1000 Problems Old and New part I

Prévia do material em texto

សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 1 
 
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 2 
 
ពសចកតីពផតើម 
 ពសៀវពៅពនេះបកប្របនិងពរៀបពរៀងពោយេ្ុំករណាេ្ុំបាទ 
 សតូ្រ សសឿម SOT SEURM 
អតីតសមណេះសិសសពុទធិកមធយមសិកាទុតិយភូមិពោធិ៍សាត់ 
និងអតីតសមណេះនិសសិតមហាវទិាល័យគណិតវទិា RUPP 
បចចុបបនន ជានិសសិតមហាវទិាល័យសាថ បតយកមមហាណូយ VN 
Old and New Methods-Old and New Problems 
 គណិតវទិាអូឡពិំចប្ផនកវសិមភាពថមីនិងចាស់ 
 
 
E-mail: sotsoeurm@yahoo.com 
E-mail: sotsoeurm@gmail.com 
Tel:(+84)01697985711 (Viet Nam) 
http://sotseurm.wordpress.com/ 
http://www.facebook.com/sotseurm 
 
សសៀវសៅសនេះបានយកសចញពបីណ្តា 
+ យកពរចើនជាងពគតាម Internet www.mathlinks.ro សូមចូលពបើចង់ព ើញចាប់ព ើម 
Up until today 19771 problems from 199 competitions have been posted. Out of 
these, 1232 problems have solutions. 
mailto:sotsoeurm@yahoo.com
mailto:sotsoeurm@gmail.com
tel:(+84)01697985711
http://sotseurm.wordpress.com/
http://www.facebook.com/sotseurm
http://www.mathlinks.ro/
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 3 
 
View who posted the problems 
 និងមានលំហាត់ប្ លបានោក់ចូលពោយអនកគណិតវទិាជាពរចើនរបពទសនិងពរចើននាក់ 
រមួមាន : Total posts 2551469 | Total topics 412810 | Total members 104792 | 
និងមានលំហាត់របស់បណាត របពទសមួយចំនួនពនាេះគឺ : http://www.imo-
official.org/countries.aspx 
+ពសៀវពៅពវៀតណាម 
+ពសៀវពៅភាសាអង់ពគលស 
 
ឯកសារពិពររេះព ើម 
-វចនានុរកមប្េមរ របស់សពមតចរពេះសងឃរាជ ជូន ណាត ឆ្ន ំ1967-1968 
-វចនានុរកមពវៀតណាម-បារាងំ-ប្េមរ របស់សាកវទិាល័យភូមិនទភនំពពញ 1988 
-វចនានុរកម ពវៀតណាម-ប្េមរ ភាគទី I និង I ឆ្ន ំ 1977 
-ពសៀវពៅរកសួងអរទំំងចាស់និងកមមវធីិថមី 
-Internet 
-Vẽ Đẹp Bất Đẳng Thức Trong Các Kì Thi OLYMPIC toán học (Trần Phƣơng –chủ biên+Võ 
Quốc Bá Cẩn+Trần Quốc Anh) 
-40 Năm OLYMPIC toán học quốc tế (PGS.TS Vũ Dƣơng Thụy-chủ biên+ThS. Nguyễn Văn 
Nho) 
-OLYMPIC TOÁN HỌC CHÂU Á THÁI BÍNH DƢƠNG ThS.Nguyễn Văn Nho 
-TUYẾN TẬP CÁC BÀI TOÁN TỪ NHỮNG CUỘC THI TẠI TRUNG QUỐC 
Của ThS.NGUYỂN VĂN NHO 
-TỦ SÁCH TOÁN HỌC &TUỔI TRẺ CÁC BÀI THI OLYMPIC TOÁN TRUNG HỌC PHỔ 
THÔNG VIỆT NAM(1990-2006) 
-TUYỂN CHỌN CÁC BÀI THI VÔ ĐỊNH TOÁN Ở CÁC ĐỊA PHƢƠNG-QUỐC GIA-QUỐC 
TẾ sách đùng cho học sinh khá;giòi-học sinh chuyên toán 
របស់អនកររៀបររៀង PGS.TS NGUYỂN VĂN LỘC (chủ biên)+TS.NGUYỄN VIẾT ĐÔNG+ 
BÙI HƢU ĐỨC +HÀN MINH TOÀN+ThS.HỒ ĐIỆN BIÊN+ThS.HOÀNG NGỌC CẢNH 
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?stats=1&sid=a82c5d0646aaf79117dc726c64bd4b69
http://www.imo-official.org/countries.aspx
http://www.imo-official.org/countries.aspx
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 4 
 
-CÁC DỀ THI VÔ ĐỊNH TOÁN 19 NƢỚC TRONG ĐÓ CÓ VIỆT NAM 
Tài liệu tham khóa cho học sinh giỏi toán thi vô định toán quốc gia &quốc tế tập I-II 
 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 1999 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2000 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11: 30-4 ; 2001 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2002 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2003 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2004 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2005 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2006 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2007 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2008 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2009 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2010 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2011 
-Tuyển Tập Dề Thi Olympic lớp 10-11:30-4 ; 2012 
 
