solução:
(a) Aplicando a regra da derivada do produto, temos
dx
dt
=
d
dt
(t2 sen t) = 2t sen t+ t2 cos t = t(2 sen t+ t cos t).
(b) Calculando
dx
dt
∣∣∣∣
t=π
, temos
dx
dt
∣∣∣∣
t=π
= π(2 senπ + π cosπ) = −π2.
�
Exemplo 10. Seja y = u2 em que u = u(x) é uma função derivável. Veri�que que
dy
dx
= 2u
du
dx
.
Solução: Note que
y = u2 = u · u ⇒ dy
dx
=
d
dx
[u · u] = du
dx
u+ u
du
dx
.
Assim,
dy
dx
= 2u
du
dx
.
�
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Exemplo 11. Calcule
dy
dx
, em que y = (x2 + 3x)2.
Solução: Fazendo u = x2 + 3x, temos
y = u2.
Pelo Exemplo 10, temos
dy
dx
= 2u
du
dx
.
Como
du
dx
=
d
dx
[x2 + 3x] = 2x+ 3, temos
dy
dx
= 2 (x2 + 3x)︸ ︷︷ ︸
u
(2x+ 3)︸ ︷︷ ︸
du
dx
.
�
Observação 2. Vimos no Exemplo 10, que sendo y = u2, com u = u(x) derivável, resulta em
dy
dx
= 2u
du
dx
. (1)
Por outro lado,
y = u2 ⇒ dy
du
=
d
du
[u2] = 2u.
Assim, em (1), temos
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
, (2)
em que
dy
du
deve ser calculado em u = u(x). Mostraremos na próxima seção que esta regra (2), conhecida
como regra da cadeia é válida sempre que y = y(u) e u = u(x) forem deriváveis.
Exemplo 12. Calcule f ′(x), para f(x) = 3 cos2(2x).
Solução: Temos que
f ′(x) = −3.2.2 cos(2x). sen(2x) = −12 cos(2x) sen(2x).
�
Exemplo 13. Calcule f ′(x), quando f(x) = x3 − sen
(x
3
)
.
Solução: Temos que
f ′(x) = 3x2 − 1
3
. cos
(x
3
)
.
�
Exemplo 14. Calcule f ′(x), para f(x) = (5x− 1)(−x3 + 5x− 3)4.
Solução: Note que
[5x− 1]′ = 5[
(−x3 + 5x− 3)4
]′
= 4(−x3 + 5x− 3)3(−3x2 + 5)
Aplicando a regra da derivada do produto, segue que:
f ′(x) = 5.(−x3 + 5x− 3)4 + (5x− 1).4(−x3 + 5x− 3)3(−3x2 + 5)
= (−x3 + 5x− 3)3.
[
5(−x3 + 5x− 3) + 4(5x− 1)(−3x2 + 5)
]
= (−x3 + 5x− 3)3.
[
−5x3 + 25x− 15 + 4(−15x3 + 25x+ 3x2 − 5)
]
= (−x3 + 5x− 3)3.
[
−5x3 + 25x− 15− 60x3 + 100x+ 12x2 − 20
]
= (−x3 + 5x− 3)3.(−65x3 + 12x2 + 125x− 35).
�
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Exemplo 15. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x
√
x no ponto (1, 1).
Solução: Note que
y = f(x) = x
√
x = x.x
1
2 = x
3
2 .
Assim,
y′ =
3
2
x
3
2
−1 =
3
2
x
1
2 =
3
2
√
x.
Logo, a inclinação da reta tangente em (1, 1) é f ′(1) = 3
2 . Portanto, a equação da reta tangente é
y − f(1) = f ′(1).(x− 1)
y − 1 =
3
2
(x− 1)
y =
3
2
x− 1
2
.
Gra�camente, temos:
�
Exemplo 16. Encontre os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4, onde a reta tangente é horizontal.
Solução: As retas tangente horizontais ocorrem quando derivada é igual a zero. Temos que
dy
dx
[x4 − 6x2 + 4] = 4x3 − 12x
= 4x(x2 − 3).
Assim,
4x(x2 − 3) = 0 ⇒ x = 0 ou x = ±
√
3.
Logo, a curva dada tem tangentes horizontais, quando x = 0, x =
√
3 e x = −
√
3. Os pontos
correspondentes são (0, 4), (
√
3,−5) e (−
√
3,−5).
