2024-SF Aula 02 - A - Relações Termodinâmicas Importantes

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Universidade Paulista
Sistemas Fluidotérmicos
Aula 02 – 28.02.24
Relações Termodinâmicas 
Importantes
Curso Engenharia Mecânica
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Relações Termodinâmicas Importantes (slide 01/10)
Duas relações termodinâmicas importantes para uma substância compressível simples são:
1 – Duas Relações Termodinâmicas Importantes
𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑𝑈 + 𝑃 𝑑𝑉 𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑𝐻 − 𝑉 𝑑𝑃
A primeira dessas relações termodinâmicas pode ser deduzida considerando-se uma substância compressível
simples na ausência de efeitos de movimento ou efeitos gravitacionais. A primeira lei da termodinâmica para uma
mudança de estado sob essas condições é:
𝛿𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝛿𝑊
As equações que serão deduzidas se referem a processos em que o estado da substância pode ser identificado a
qualquer instante. Assim devemos considerar um processo quase-estático, ou um processo reversível. Para uma
substância compressível simples e admitindo um processo reversível, podemos escrever:
𝛿𝑄 = 𝑇 𝑑𝑆 𝛿𝑊 = 𝑃 𝑑𝑉
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Substituindo-se essas relações na equação da primeira lei da termodinâmica, temos:
𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑𝑈 + 𝑃 𝑑𝑉
que é uma das equações que pretendíamos deduzir. Observe que utilizamos um processo reversível para a dedução
desta equação. Assim, ela pode ser integrada em qualquer processo reversível, pois durante esse processo o estado
da substância pode ser identificado em qualquer ponto. Observamos também que a equação 8.5 só opera com
propriedades termodinâmicas. Admitamos um processo irreversível que ocorra entre determinados estados inicial e
final. As propriedades de uma substância dependem somente do estado, e, portanto, as variações das propriedades
durante uma dada mudança de estado são as mesmas, tanto para um processo irreversível como para um processo
reversível. Portanto, a equação 8.5 pode ser aplicada num processo irreversível entre dois estados dados, porém, a
integração da equação 8.5 é realizada ao longo de um processo reversível entre os mesmos estados inicial e final.
Como a entalpia é definida por:
(8.5)
𝐻 = 𝑈 + 𝑃𝑉
Podemos fazer:
𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑃 𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝑃
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 02/10)
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Substituindo -se essa relação na equação 8.5, obtemos:
𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑𝐻 − 𝑉 𝑑𝑃
que é a segunda equação que nos propusemos a deduzir. Frequentemente, dá-se o nome de equações de Gibbs
para o conjunto dessas equações.
Essas equações também podem ser escritas para uma unidade de massa, ou seja,
(8.6)
𝑑ℎ = 𝑑𝑢 + 𝑑 𝑃𝑉 ≅ 𝑑𝑢 + 𝑣 𝑑𝑃
Além disso, o volume específico, para essas fases é muito pequeno, tal que em muitos casos:
𝑑ℎ ≈ 𝑑𝑢 ≈ 𝐶𝑑𝑇
𝑇 𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 + 𝑃 𝑑𝑣
𝑇 𝑑𝑠 = 𝑑ℎ − 𝑣 𝑑𝑃
(8.7)
(8.8)
2 – Variação de Entropia num Sólido ou Líquido
Como um caso especial, consideremos um sólido ou líquido. Essas duas fases são praticamente incompressíveis,
(5.16)
(5.17)
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 03/10)
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em que C é o calor específico a volume constante ou a pressão constante, pois os valores de ambos serão muito
próximos. Em muitos processos que envolvem um sólido ou um líquido, podemos adicionalmente admitir que o calor
específico da equação 5.17 seja constante. Nesse caso, a equação 5.17 pode ser facilmente integrada,
Admitindo-se que o calor específico mantenha-se constante em muitos processos que envolvem sólidos ou líquidos,
a equação 8.10 pode ser integrada, obtendo-se o seguinte resultado:
𝑠2 − 𝑠1 ≈ 𝐶 𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
ℎ2 − ℎ1 ≅ 𝑢2 − 𝑢1 ≅ 𝐶 𝑇2 − 𝑇1 (5.18)
Para as fases de sólido e líquido, o termo do volume específico da equação 8.7 é muito pequeno e pode ser
desprezado. Utilizando a equação 5.17, temos:
(8.10)
(8.11)
Os calores específicos para vários sólidos e líquidos são apresentados nas Tabelas A.3 e A.4. Em outros processos
para os quais não é possível admitir calor específico constante, pode ser conhecida uma relação funcional entre o
calor específico e a temperatura. Nesse caso a equação 5.17 também deve ser integrada.