 
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 5 
 
អារមភកថា 
 រពេះសមាម សមភុទធ រទង់រតាស់សប្មតងថា របូំ ជីររាិ មច្ចា នំ នាម សោរាំ នជីររា។ិ ប្របថា 
របូរាងកាយពយើងរគប់ៗរន និងសាល ប់ជានិចច ប្ត នាមនិងកូត របស់ពយើងនិងបាត់បងព ើយ។ 
 មកពីរពេះពុទធ ីកាពនេះពយើងបានជាពធវើឲ្យេ្ុំករណាេ្ុំសរពសរពរៀបពរៀងពសៀវពៅពនេះព ើងគឺ 
ព ើមបីឲ្យកូនប្េមរពយើងមានឯកសាជាភាសាជាតិឲ្យកាន់ប្តពរចើននិងអវីប្ លេ្ុំបានពធវើពនេះសូមឲ្យ 
មានតម្មលជាយូរ ល់អនកសិកាជំនាន់ពរកាយៗពទៀត។ 
 ពសៀវពៅពនេះវាគឺជាពសៀវពៅរទឹសតីបទនិងលំហាត់គណិតវទិាប្ លពិបាកបំផុត។ ប្ ល 
ពគពលើមកពៅរប ងលំោប់អនតរជាតិរមួព ើយនិងលំហាត់ប្ លបំរងុកនុងពពលរប ងពនាេះ 
ព ើយក៏មានលំហាត់រប ងលំោប់ជាតិក៏ពរចើនពនាេះប្ រ។ ប្ លបណាត លលំហាត់មួយចំនួន 
មានរពបៀបពោេះស្រសាយពរចើន ប្ ររពបៀបទំងពនាេះគឺជាគំនិតយរបស់អនកគណិតវទិាធំៗបានពោេះ 
ស្រសាយ។ ព ើយេ្ុំក៏បានប្របយកមកពី Internet និងបណាត លពសៀវពៅបរពទសជាពរចើន ូចជា 
ពសៀវពៅ ពវៀត ណាម និង ពសៀវ ពៅ ភាសា អង់ពគលស ។ គំនិតយពរៀបពរៀងពសៀវពៅពនេះគឺេ្ុំចាប់ 
ពផតើមចង់ពរៀបពរៀង កាលពីេ្ុំពៅជារពេះសងឃពៅព ើង ប្តពោយកាលពនាេះប្ផនខាងភាសាពគពៅ 
មានកំរតិទបណាស់ ូចពនេះមិនពធវើបាន។ ពទើបប្តមក ល់ឆ្ន ំ 2012 ពនេះពទើបេ្ុំអាចសរពសរវា 
ឲ្យពចញមកបាន។ ព ើយេ្ុំសូមអរគុណ ល់បងបអូនប្ លបានជូយឲ្យជាពោបល់បប្នថមពទៀង 
 ល់ពសៀវពៅពនេះឲ្យកាន់ប្តមានតម្មលប្ថមពទៀត។ និងសូមឩទទិសបុណយកុសលប្ លេ្ុំរកណា 
េ្ុំបានបូសអស់រយ: ពពលជិត 10 ឆ្ន ំ ជូន ល់ មាតាបីតារបស់េ្ុំនិងបនាទ ប់មកឩទទិស ល់ 
ឩបជាយ៍របស់េ្ុំនិងពលាករគួអាចារយទំងអស់ទំងសាលាបាលីនិងសាលាអាណាចរក។ 
ព ើយេ្ុំសូមពធវើនូវពសចកតីពររព ល់ពលាករគូអនកប្ លបានបពរងៀនេ្ុំករណាេ្ុំរ ូតមក 
ជាពិពសស ូចជាពលាករគូអនករគូប្ លបពរងៀនពៅពេតតពោធិ៍សាត់និងពៅភនំពពញ ូចជាពៅ 
ពោធិ៍សាត់ អនករគូ គឹម សុធី (OLYMPIC - អធិការគណិតវទិាពេតតពោធិ៍សាត់) ពលាករគូ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 6 
 
 គង់ ចនាថ ពលាករគូ ជាពលង ួន … ពៅភនំពពញមាន ូចជា ពលាករគូ ជ័យ ថាវ ី, សិន ោរា៉ា សីុ, 
និង ប្ណស៊តទង បា៉ាង , ប្ ន គូយ , ជា ប្ស , ជា លាង និងប្ផនកគណិតវទិា ូចជាពលាករគ ូ
ជូន សុវណណ ន ពលាករគូ សួន សុវណណ និងពលាករគូ ៊ត សីុអាត (OLYMPIC - អធិការគណិ 
តវទិាភនំពពញ) …. និងពលាករគូអនករគូជាពរចើនពទៀត។ 
 
 
 
 បណ្តា របូមនាត្្េឹះមយួចនំនួរបសវ់សិមភាព 
∎វសិមភាពតម្មលោច់ខាត់ 
1. ∣ 𝑎 + 𝑏 ∣≤∣ 𝑎 ∣ +∣ 𝑏 ∣សមភាពពកើតមានពៅពពល 𝑎𝑏 ≥ 0 
2. ∣∣ 𝑎 ∣ −∣ 𝑏 ∣∣≤∣ 𝑎 − 𝑏 ∣ 
3. ∣ 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∣≤∣ 𝑎1 ∣ +∣ 𝑎2 ∣ + ⋯ +∣ 𝑎𝑛 ∣សមភាពពកើតមានពៅពពល 𝑎𝑖𝑎𝑗 ≥ 0 
∎វសិមភាព Cauchy 
1) ពគឲ្យ 𝑎; 𝑏 ≥ 0 ពយើងមាន 𝑎 + 𝑏
2
≥ 𝑎𝑏 ករណីពសមើពពល 𝑎 = 𝑏 
2) ពគឲ្យ 𝑛 ចំនួន 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
≥ 𝑎1𝑎2 …𝑎𝑛
𝑛 
∎វសិមភាព Bunhiacopski 
ពគឲ្យ 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 និង 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 ណាក៏ពោយពយើងមាន 
 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛 
2 ≤ 𝑎1
2 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛
2 (𝑏1
2 + 𝑏2
2 + ⋯ + 𝑏𝑛
2) 
ករណីពសមើពកើតមានពពល 𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
= ⋯ =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
∎វសិមភាព Schwarz 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 7 
 
ពគឲ្យ 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛និង 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ ពនាេះពយើងបាន 
𝑎1
2
𝑏1
+
𝑎2
2
𝑏2
+ ⋯ +
𝑎𝑛
2
𝑏𝑛
≥
 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 
2
𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛
 សមភាពពៅពពល 𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
= ⋯ =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
∎វសិមភាព Bernoulli 
ពគឲ្យ 𝑎 > −1 និង 𝑟 ∈ ℚ+ 
ពបើ 𝑟 ≥ 1 ពនាេះ 1 + 𝑎 𝑟 ≥ 1 + 𝑟𝑎 សមភាពពពល 𝑎 = 0 ឬ 𝑟 = 1 
ពបើ 0 < 𝑟 < 1 ពនាេះ 1 + 𝑎 𝑟 < 1 + 𝑟𝑎 
∎វសិមភាព Jensen 
∗ ពគឲ្យអនុគមន៏ 𝑓 𝑥 កំណត់ពលើ 𝑎; 𝑏 និង 𝑓 𝑥 អនុគមន៏ពបា៉ាងពលើ 𝑎; 𝑏 ពនាេះពយើងមាន 
 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏 ពយើងបាន 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 2 ≤ 𝑓 
𝑥1 + 𝑥2
2
 សមភាពពកើតមានពពល 𝑥1 = 𝑥2 
ពបើ 𝑓 𝑥 ផតពលើ 𝑎; 𝑏 និង 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏 ពនាេះពយើងបាន 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 2 ≥ 𝑓 
𝑥1 + 𝑥2
2
 
∗∗ឧបមាថា 𝑓 𝑥 ជាអនុគមន៏ពបា៉ាងពលើ 𝑎; 𝑏 និង ∀𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ∈ 𝑎; 𝑏 ; ∀𝑛 ≥ 2 
ពយើងបាន 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 
𝑛
≤ 𝑓 
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 
∗∗∗ឧបមាថា 𝑓 𝑥 ជាអនុគមន៏ផតពលើ 𝑎; 𝑏 និង ∀𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ∈ 𝑎; 𝑏 ∀𝑛 ≥ 2 ពយើងបាន𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 
𝑛
≥ 𝑓 
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 
វសិមភាពទំងពីរពនេះសមភាពពកើតមានពពល 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 
∎វសិមភាព Minkowski 
 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ; 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 និង 𝑙1; 𝑙2; … ; 𝑙𝑛 ជាចំនួនពិតណាក៏ពោយ 
 𝑎1
2 + 𝑏1
2 + 𝑙1
2 + 𝑎2
2 + 𝑏2
2 + 𝑙2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2 + 𝑙𝑛2 ≥ 
 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑙1 2 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑙2 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 + 𝑙𝑛 2 
∎វសិមភាព Chebyschev 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 8 
 