Gra�camente, temos:
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�
Regra da Cadeia
Considere a função F (x) = (x2 + 3x)2. Sabemos que F (x) é a composta das funções f(x) = x2 + 3x
e g(y) = y2 e que F (x) = (g ◦ f)(x). Pelo o que foi ministrado em aulas anteriores, sabemos derivar
separadamente f(x) e g(y), contudo, ainda não sabemos derivar uma função composta. A regra de derivação
para uma função composta é a chamada regra da cadeia, enunciada abaixo:
Teorema 2 (Regra da Cadeia). Sejam g(y) e y = f(x) duas funções deriváveis, com Imf ⊂ Dg. Então a
função composta g(f(x)) é derivável e vale a regra
[g(f(x))]′ = g′(f(x)).f ′(x). (3)
Em notação de Leibniz, temos
dg
dx
=
dg
dy
dy
dx
. (4)
Vejamos alguns exemplos de utilização e aplicação da regra da cadeia.
Exemplo 17. Calcule a derivada de F (x) =
√
x2 + 1.
Vamos resolver esse exemplo de duas formas.
Solução (1): Determinamos as funções y = f(x) e g(y) tais que F = (g ◦ f)(x). E observando a função
F , observamos que f(x) = x2 + 1 e g(y) =
√
y. Logo, utilizando a fórmula (3), obtemos que
F ′(x) = g′(f(x)).f ′(x) =
1
2
√
f(x)
.2x =
x√
x2 + 1
.
�
Solução (2): Uma outra forma de resolver esse exemplo é chamando y = x2 + 1 e assim, obtemos que
F (y) =
√
y. Assim, pela fórmula (4), obtemos que
dF
dx
=
dF
dy
dy
dx
=
1
2
√
y
.2x =
1√
x2 + 1
.
�
Portanto, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas no teorema 2 para calcular a derivada de uma
função composta. Vejamos mais alguns exemplos.
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Exemplo 18. Derive y = sen x2 e z = sen2 x.
Solução: Escrevendo t = x2 e y = sen t. Logo, por (3), obtemos que
y′ = y′(t(x)).t′(x) = cos(t(x)).2x = 2x cos(x2).
Agora, escrevendo y = sen x, obtemos que z = y2. Logo, utilizando (4) obtemos que
dz
dx
=
dz
dy
dy
dx
= 2y. cosx = 2 sen x cosx = sen 2x.
�
Exemplo 19. Derive y = (x3 − 1)100.
Solução: Escrevendo u = x3 − 1, obtemos que y = u100. Logo,
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
= 100u99.3x2 = 300x2(x3 − 1)99.
�
Exemplo 20. Calcule f ′(x), sendo que f(x) =
1
3
√
x2 + x+ 1
.
Solução: Fazendo f(u) =
1
3
√
u
e u(x) = x2+ x+ 1, temos que
f ′(x) = f ′(u(x)).u′(x) = −1
3
3
√
u4(2x+ 1) = − 2x+ 1
3 3
√
(x2 + x+ 1)4
.
�
Exemplo 21. Encontre a derivada da função g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
.
Solução: Fazendo y =
t− 2
2t+ 1
, obtemos que g(y) = y9. Logo, pela regra da cadeia, obtemos
dg
dt
=
dg
dy
dy
dt
= 9y8
dy
dt
. (5)
Calculando
dy
dt
, temos que
dy
dt
=
d
dt
[
t− 2
2t+ 1
]
=
(t− 2)′(2t+ 1)− (t− 2)(2t+ 1)′
(2t+ 1)2
=
��2t+ 1−��2t+ 4
(2t+ 1)2
=
5
(2t+ 1)2
.
Logo, (5) torna-se
dg
dt
= 9
(
t− 2
2t+ 1
)8 5
(2t+ 1)2
=
45(t− 2)8
(2t+ 1)10
.
�
Exemplo 22. Se h(x) = sen (cos(tg x)), determine f ′(x).
Solução (1): Fazendo y = f(x) = cos(tg x) e g(y) = sen y, segue da regra da cadeia que
h′(x) = g′(f(x)).f ′(x) = cos(f(x)).(cos(tg x))′ = cos(cos(tg x)).(cos(tg x))′.
Novamente, aplicando a regra da cadeia em (cos(tg x))′, obtemos
[cos(tg x)]′ = − sen (f(x)). sec2 x = − sen(tg x). sec2 x.
