Apostila Nova Concursos Epcar-205-207

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MATEMÁTICA
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião 
dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos 
da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. 
O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de 
centro P e o arco RUS é outra.
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
- A medida do arco menor é a medida do ângulo cen-
tral correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 
360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi 
radianos.
- Em circunferências congruentes ou em uma simples 
circunferência, arcos que possuem medidas iguais são ar-
cos congruentes.
- Em uma circunferência, se um ponto E está entre os 
pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, 
então: 
m(DE)+m(EF)=m(DF).
- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades 
de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
- Apenas esta última relação faz sentido para as duas 
últimas figuras apresentadas.
Propriedades de arcos e corda
Uma corda de uma circunferência é um segmento de 
reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos 
de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são 
extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles 
um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for 
especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao 
arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que 
especificar. 
Observações: Se um ponto X está em um arco AB e 
o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto 
médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta 
que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. 
O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do 
arco é o centro da circunferência que contém o arco.
- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, 
traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando 
pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas 
duas retas é o ponto que determinará um extremo do seg-
mento OT cuja medida representa a distância entre o ponto 
e a reta.
- Em uma mesma circunferência ou em circunferên-
cias congruentes, cordas congruentes possuem arcos con-
gruentes e arcos congruentes possuem cordas congruen-
tes. (Situação 1).
- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bis-
setor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências 
congruentes, cordas que possuem a mesma distância do 
centro são congruentes. (Situação 3).
Polígonos inscritos na circunferência
Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada 
vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste 
caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polí-
gono.
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MATEMÁTICA
Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um qua-
drilátero está inscrito em uma circunferência então os ân-
gulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ân-
gulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro 
ângulos é 360 graus.
 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus
Ângulos inscritos
Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ân-
gulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a 
ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e 
AB é o arco correspondente.
Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo 
inscrito em uma circunferência é igual à metade da respec-
tiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu 
arco correspondente, isto é: m = n/2 = (1/2) m(AB)
Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco corres-
pondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência 
é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa se-
mi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele 
é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa 
do triângulo.
Ângulo semi-inscrito e arco capaz
Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo 
de segmento é um ângulo que possui um dos lados tan-
gente à circunferência, o outro lado secante à circunferên-
cia e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um 
arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a 
reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspon-
dente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é 
um ponto sobre o arco. 
Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a 
metade da medida do arco interceptado. Na figura, a me-
dida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco 
AXB.
Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, 
pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos 
do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados 
passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos con-
gruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de 
circunferência denominado arco capaz.
Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, 
com lados passando pelos pontos A e B são congruentes 
e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto 
sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo 
está localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, 
os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V1, V2, 
V3,..., são todos congruentes (a mesma medida).
Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ân-
gulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é 
ângulo central então a medida de m é o dobro da medida 
de n, isto é: m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)
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MATEMÁTICA
Exercícios
1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. 
Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e cir-
cunscrito. Escreva a equação da circunferência cujo extre-
mos do diâmetro é dado pelos pontos A(2,–1) e B(6,3).
2. Dada uma equação reduzida de uma circunferência 
(x - 1)2 + (y + 4)2 = 9, dizer qual a origem e o raio da cir-
cunferência:
3. Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x ? 2y +6 
= 0, observar posição relativa dos seguintes pontos
a) P(2, 1)
b) Q(5, 1)
4. Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y ? 2 
= 0 e a circunferência l: (x ? 1)2 + (y ? 5)2 = 5
5. Obter as equações das tangentes à circunferência l: 
x2 + y2 = 9, que sejam paralelas à reta s: 2x + y ? 1 = 0.
6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que pas-
sa por uma de suas extremidades é 36 cm. Calcule o com-
primento da corda, sabendo que o raio da circunferência 
é 50 cm.
7. Se um ponto P da circunferência trigonométrica cor-
responde a um número x real, qual é a forma dos outros 
números que também correspondem a esse mesmo pon-
to?
8. Quantas voltas serão dadas na circunferência trigo-
nométrica para se representar os números 25π
12
 e -12?
9. Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro 
dos minutos de um relógio cujo mostrador tem 5 cm de 
diâmetro, após ter passado 1 hora?
10. Calcule qual a medida em graus do ângulo formado 
pelos ponteiros do relógio às 15h 15min. 
Respostas
1) Solução:
Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, 
o ponto médio entre eles é o centro da circunferência. En-
contrando então o centro temos h = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 
e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1). 
A distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou 
B é o raio. 
Logo,
 R = dCB = (6 − 4)
2 + (3−1)2 = 2 2 +22 = 4 + 4 = 8
Então a equação é dada por: x2 + y2 – 2.4.x – 2.1.y + 42 
+ 12 – √8 2 = 0 ou x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0.
2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a 
equação genérica reduzida de uma circunferência:
x0 = 1
y0 = -4
r2 = 9 → r = 3
Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um 
raio de 3.
3) Solução: 
a) 22 + 12 ? 6.2 ? 2.1 +6 = -3 <0
P é interno à circunferência
b) 52 + 12 ? 6.5 ? 2.1 +6 = 0
Q Pertence à circunferência.
4) Solução: Procuraremos as eventuais interseções en-
tre elas, isolando o y da reta e jogando na equação da cir-
cunferência teremos:
y = 2 ? 2x
x2 + (2 ? 2x)2 ? 2x ? 10 . (2 ? 2x) + 21 =0
x2 + 2x +1 =0
Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e úni-
ca solução x = -1, o que leva a um único y, que é 4, assim a 
reta tangencia a circunferência.
5) Solução:
Nestes casos é aconselhável que a equação da reta es-
teja como de fatoestá, na sua forma geral, pois as tangen-
tes t, sendo paralelas a s, manterão o coeficiente angular e 
poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 , 
bastando, então, encontrar os valores de c:
As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):
dC,t = |c|/05 = 3
c =± 305
Portanto t1 : 2x + y + 305 = 0 e t2 : 2x + y - 305= 0.
6) Solução: Para Achar o comprimento de uma circun-
ferência tem que usar essa fórmula C=2.π.r
Sendo π (pi) = 3,14
r = Raio
C=2×3,14×50
C=6,28×50
C=31,4.
7) Solução: Dado um número real x, fica determina-
do um ponto P da circunferência trigonométrica, de modo 
que o comprimento do arco AP, bem como a medida em 
radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que 
difira do número x, por um número inteiro de vezes 2π , 
irá corresponder a esse mesmo ponto P.
Assim, a forma dos outros números que também cor-
respondem a esse mesmo ponto é x + 2kπ ,k ∈Z .
8) Solução: Dado o número real 25
12
π , temos:
25
12
π = 2π + π
12