ពគឲ្យសវុីតពីរពរៀបតាមលំោប់ ូចរន 
𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑛 និង 𝑏1 < 𝑏2 < ⋯ < 𝑏𝑛 ពនាេះពយើងបាន 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
.
𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛
𝑛
≤
𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛
𝑛
 
𝑎1 > 𝑎2 > ⋯ > 𝑎𝑛 និង 𝑏1 > 𝑏2 > ⋯ > 𝑏𝑛ពនាេះពយើងបាន 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
.
𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛
𝑛
≥
𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛
𝑛
 
ករណីពសមើពៅពពល 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 ; 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 
∎លកខណេះវពិសសរបស់វសិមភាពចំនួនពិត 
ពគឲ្យ 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 ∈ ℝ ពយើងមាន 
𝑎
𝑏
< 1 ⇒
𝑎
𝑏
<
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑐
 
𝑎
𝑏
> 1 ⇒
𝑎
𝑏
>
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑐
 
𝑎
𝑎 + 𝑏
>
𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 
𝑎
𝑏
>
𝑐
𝑑
⇒
𝑎
𝑏
>
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑐
>
𝑐
𝑑
 
 
ការសិក្សាសង្គេតពិនិតយគជឺារគូង្ៅជាបជ់ាមួយនិគខ្ លនួង្ោក្សអនក្សជានិច្ច។ 
 
ពជី្ណិរនងិវភិា្ 
បណ្តា របូមនាវសិមភាពមយួចនំនួដែលសយើងធ្លា បប់ានជបូ 
 1.បណ្តា និយមន័យ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 9 
 
 a) រយើងនិយាយអំពីមធយមបូក(ឬមធយមនពវនា- arithmetic mean ) របស់បណ្តា ចំនួនពិត 
𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 គឺ 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 
មធយមគុណ(ឬមធយមធរណីមារត-geometric mean)របស់បណាត ចំនួនពិតមិនអវជិជមាន 
𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛គឺ 𝑎1𝑎2 …𝑎𝑛𝑛 
និងមធយមអាម៉ាូនិច 𝑕𝑎𝑟𝑚o𝑛𝑖𝑐 𝑚𝑒𝑎𝑛 របស់បណាត ចំនួនពិត 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛គឺ 
𝐻𝑛 =
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+ ⋯ +
1
𝑎𝑛
 
𝑏) អនុគមន៏ 𝑓 𝑥 កំណត់ពលើ 𝑎; 𝑏 បានពៅថាពបា៉ាងពលើចពនាល េះពនាេះពបើចំពោេះរគប់ ចំនួនពិតគឺ 
𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏 ពយើងមាន 𝑓 𝑥1 + 𝑥22 ≤
𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 
2
 
សញ្ញា ពសមើពកើតមានពៅពពលប្ ល 𝑥1 = 𝑥2 ពយើងក៏អាចនិោយបានថាពបើ𝑓ផតពលើចពនាល េះ[𝑎; 𝑏] 
វញិពនាេះគឺពយើងបានវសិមភាពមានសញ្ញា ផទុយនិងវសិមភាពខាងពលើពនេះ។ 
2.បណ្តា វសិមភាព 
1.11 រទឹសាីបទ(ករណីវរិសសរបស់វសិមភាព Jensen) 
ពបើ𝑓 𝑥 គឺជាអនុគមន៏ពបា៉ាងពលើ 𝑎, 𝑏 គឺចំពោេះរគប់ 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ∈ 𝑎; 𝑏 
ពយើងមាន 𝑓 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 ≤
𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 
𝑛
 
សមភាពពកើតមានពៅពពលប្ ល 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 
រាងទូពៅ 
ពគឲ្យ 𝑝1; 𝑝2; … ; 𝑝𝑛 ≥ 0 និង 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 1 និងមាន 𝑓 គឺជាអនុគមន៍ពបា៉ាងពលើ 𝐼 ។ 
ពពលពនាេះចំពោេះរគប់ 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ∈ 𝐼 ពនាេះពយើងបានវសិមភាព ូចខាងពរកាម 
𝑝1𝑓 𝑎1 + 𝑝2𝑓 𝑎2 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑓 𝑎𝑛 ≥ 𝑓 𝑝1𝑎1 + 𝑝2𝑎2 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑎𝑛 
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 10 
 
1.12 វបិាកទី 1(វសិមភាពមធយមសវ័យគុណឲ្យបីចំនួនវជិជមាន) 
 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2
3
 
1
2
≤ 
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 𝑥3
3
3
 
1
3
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ពិនិតយពមើលអនុគមន៏ 𝑓 𝑥 = 𝑥32 ពពល 𝑥 > 0 ពយើងមាន 𝑓 ′′ 𝑥 = 3
 𝑥
> 0 
ពពល 𝑥 > 0 ពនាេះ𝑓 𝑥 ជាអនុគមន៏ពបា៉ាង ពបើតាមវសិមភាព 𝐽𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛 
ចំពោេះរគប់ចំនួនវជិជមាន 𝑧1; 𝑧2; 𝑧3 ពយើងមាន 
𝑓 
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
3
 ≤
𝑓 𝑧1 + 𝑓 𝑧2 + 𝑓 𝑧3 
3
 
ឥ ូវពនេះពយើងឲ្យ 𝑧1 = 𝑥12; 𝑧2 = 𝑥22; 𝑧3 = 𝑥32 ពយើងមាន 
 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2
3
 
3
2
≤
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 𝑥3
3
3
 
⇔ 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2
3
 
1
2
≤ 
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 𝑥3
3
3
 
1
3
 
∗∗ សំរល់ វសិមភាពមធយមសវ័យគុណទូពៅ 
 ពគឲ្យបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ប្ លពផទៀងផ្ទទ ត់ល័កខេ័ណឌ 
 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 1 
ចំពោេះបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ពយើងអាចតាង ូចពនេះ 
𝑀−∞ = min 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ; 𝑀+∞ = max{𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛} 
𝑀𝑠 = 𝑥1
𝑎1𝑥2
𝑎2 … 𝑥𝑛
𝑎𝑛 ; 𝑀𝑡 = 𝑎1𝑥1
𝑡 + 𝑎2𝑥2
𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑡 
1
𝑡 
ចំពោេះ 𝑡 ជាចំនួនពិតេុសពី 0 ពពលពនាេះ ពបើ 𝑠 ≤ 𝑡 ពយើងមាន 
 𝑀−∞ ≤ 𝑀𝑠 ≤ 𝑀𝑡 ≤ 𝑀+∞ . 
1.13 វបិាកទី2 វសិមភាពសាីអំពីមធយមនពវនានិងមធយមធរណីមារត 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 11 
 
ចំពោេះបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ពយើងមាន 
 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
≥ 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛
𝑛 
 កាល យជាសមភាពពពល 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
 ពិនិតយពមើលអនុគមន៏𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ពយើងសពងេតព ើញថាអនុគមន៍ 𝑓 𝑥 ពនាេះពបា៉ាងពលើប្ នវា 
តាមវសិមភាព 𝐽𝑒𝑛𝑠𝑒𝑛 ពយើងក៏អាចទញបាន 
 
ln 𝑎1 + ln 𝑎2 + ⋯ + ln 𝑎𝑛
𝑛
≤ ln
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
 
តាមរយេះវសិមភាពពនេះពយើងអាចទញបានវសិមភាពខាងពលើ 
ពយើងពរបើលកខណេះរបស់ពលាការតីពនប្ពប្ លធ្លល ប់បាន ឹងជាការពស្រសច វសិមភាពខាងពលើពនេះ 
 ពគប្តងពៅថាវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝐴𝑢𝑔𝑢𝑠𝑡𝑖𝑛 𝐿𝑜𝑢𝑖𝑠 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 1789 − 1857 
 
𝟐. 𝟒. វបិាកទី3 វសិមភាពមធយមធរណីមារតនិងមធយមអាម ូនិច 
ឧបមាថា 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន ពពលពនាេះពយើងបាន 
 𝑥1𝑥2 … 𝑥𝑛
𝑛 ≥
𝑛
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+ ⋯ +
1
𝑥𝑛
 
កាល យជាសមភាពពៅពពល 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
អនុវតតន៍វបិាកទី2ឲ្យបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន 1
𝑥1
;
1
𝑥2
; … ;
1
𝑥𝑛
 យកមកជំនួសកនុងវសិមភាពខាង 
ពរកាមពនេះពយើងបានអវីប្ លរតូវស្រសាយ 
ln 𝑎1 + ln 𝑎2 + ⋯ + ln 𝑎𝑛
𝑛
≤ ln
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
 
1.14 វសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 
ពគឲ្យបណាត ចំនួនពិត 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 និង 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 ពពលពនាេះពយើងបាន 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 12 
 
 𝑎1
2 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛
2 𝑏1
2 + 𝑏2
2 + ⋯ + 𝑏𝑛
2 ≥ 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛 
2 
សមភាពពកើតមានព ើងពៅពពលប្ ល 𝑏𝑖 = 𝑘𝑎𝑖 𝑖 = 1; 2; 3; … ; 𝑛 ; 𝑘 ∈ ℝ 
មួយកនុងបណាត រពបៀបស្រសាយបញ្ញជ ក់វសិមភាពខាងពលើពនេះគឺតាង 
 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖 
2
𝑛
𝑖=1
 
ពយើងបតូរ𝑓 𝑥 ពោយ𝑓 𝑥 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 កនុងពនាេះពយើងមាន 
 𝐴 = 𝑎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 ; 𝐵 = 𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 ; 𝐶 = 𝑏𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 
ពីពនាេះពយើងបានព ើរ ល់ល័កខេ័ណឌ ប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់ពោយរពបៀបសំរល់ព ើញថា 
 𝑓 𝑥 ≥ 0; ∀𝑥 ⇔ 𝐵2 − 𝐴𝐶 ≤ 0 ⇒ 𝐵2 ≤ 𝐴𝐶 ⇔ 𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑛
𝑖−1
 
2
≤ 𝑎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 . 𝑏𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 
វសិមភាពពនេះកាល យជាសមភាពគឺ 𝑏𝑖 = 𝑘𝑎𝑖 ; (𝑖 = 1; 2; … ; 𝑛) 
∗ សំរល់: មានអនកសិកាមួយចំនួនប្តងពៅវសិមភាពខាងពលើពនេះថា 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 
 𝐻𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑛 𝐴𝑚𝑎𝑛𝑑𝑢𝑠 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 , 1843 − 1921 ប្តមានអនកសិកាពយើងសពវម្ថៃពនេះមួយចំនួន 
ពៅពផសងជាពិពសស 𝑅𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎 គឺប្តងប្តពៅថាវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 − 𝐵𝑢𝑛𝑖𝑎𝑘𝑜𝑤𝑠𝑘𝑖 
 𝐵𝑢𝑛𝑖𝑎𝑘𝑜𝑤𝑠𝑘𝑖 1804 − 1889 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 រតូវបានពគសាា ល់ពីឆ្ន ំ1821, 𝐵𝑢𝑛𝑖𝑎𝑘𝑜𝑤𝑠𝑘𝑖 1859 
រឯីវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑎𝑤𝑟𝑧 រតូវបានពគសាា ល់ពីឆ្ន ំ 1884 ូចពនេះវសិមភាពគឺពគពៅថាវសិមភាព 
𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 − 𝐵𝑢𝑛𝑖𝑎𝑘𝑜𝑤𝑠𝑘𝑖 − 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 ប្តឥ ូវពនេះសល់រតឹមប្ត 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 − 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 
 ពនេះពបើតាមពសៀវពៅ 𝑐𝑓. 𝑆. 𝑀. 𝑁𝑖𝑘𝑜𝑙𝑠𝑘𝑦, 𝐴 𝐶𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑜𝑓 𝑀𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝐴𝑛𝑎𝑙𝑦𝑠𝑖𝑠, 𝑉1 
𝑀𝑖𝑟 𝑃𝑢𝑏𝑙𝑖𝑠𝑕𝑒𝑟𝑠, 𝑀𝑜𝑠𝑐𝑜𝑤, 𝑝. 183. 
1.15 វសិមភាព 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 
(𝐷𝑎𝑛𝑖𝑙 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 ជាអនករបាជ្គណិតវទិាសវីស 1700 − 1782) 
ពយើងឧបមាថា 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ជាបណាត ចំនួនពិតមានសញ្ញា ូចរន និងធំជាង− 1 
ពពលពនាេះពយើងមាន: 1 + 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
≥ 1 + 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 13 
 
 សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ព ើមបីព ើញវសិមភាពប្ លពយើងរតូវស្រសាយថាពិតពនាេះ 
 ចំពោេះ𝑛 = 1; 2; … ; 𝑛 ឧបមាថាវាពិតរគប់ចំពោេះ𝑛មានន័យថា 
 1 + 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
≥ 1 + 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 ពយើងមាន 
 1 + 𝑥𝑖 
𝑛+1
𝑖=1
= 1 + 𝑥𝑛+1 1 + 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
≥ 1 + 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 1 + 𝑥𝑛+1 
 = 1 + 𝑥𝑖
𝑛+1
𝑖=1
 + 𝑥𝑛+1 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
≥ 1 + 𝑥𝑖
𝑛+1
𝑖=1
 
