Tópicos de Física 3 - Parte 2-274-276

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576 UNIDADE 4 | FÍSICA MODERNA
Nessas condições, →1 v
c
0
2
2
2 e, consequentemente, m → ∞.
Concluímos que, como nenhum corpo pode ter inércia infinita, é simples-
mente impossível que um corpo dotado de massa atinja a velocidade da luz 
no vácuo.
10. Quantidade de movimento relativística
Sabemos que, em um sistema isolado, qualquer interação entre dois corpos 
obedece ao Princípio de Conservação da Quantidade de Movimento. Esse princípio 
deve ser verificado em qualquer referencial inercial. 
Se um observador A parado na calçada assistir à colisão entre dois veículos, 
enquanto outro observador, B, assistir à mesma colisão passando pelo local com 
velocidade constante, o primeiro postulado da Relatividade Especial ou Restrita 
assegura que esses dois observadores medirão uma quantidade de movimento 
total constante para o sistema formado pelos dois veículos, isto é, igual antes, 
durante e após a colisão entre eles.
Para velocidades muito menores que a velocidade da luz, a intensidade da 
quantidade de movimento clássica Q para um corpo de massa m0 dotado de velo-
cidade v é:
Q m v05
Porém, para preservarmos a conservação da quantidade de movimento quan-
do temos velocidades comparáveis à velocidade da luz, o módulo da quantidade 
de movimento relativística deve ser dado pela relação:
5
2
Q
m v
1
v
c
0
2
2
Novamente nos deparamos com o fator 
g
1
:
1 v
c
2
2
2
Sabemos que este fator é sempre menor que 1 e, como está no denominador 
da fração, concluímos que o módulo da quantidade de movimento relativística será 
sempre maior que o módulo da quantidade de movimento não relativística.
NOTA!
O fator de Lorentz foi obtido pela primeira vez em 1906 por Max Planck (1858-1947), 
enquanto estudava a ação de um campo eletromagnético sobre partículas carregadas; 
mais tarde, esse mesmo coeficiente foi obtido para reescrever a quantidade de movi-
mento clássica, Q 5 mv, para que o Princípio de Conservação da Quantidade de Movi-
mento fosse válido em quaisquer referenciais inerciais. Desse modo, convencionou-se 
chamar massa relativística ao produto m 5 g m0.
Na verdade, a massa não é um atributo físico relativo, dependente do observador, 
mas uma propriedade intrínseca dos corpos. Os efeitos relativísticos não são devidos 
a algo que acontece com o corpo: são uma consequência das propriedades do espaço 
e do tempo.
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577TÓPICO 3 | TEORIA DA RELATIVIDADE
Para velocidades cotidianas de carros, aviões e animais, é absolutamente indi-
ferente usarmos o conceito clássico ou relativístico da quantidade de movimento 
para descrevermos uma colisão; porém, quando estudamos uma partícula ou uma 
colisão de partículas com velocidades próximas à velocidade da luz, é imprescin-
dível que analisemos o sistema do ponto de vista relativístico. O gráfico a seguir 
mostra o aumento muito rápido da razão entre o módulo da quantidade de movi-
mento relativístico e não relativístico quando se aproxima da velocidade da luz.
Q
relativístico
Q
não relativístico
1,00,80,60,40,2
1,0
v
c
11. Equivalência entre massa e energia
Praticamente um mês após a publicação de sua Teoria da Relatividade, Einstein 
publicou um artigo em que analisava as consequências do aumento relativístico 
da massa de uma partícula livre de massa de repouso m0. Vamos analisar a ex-
pressão seguinte:
1
1
v
c
2
2
2
Com um pouco de manipulação algébrica, ela pode ser escrita na forma de 
uma expansão binomial do tipo: 
(1 x) 1 nx n (n 1)
x
2
…n
2
2 5 2 1 2 2
em que
n 1
2
52 e x
v
c
2
2
5
Assim,
1
1
v
c
1
1
2
v
c
3
8
v
c
…
2
2
2
2
2
2
2
2
5 1 1 1








Para velocidades v pequenas, podemos desconsiderar os valores obtidos a 
partir do terceiro termo, pois são termos desprezíveis em relação aos dois pri-
meiros. Assim, obtemos:





 ⇒






1
1
v
c
1
1
2
v
c
m
m
1
v
c
m 1
1
2
v
c2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
• •
2
1 5
2
1
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
NOTA!
Na expansão binomial, 
os termos que desprezamos 
nos revelam algo impor-
tante. Quando trabalhamos 
com velocidades bem in-
feriores à velocidade da 
luz, a Mecânica newtonia-
na serve bem aos propó-
sitos da Física. Se é ver-
dade que a Relatividade 
corrige rigorosamente a 
Mecânica newtoniana, não 
nos esqueçamos de que 
foi basicamente Newton e 
a Física Clássica que le-
varam o homem à Lua.
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578 UNIDADE 4 | FÍSICA MODERNA
Desse modo, a massa relativística de uma partícula será dada por:
m m
1
2
m v
c
0
0
2
2
5 1
Multiplicando todos os termos dessa igualdade pelo termo c2:
mc m c
1
2
m v2 0
2
0
2
5 1
Vamos às definições: nessa expressão, E m c0 0
2
5 corresponde à energia de 
repouso da partícula e E 1
2
m vc 0
2
5 corresponde à energia cinética da partícula.
Para uma partícula livre de campos externos, a soma E0 1 Ec representa a sua 
energia total E, assim:
E E E E m c
1
2
m v mc0 c 0
2
0
2 2
5 1 5 1 5⇒
E mc25
Podemos estabelecer as seguintes relações:
E E Ec 05 2
E mc m cc
2
0
2
5 2
Mas também sabemos que:
5 gm m0
Lembrando que g é:
1
1
v
c
2
2
g 5
2
Portanto, podemos concluir que:
E m c m cc 0
2
0
2
5 g 2
E m c ( 1)c 0
2
5 g 2
Por fim, podemos ainda escrever:
E E mc m c0
2
0
2
2 5 2
E E (m m )c0 0
2
2 5 2
E mc2D 5 D
Essa relação, já vista no Tópico 1 desta unidade, mostra que a massa inercial 
de um corpo varia caso este corpo receba ou perca energia, ou seja, existe uma 
equivalência entre massa e energia.
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