𝑑𝑠 ≈
𝑑𝑢
𝑇
≈
𝐶
𝑇
𝑑𝑇
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 04/10)
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Normalmente, o calor específico é função da temperatura. Nesses casos, a variação de entropia também pode ser
calculada integrando-se a equação 8.10. A equação 8.11 mostra que um processo adiabático reversível (isoentrópico)
realizado sobre um fluido incompressível (volume específico constante) é um processo isotérmico. Esse é o motivo
para modelarmos o bombeamento de líquidos como isotérmico.
Sendo: Cv0 – Calor específico a volume constante e pressão zero;
e Cp0 – Calor específico a pressão constante a pressão zero.
Duas equações muito úteis para a determinação da variação de entropia de gases ideais podem ser desenvolvidas
aplicando as equações 5.20 e 5.24
3 – Variação de Entropia num Gás Ideal
𝑑𝑢 = 𝐶𝑣0 𝑑𝑇
𝑃
𝑇
=
𝑅
𝑣
(5.20)
𝑑ℎ = 𝐶𝑝0 𝑑𝑇 (5.24)
𝑑𝑢 = 𝐶𝑣0 𝑑𝑇 e
Para um gás ideal
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(8.12)
Portanto,
𝑑𝑠 = 𝐶𝑣0
𝑑𝑇
𝑇
+
𝑅 𝑑𝑣
𝑣
𝑠2 − 𝑠1 = න
1
2
𝐶𝑣0
𝑑𝑇
𝑇
+ 𝑅 𝑙𝑛
𝑣2
𝑣1 (8.13)
Analogamente
𝑇𝑑𝑠 = 𝑑ℎ − 𝑣 𝑑𝑃
Para um gás ideal:
𝑑ℎ = 𝐶𝑝0 𝑑𝑇
𝑣
𝑇
=
𝑅
𝑃
Portanto,
𝑑𝑠 = 𝐶𝑝0
𝑑𝑇
𝑇
+
𝑣 𝑑𝑃
𝑇
𝑠2 − 𝑠1 = න
1
2
𝐶𝑝0
𝑑𝑇
𝑇
− 𝑅 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1
(8.14)
(8.15)
𝑇 𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 + 𝑃 𝑑𝑣 (8.7) =>
(8.8)
𝑑𝑠 = 𝐶𝑣0
𝑑𝑇
𝑇
+
𝑃 𝑑𝑣
𝑇
=>
𝑑𝑠 = 𝐶𝑝0
𝑑𝑇
𝑇
+
𝑅 𝑑𝑃
𝑃=>
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 06/10)
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Considerando-se calores específicos constantes, integrando-se a equação 8.15, temos:
Analogamente, integrando-se a equação 8.13 para o caso de Cv0 constante,
𝑠2 − 𝑠1 = 𝐶𝑝0 𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
− 𝑅 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1 (8.16)
𝑠2 − 𝑠1 = 𝐶𝑣0 𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
+ 𝑅 𝑙𝑛
𝑣2
𝑣1
Considerando-se um processo isoentrópico, quando a variação do calor específico a pressão constante é nula
durante o processo, a equação 8.16 pode ser escrita do seguinte modo:
(8.17)
𝑠2 − 𝑠1 = 0 = 𝐶𝑝0 𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
− 𝑅 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1
ou
𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
=
𝑅
𝐶𝑝0
𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1 e
𝑇2
𝑇1
=
𝑃2
𝑃1
ൗ𝑅 𝐶𝑝0
(8.20)
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 07/10)
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Entretanto,
𝑅
𝐶𝑝0
=
𝐶𝑝0 − 𝐶𝑣0
𝐶𝑝0
=
𝑘 − 1
𝑘
𝐶𝑝0 − 𝐶𝑣0 = 𝑅 (5.27)
(8.21)
Onde k é a razão entre os calores específicos a pressão zero,
𝑘 =
𝐶𝑝0
𝐶𝑣0 (8.22)
A equação 8.20 pode ser transformada num formato mais adequado, ou seja,
𝑇2
𝑇1
=
𝑃2
𝑃1
ൗ𝑘−1
𝑘
Combinando esse resultado com a equação que descreve o comportamento dos gases ideais, obtemos,
𝑇2
𝑇1
=
𝑣1
𝑣2
𝑘−1
e
𝑃2
𝑃1
=
𝑣1
𝑣2
𝑘
(8.23)
(8.24) (8.25)
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 08/10)
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Observe que podemos reescrever a última equação do seguinte modo:
𝑃𝑣𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (8.26)
A equação 8.26 é válida para todos os processos adiabáticos e reversíveis que envolvem um gás ideal com calor
específico constante.
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 09/10)
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Bibliografia
Borgnakke, C. e Sonntag, R.E., “Fundamentos da Termodinâmica”, 7ª Ed., Editora Edgard Blucher, 2010.
Relações Termodinâmicas Importantes (slide 10/10)