ពៅរតង់ពនេះពោយ 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ជាបណាត ចំនួនពិតមានសញ្ញា ូចរន 
និងធំជាង− 1 ពនាេះ 𝑥𝑛+1 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
≥ 0 ូចពនេះវសិមភាពរតូវបានស្រសាយ 
1.16វបិាកទី4 
ពបើ 𝑎 > −1 គឺចំពោេះរគប់ចំនួនគត់ធមមជាតិ 𝑛 គឺបាន 1 + 𝑎 𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎 
1.17 វសិមភាព 𝐾𝑎𝑟𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎 
(Karamata ជាអនករបាជ្ញគណិវទិាទំរនើបជ្នជាតិ Serbia, 1902-1967) 
ពគឲ្យ 2 រកុមមាន 𝑛 ចំនួនពិត 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 និង 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 
កនុងពនាេះ 𝑎𝑖 ≥ 𝑎𝑖+1 និង 𝑏𝑖 ≥ 𝑏𝑖+1 
ពយើងនិោយថារកុម 𝑎 គឺមានពលើសលុបរកុម 𝑏 
ពគកំណត់សរពសរ 𝑎 ≫ 𝑏 ពបើ 
 𝑎𝑘
𝑖
𝑘=1
≥ 𝑏𝑘
𝑖
𝑘=1
, 𝑖 = 1; 2; … ; 𝑛 − 1 និង 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝑏𝑘
𝑛
𝑘=1
 
ពគឲ្យអនុគមន៏ 𝑓 ពបា៉ាងពលើចពនាល េះ 𝐼 ណាពនាេះ 𝑎 និង 𝑏 គឺជា 2 រកុមកនុងបណាត ចំនួន 
𝑥′ ∈ 𝐼 ប្ លពធវើោ៉ាងណាឲ្យ 𝑎 ≫ 𝑏 ពពលពនាេះ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 14 
 
𝑓 𝑎1 + 𝑓 𝑎2 + ⋯ + 𝑓 𝑎𝑛 ≥ 𝑓 𝑏1 + 𝑓 𝑏2 + ⋯ + 𝑓 𝑏𝑛 
ពបើ 𝑓 ផបវញិពយើងបានវសិមភាពមានសញ្ញា ផទុយពីវសិមភាពខាងពលើពនេះ 
សរមាយបញ្ញា ក់ 
លទធផលគឺរតូវទញបានអំពីគនលឹេះពីរខាងពរកាមពនេះ 
គនលឹេះទី 𝟏 
 ពបើ 𝑓 ជាអនុគមន៏ពបា៉ាងនិងឧបមាថា 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 
𝑦1 ≥ 𝑥1 ≥ 𝑥2 ≥ 𝑦2 គឺ 𝑓 𝑦1 + 𝑓 𝑦2 ≥ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 
មិតតអនកអានអនុវតតន៏ស្រសាយវសិមភាពខាងពលើពនេះ 
ពិនិតយពមើលមួយរកុម 𝑛 ចំនួនពិត 𝑥 = 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 កនុងរកុមចំនួនពនេះ 
ពបើពយើង ូរ 𝑥𝑖 ; 𝑥𝑗 ណាពនាេះពោយ 𝑥𝑖′ = 𝑥𝑖 + 𝛼 និង 𝑥𝑗′ = 𝑥𝑗 + 𝛼 
ប្ លពធវើោ៉ាងណាឲ្យ 𝑥𝑖′ > 𝑥𝑗′ កនុងពនាេះ 𝛼 > 0 គឺពយើងនិោយបានថាវា 
សពរមចបានតាមចាប់វវិតតន៏ចំពោេះរកុមចំនួនប្ លបានឲ្យ។ 
គនលឹេះទី 𝟐 
 លកខ័ណឌ័ ចំាបាច់និងរគប់ររន់ព ើមបីឲ្យ 𝑎 ≫ 𝑏 គឺពយើងក៏អាច 
បញ្ចូ លរកុម 𝑏 រត ប់រកុម 𝑎 គឺពរបើចាប់វវិតតន៏ទំនាក់ទំនង 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ល័កខេ័ណឌ ចំាបាច់គឺជាក់ប្សតងពីពរោេះពរកាយពីចាប់វវិតតន៏ពយើងទទួល 
បានរកុមថមីគឺពលើសលុបជាងរកុម ំបូង 
ល័កខេ័ណឌ រគប់ររន់រតូវបានស្រសាយតាមអនុមានរមួគណិតវទិា ូចខាងពរកាម 
ចំពោេះ 𝑛 = 1 គឺគនលឹេះរបស់ពយើងគឺពិត ឥ ូវពនេះពយើងឧបមាថា 𝑘 < 𝑛 
គនលឹេះពិត ពយើងនិងស្រសាយថាគនលឹេះពនេះពិតចំពោេះ 𝑘 = 𝑛 
ពយើងរត ប់រកុម 𝑏 ទំនាក់ទំនង់ចំពោេះ 𝑏1និង 𝑏𝑛 . ពពលពនាេះប្ផនកខាងសាត ំ
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 15 
 
របស់ 1 និងពកើន និង ល់ពពលណាពនាេះនិងមាន 
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑕 = 𝑏1
∗ + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑕 
តាមសមមតិកមមអនុមានរមួពយើងមាន 
 
𝑎1 ≥ 𝑏1
∗
𝑎1 + 𝑎2 ≥ 𝑏1
∗ ≥ 𝑏2
…… … … … … … … .
𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑕 = 𝑏1
∗ + ⋯ + 𝑏𝑕
 និង 
𝑎𝑕+1 ≥ 𝑏𝑕+1
… … …… … … … . .
𝑎𝑕+1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑏𝑕+1 + ⋯ + 𝑏𝑛
∗
 