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Logo,
h′(x) = − cos(cos(tg x)). sen(tg x). sec2 x.
�
Solução (2): Escrevendo y = cos(tg x) então h(y) = sen y. Pela regra da cadeia,
dh
dx
=
dh
dy
dy
dx
. (6)
Como y = cos(tg x) é uma função composta, então podemos escrever u = tg x, temos que y = cos u.
Logo, pela regra da cadeia, obtemos
dy
dx
=
dy
du
du
dx
. (7)
Substituindo (7) em (6), obtemos
dh
dx
=
dh
dy
dy
du
du
dx
= cos(y).(− sen u). sec2 x = − cos(cos(tg x)). sen (tg x). sec2 x.
�
Exemplo 23. Seja f : R → R uma função derivável e seja g(x) = f(cosx). Calcule g′
(π
3
)
supondo
f ′
(
1
2
)
= 4.
Solução: Utilizando a regra da cadeia, obtemos
g′(x) = f ′(cosx).(cosx)′ = −f ′(cosx) senx.
Logo,
g′
(π
3
)
= −f ′
(
cos
(π
3
))
sen
(π
3
)
= −f ′
(
1
2
) √
3
2
= −2
√
3.
�
Exemplo 24. Calcule
d2y
dx2
sabendo que y = cos 5x.
Solução: Chamando u = 5x, segue da regra da cadeia que
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= − sen u.5 = −5 sen(5x).
Derivando novamente, temos que
d2y
dx2
=
d
dx
(
dy
dx
)
=
d
dx
(−5 sen 5x) = −5 d
dx
(sen 5x) .
Chamando novamente u = 5x, temos que
d
dx
(sen 5x) = 5 cos(5x).
Logo,
d2y
dx2
= −25 cos(5x).
�
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Exemplo 25. Seja f : R→ R uma função derivável até 2a ordem e seja g dada por g(x) = f(x2). Calcule
g′′(2), supondo que f ′(4) = 2 e f ′′(4) = 3.
Solução: Segue da regra da cadeia que
g′(x) = f ′(x2).2x = 2x.f ′(x2),
e que
g′′(x) = (g′(x))′ = (2x.f ′(x2))′ = 2f ′(x2)+2x.(f ′(x2))′ = 2f ′(x2)+2x.(f ′′(x2).2x) = 2f ′(x2)+4x2.f ′′(x2).
Sendo assim,
g′′(2) = 2f ′(22) + 4.22.f ′′(22) = 2.f ′(4) + 16f ′′(4) = 2.2 + 16.3 = 52.
�
Exemplo 26. A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ Df ,
xf(x) + sen (f(x)) = 4. (8)
Mostre que
f ′(x) =
−f(x)
x+ cos(f(x))
.
Solução: Derivando a equação (8) em relação a x, obtemos que
d
dx
[xf(x) + sen (f(x))] =
d
dx
[4]
d
dx
[xf(x)] +
d
dx
[sen f(x)] = 0
f(x) + xf ′(x) + cos f(x).f ′(x) = 0
f ′(x) [x+ cos f(x)] = −f(x)
f ′(x) =
−f(x)
x+ cos f(x)
.
�
Exemplo 27. Seja y = x3, em que x = x(t) é uma função derivável até 2a ordem. Veri�que que
d2y
dt2
= 6x
(
dx
dt
)2
+ 3x2
d2x
dt2
.
Solução: Derivando em relação a t e utilizando a regra da cadeia, obtemos que
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
= 3x2
dx
dt
.
Derivando mais uma vez em relação t, obtemos que
d2y
dt2
=
d
dt
[
dy
dt
]
=
d
dt
[
3x2
dx
dt
]
.
Utilizando a regra do produto, temos que
d2y
dt2
=
d
dt
[
3x2
] dx
dt
+ 3x2
d
dt
[
dx
dt
]
=
d
dt
[
3x2
] dx
dt
+ 3x2
d2x
dt2
.
Pela regra da cadeia, obtemos
d
dt
[
3x2
]
= 6x
dx
dt
.
Assim,
d2y
dt2
= 6x
(
dx
dt
)2
+ 3x2
d2x
dt2
.
�
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Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 179− 185 e 188− 193 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 185− 188 e 194− 196 do livro texto.
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