ពីពនាេះតាមអនុមានរមួរកុម 𝑏′ = 𝑏1∗; … ; 𝑏𝑕 ក៏អាចវវិតតន៏ពីរកុម 
 𝑎′ = 𝑎1; 𝑎2; . . ; 𝑎𝑕 និង 𝑏′′ = 𝑏𝑕+1; … ; 𝑏𝑛∗ រតូវបានវវិតតន៏ពី 
 𝑎′′ = 𝑎𝑕+1; … ; 𝑎𝑛 ពពលពនាេះ 𝑏 ក៏អាចវវិតតន៏ពី 𝑎 
លំហាត់ឧទ រណ៏អនុវតតន៏ 
2.1) ពគឲ្យ 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ∈ − 𝜋6 ;
𝜋
6
 ស្រសាយថា: 
cos 2𝑥1 − 𝑥2 + cos 2𝑥2 − 𝑥3 + ⋯ + cos 2𝑥𝑛 − 𝑥1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2 … + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑛 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ពោយ 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ជាអនុគមន៏ផតពលើ 𝑥 ∈ −𝜋
2
;
𝜋
2
 ពនាេះពយើងររន់ប្ត 
ពិនិតយពីរកុម 𝑎 = 2𝑥1 − 𝑥2; … ; 2𝑥𝑛 − 𝑥1 និង 𝑏 = 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 
គឺពយើងអាចឲ្យ 2𝑥𝑚1 − 𝑥𝑚1+1 ≥ 2𝑥𝑚2 − 𝑥𝑚2+1 ≥ ⋯ ≥ 2𝑥𝑚𝑛 − 𝑥𝑚𝑛 +1 
និង 𝑥𝑘1 ≥ 𝑥𝑘2 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑘𝑛 ពៅរតង់ពនេះពយើងឲ្យ 𝑥𝑛+1 = 𝑥1 ពយើងបាន 
2𝑥𝑚1 − 𝑥𝑚1+1 ≥ 2𝑥𝑘1 − 𝑥𝑘1+1 ≥ 𝑥𝑘1 
 2𝑥𝑚1 − 𝑥𝑚1+1 + 2𝑥𝑚2 − 𝑥𝑚2+1 ≥ 2𝑥𝑘1 − 𝑥𝑘1+1 + 2𝑥𝑘2 − 𝑥𝑘2+1 ≥ 𝑥𝑘1 + 𝑥𝑘2 
… … … … … …… … … … … … …… … … … … … …… … … … … … 
 2𝑥𝑚1 − 𝑥𝑚1+1 + ⋯ + 2𝑥𝑚𝑕 − 𝑥𝑚𝑕 +1 ≥ 𝑥𝑘1 + ⋯ + 𝑥𝑘𝑕 
… … … … … …… … … … … … …… … … … … … …… … … … … …. 
 2𝑥𝑚1 − 𝑥𝑚1+1 + ⋯ + 2𝑥𝑚𝑛 − 𝑥𝑚𝑛 +1 = 𝑥𝑘1 + ⋯ + 𝑥𝑘𝑛 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 16 
 
ពពលពនាេះបណាត លលកខ័ណឌ័ របស់វសិមភាព 𝐾𝑎𝑟𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎 រតូវបានពផទៀងផ្ទទ ត់ 
 ូចពនេះពយើងបាន 
cos 2𝑥1 − 𝑥2 + cos 2𝑥2 − 𝑥3 + ⋯ + cos 2𝑥𝑛 − 𝑥1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2 … + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑛 
លំហាត់ឧទាហរណ៍អនុវតាន៏ 
ពគឲ្យ 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមានចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា 
 1 + 𝑎1 1 + 𝑎2 … 1 + 𝑎𝑛 ≤ 1 +
𝑎1
2
𝑎2
 1 +
𝑎2
2
𝑎3
 … 1 +
𝑎𝑛
2
𝑎1
 
ណណនំ វសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយគឺ 
ln 𝑎1
2 + 𝑎1 + ⋯ + ln 𝑎𝑛
2 + 𝑎𝑛 ≤ ln 𝑎1
2 + 𝑎2 + ⋯ + ln 𝑎𝑛
2 + 𝑎1 . 1 
ពោយ 𝑦 = ln 𝑥 ជាអនុគមន៏ផតពនាេះព ើមបីស្រសាយបញ្ញជ ក់ 1 ពយើងនឹង 
អនុវតតន៏វសិមភាព 𝐾𝑎𝑟𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎 ចំពោេះបណាត រកុមចំនួន 
 𝑎1
2 + 𝑎1; … ; 𝑎𝑛
2 + 𝑎𝑛 និង 𝑎12 + 𝑎2, 𝑎22 + 𝑎3; … ; 𝑎𝑛2 + 𝑎1 
បនតពទៀតពយើងបពងេើតពីររកុមចំនួនថមីពោយរពបៀបពរៀបពីររកុមចំនួនខាងពលើ 
ពធវើោ៉ាងណាឲ្យល័កខេ័ណឌ របស់វសិមភាព 𝐾𝑎𝑟𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎 
បានពផទៀងផ្ទទ ត់ពី 1 ពិតនិងពពលពនាេះពយើងបានអវីប្ លរតូវស្រសាយ 
1.18 វសិមភាព 𝑆𝑕𝑢𝑟 
1.18.2 និមិតាសញ្ញា ផលបូកធលុុះ 𝑠𝑦𝑚 
និមិតតសញ្ញា 𝑄 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 
𝑠𝑦𝑚
= 𝑄 𝑥𝜎1 ; 𝑥𝜎2 ; … ; 𝑥𝜎𝑛 
𝜎
 
កនុងពនាេះ σ រត់ពលើបណាត លឯកតា 1; 2; … ; 𝑛 មានទំងអស់𝑛! ចំនួនតួ 
ឧទ រណ៍ 𝑛 = 3 ពយើងសរពសរ 𝑥; 𝑦; 𝑧 ជំនួសឲ្យ 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 ពយើងមាន 
 2𝑥3
𝑠𝑦𝑚
= 2𝑥2 + 2𝑦3 + 2𝑧3; 𝑥2𝑦
𝑠𝑦𝑚
= 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 + 𝑧2𝑥 + 𝑦2𝑥 + 𝑧2𝑦 និង 𝑥𝑦𝑧
𝑠𝑦𝑚
= 6𝑥𝑦𝑧 
1.18.3 វសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 17 
 
ពគឲ្យ 𝑥; 𝑦; 𝑧 ជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន ពពលពនាេះចំពោេះរគប់ 𝑟 > 0 
𝑥𝑟 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 + 𝑦𝑟 𝑦 − 𝑧 𝑦 − 𝑥 + 𝑧𝑟 𝑧 − 𝑥 𝑧 − 𝑦 ≥ 0 
ករណីពសមើពពល 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 ឬក៏ពបើពីរកនុងបីចំនួន 𝑥; 𝑦; 𝑧 មានពីរពសមើរន និងចំនួនទីបីពសមើ 0 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ពោយវសិមភាពរតូវស្រសាយធលុេះចំពោេះបីអញ្ញា ត់ពនាេះមិនបាត់បង់លកខណេះ 
ទូពៅពយើងឧបមាថា 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 ពពលពនាេះវសិមភាពអាចសរពសរបាន 
 𝑥 − 𝑦 𝑥𝑟 𝑥 − 𝑧 − 𝑦𝑟 𝑦 − 𝑧 + 𝑧𝑟 𝑥 − 𝑧 𝑦 − 𝑧 ≥ 0 
ពយើងព ើញថារគប់កតាត ប្ផនកខាងពធវងមិនអវជិជមានពនាេះពយើងទញបាន 
វសិមភាពខាងពលើពនេះពិត 
ករណីពរបើពរចើនគឺពៅពពល 𝑟 = 1 ពពលពនាេះវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 កាល យជា 
 𝑥3
𝑠𝑦𝑚
− 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 ≥ 0 
2.10. វសិមភាពតំររៀបរឡើងវញិ 𝑟𝑒𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 
1.18.4 ព៌ណននិងស្រាយបញ្ញា ក់វសិមភាពតំររៀបរឡើងវញិ 
ពបើ 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑛 ; 𝑏1 < 𝑏2 < ⋯ < 𝑏𝑛 ជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន 
និង 𝛼 = min 𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ; 𝛽 = min 𝑏𝑖+1 − 𝑏𝑖 គឺចំពោេះរគប់ចំលាស់មិន 
 ូចរន 𝜋 របស់ 1; 2; … ; 𝑘 ពយើងមាន 
 𝑏𝑖𝑎𝜋𝑖 ≤ 𝑏𝑖𝑎𝑖 − 𝛼𝛽 
រពបៀបពណ៌នាពផសង 
ឧបមាថា 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛 ; 𝑏1 ≤ 𝑏2 ≤ ⋯ ≤ 𝑏𝑛 
តាង 𝐴 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛 ; 𝐵 = 𝑎1𝑏𝑛 + 𝑎2𝑏𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏1 
𝐴ពៅថាផលបូកលំោប់ 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑢𝑚 និង𝐵ពៅថាផលបូករត ប់ 
 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑚 ពយើងបពងេើតផលបូកចំរេុះ 𝑚𝑖𝑥𝑒𝑑 𝑠𝑢𝑚 ខាងពរកាមពនេះ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 18 
 
𝑋 = 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 កនុងពនាេះ 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛គឺជាចំលាស់ណា 
មួយរបស់បណាត ចំនួន 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 
ពពលពនាេះពយើងបាន 𝐴 ≥ 𝑋 ≥ 𝐵. 
កនុងករណី 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑛 ; 𝑏1 < 𝑏2 < ⋯ < 𝑏𝑛 
 សមភាពពកើតមានពពល 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 
1.18.5 វបិាក វសិមភាព 𝐶𝑕𝑒𝑏𝑦𝑠𝑕𝑒𝑣 
 𝑃. 𝐿. 𝐶𝑕𝑒𝑏𝑦𝑠𝑕𝑒𝑣 ,1821 − 1894 𝑅𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎 ជាអនករបាជ្គណិតវទិា𝑅𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎 ពលាកបានរមួ 
ចំប្ណកោ៉ាងពរចើនឲ្យតម្មលពៅពលើរទឹសតីចំនួន 𝑇𝑕𝑒𝑜𝑟𝑦 𝑜𝑓 𝑁𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠 ព ន្ េះរបស់ពលាកពៅ 
កនុងពសៀវភភាសាអង់ពគលសសរពសរថា 𝑇𝑠𝑐𝑕𝑒𝑏𝑦𝑐𝑕𝑒𝑓 ូចពនេះពគសរពសរ𝑇 𝑥 សំរល់ព ុធ្ល 
របស់𝐶𝑕𝑒𝑏𝑦𝑠𝑕𝑒𝑣 គឺពរចើនពរបើពៅកនុងពសៀវពៅប្ លសរពសរអំពីសមីការឌីពផរ ៉ាង់ប្សយល
(𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 )ចំពោេះបណាត សមមតិកមមខាងពលើពយើងមាន 
𝐴 ≥
 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 
𝑛
≥ 𝐵 
ចំលាស់ជំុវញិបណាត 𝑏𝑖ពយើងបាន 𝑛 ផលបូកចំរេុះ 
 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛 
 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏1 
 … … … … … …… … … … … 
 𝑎1𝑏𝑛 + 𝑎2𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛−1 
តាមវសិមភាពតំពរៀបព ើងវញិរាល់មួយកនុងផលបូកខាងពលើគឺពៅកនុងចពនាល េះ 𝐴 និង 𝐵 ពនាេះ 
មធយមរបស់ 𝑛 ផលបូកពនាេះក៏ ូពចាន េះប្ រ 
 ូចពនេះពយើងក៏ទញបានវសិមភាពខាងពលើពនេះរតូវបានស្រសាយរចួ 
∗∗ សំរល់ ∶ ពយើងក៏អាចពណ៌នាវសិមភាពរបស់ Chebyshev 
ពគឲ្យពីរសវុីតកំណត់បណាត ចំនួនពិត 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 និង 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 
𝑎) ពបើសវុីតទំងពីរពកើនឬក៏ចុេះ ូចរន ពនាេះពយើងបានសាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 19 
 
 1 1 1.
n n n
i i i i
i i i
n n n
a b a b
  
  
 
𝑏)ពបើពីរសវុីតមានមួយពកើននិងមួយពទៀតចុេះពនាេះពយើងបាន 
 1 1 1.
n n n
i i i i
i i i
n n n
a b a b
  
  
 
𝑎)និង𝑏)ពកើតមានសញ្ញា ពសមើពពល 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 ឬ 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 
2.11.បណ្តា វសិមភាពមួយចំនួនរផេងរទៀត 
1.18.6 វសិមភាព 𝐻𝑜𝑙𝑑𝑒𝑟 
ពគឲ្យបណាត ចំនួនពិត 𝑝, 𝑞 ពផទៀងផ្ទទ ត់ល័កខេ័ណឌ 𝑝, 𝑞 > 1 និង 1
𝑝
+
1
𝑞
= 1 
ពពលពនាេះរគប់ 2𝑛 ចំនួនពិតណាក៏ពោយ 𝑎1; 𝑏1; 𝑎2; 𝑏2; … ; 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 
ពយើងមាន
1 1
1 1 1
n n np q
p q
i i i i
i i i
a b a a
  
   
    
   
   
រាងទូពៅទី1 
ពគឲ្យ 𝑥𝑖𝑗 𝑖 = 1; 2; … ; 𝑚; 𝑗 = 1; 2; … ; 𝑛 គឺជាបណាត ចំនួនពិតមិនអវជិជមាន។ពពលពនាេះគឺ 
 
1
1
1 11 1
mn nn n
mx x
ij ij
j ji i
  
  
   
   
  
  
 
 
រាងទូពៅទី 2 
ពបើ 𝑝1; 𝑝2; … ; 𝑝𝑛 គឺជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមានប្ លពផទៀងផ្ទទ ត់ 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 1 
ពយើងមាន :
1 11 1
j
j
p
n nn n
p
ij ij
j ji i
x x
  
   
   
  
   
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 20 
 
 
1.18.7 វសិមភាព 𝑀𝑖𝑛𝑘𝑜𝑣𝑠𝑘𝑖 
ពគឲ្យចំនួនគត់វជិជមាន𝑛 និងមួយចំនួនពិត 𝑟 ≥ 1និងបណាត ចំនួន 
ពិតវជិជមាន 𝑎1; 𝑏1; 𝑎2; 𝑏2; … ; 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 ពយើងបាន 
  
1 1 1
1 1 1
n n nr r rr r r
i i i i
i i i
a b a b
  
     
       
     
   
រាងទូពៅ 
ពគឲ្យ 𝑥𝑖𝑗 𝑖 = 1; 2; … ; 𝑚 ; 𝑗 = 1; 2; … ; 𝑛 គឺជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន។ ពបើ 𝑝 ≥ 1 ពយើងបាន 
 
11
1 1 1 1
p pm n n mp
p
ij ij
i j j i
x x
   
    
     
     
    
 
𝟏. 𝟏𝟖. 𝟖 វសិមភាព 𝑀𝑎𝑐𝑙𝑎𝑢𝑟𝑖𝑛 
 រគឲ្យ 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 គឺជាបណ្តា ចំនួនពិតវជិ្ាមានណ្តក៏រោយ។ រពលរនុះរយើងមាន 
លកខណេះ ូចខាងពរកាមពនេះ។ 
𝑆1 ≥ 𝑆2 ≥ ⋯ ≥ 𝑆𝑛 ចំពោេះ 𝑆𝑘 កំណត់ពោយ 
 1 21 21 ...
...
k
k
n
k k
i i i
i i i
n
k
a a a
S
    

 
 
 

 
1.18.9 វសិមភាព 𝐴𝑏𝑒𝑙 
ចំពោេះរគប់ចំនួនពិត 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ; 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 ពយើងតាង 𝑆𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑖 និងចំពោេះ 
រគប់ 𝑖 = 1; 2; … ; 𝑛 ពពលពនាេះ 𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑆𝑖 𝑏𝑖 − 𝑏𝑖+1 + 𝑆𝑛𝑏𝑛
𝑛−1
𝑖=1
 
1.18.10 សមភាព 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 21 
 
ពគឲ្យសវុីតពីរជាសវុីតចំនួនពិត 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 និង 𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛 ពពលពនាេះពយើងមាន 
  
2
22 2
1 1 1 1
n n n
i i i i i j j i
i i i i j n
a b a b a b a b
     
    
         
    
 
 
∎រទឹសាីបទ 𝑀𝑢𝑖𝑕𝑎𝑟𝑑 
ពបើរកុម 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ពលើសលុបរកុម 𝑏 = (𝑏1; 𝑏2; … ; 𝑏𝑛) 
គឺចំពោេះរគប់ចំនួនពិតវជិជមាន 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ពយើងប្តងបាន 
 𝑥1
𝑎𝜋 1 𝑥2
𝑎𝜋 2 … 𝑥𝑛
𝑎𝜋 𝑛 
 𝜋 1 ,𝜋 2 ,…,𝜋 𝑛 
≥ 𝑥1
𝑏𝜋 1 𝑥2
𝑏𝜋 2 … 𝑥𝑛
𝑏𝜋 𝑛 
 𝜋 1 ,𝜋 2 ,…,𝜋 𝑛 
 
ផលបូកខាងពលើយកទំងអស់បណាត សវុីតចំលាស់ខាងពរកាមពនេះ 
 𝜋 1 ; 𝜋 2 ; … ; 𝜋 𝑛 របស់ 1; 2; … ; 𝑛 
មា៉ាងវញិពទៀតពបើឲ្យ 𝑎 , 𝑏 ជាពីររកុមចំនួនណាក៏ពោយោ៉ាងណាឲ្យ 
វសិមភាពខាងពលើពផទៀងផ្ទទ ត់ចំពោេះរគប់សវុីតចំនួនពិត 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 
ពនាេះគឺពយើងរតូវប្តមាន 𝑎 ≫ (𝑏) 
∎ លកខណុះវនិិចច័យមួយចំនួននន 𝑆𝑂𝑆 
ចំពោេះរគប់ចំនួនពិត 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 ពយើងពិនិតយពមើលវសិមភាពខាងពរកាមពនេះ 
𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 0 
កនុងពនាេះ 𝑆𝑎 ; 𝑆𝑏 ; 𝑆𝑐 ពរៀងរន គឺជាអនុគមន៍បីអញ្ញា ត់ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ព ើយវសិមភាពពនេះវាពិតពបើវាបំ 
ពពលល័កខេ័ណឌ ណាមួយកនុង 5 ខាងពរកាមពនេះ។ 
10: 𝑆𝑏 ≥ 0; 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 ≥ 0; 𝑆𝑏 + 𝑆𝑎 ≥ 0 
20: 𝑆𝑏 ≥ 0; 𝑆𝑐 ≥ 0; 𝑎
2𝑆𝑏 + 𝑏
2𝑆𝑎 ≥ 0 ពបើ 𝑎; 𝑏; 𝑐 គឺជាបណាត ចំនួនពិតវជិជមាន 
30: 𝑆𝑏 ≥ 0; 𝑆𝑐 ≥ 0; 𝑎 − 𝑐 𝑆𝑏 + 𝑏 − 𝑐 𝑆𝑎 ≥ 0 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 22 
 
40: 𝑎 − 𝑐 𝑆𝑏 + 𝑎 − 𝑏 𝑆𝑐 ≥ 0; 𝑎 − 𝑐 𝑆𝑏 + 𝑏 − 𝑐 𝑆𝑎 ≥ 0 
50: 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 > 0 ; 𝑆𝑎𝑆𝑏 + 𝑆𝑏𝑆𝑐 + 𝑆𝑐𝑆𝑎 ≥ 0 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
សរមាយបញ្ញា ក់ទី 10: 
ពោយពយើងមាន 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 ពនាេះពយើងមាន 
 𝑎 − 𝑐 2 = 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 2 𝑎 − 𝑏 𝑏 − 𝑐 ≥ 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 
ពនាេះពយើងនិងពៅ ល់ 
𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 0 
សរមាយបញ្ញា ក់ទី 20: 
ពយើងមាន 𝑎 − 𝑐 − 𝑎
𝑏
 𝑏 − 𝑐 =
𝑐 𝑎 − 𝑏 
𝑏
≥ 0 និង 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0 ពនាេះពយើងមាន 
𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 .
𝑎2
𝑏2
 𝑏 − 𝑐 2 
=
𝑎2𝑆𝑏 + 𝑏
2𝑆𝑎
𝑏2
 𝑏 − 𝑐 2 ≥ 0 
សរមាយបញ្ញា ក់ទី 30: 40: 
ពយើងកពនាមបំប្របំរលួ ូចខាងពរកាមពនេះ 
 𝑆 = 𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 
= 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 + 2𝑆𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑏 − 𝑐 
= 𝑏 − 𝑐 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑏 − 𝑐 + 𝑆𝑏 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 + 𝑆𝑏 𝑏 − 𝑐 
= 𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑐 𝑆𝑏 + 𝑏 − 𝑐 𝑆𝑎 + 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑐 𝑆𝑏 + 𝑎 − 𝑏 𝑆𝑐 
ពោយសមមតិកមមរបស់ 30 និង 40 ពនាេះពយើងបានកពនាមមិនអវជិជមាន។គឺពយើងទញបាន 
𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 0 
សរមាយបញ្ញា ក់ទី 50: 
ពីសមមតិកមមពយើងទញបាន max 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ; 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 ; 𝑆𝑐 + 𝑆𝑎 ≥ 0 មិនបាត់លកខណេះទូពៅពយើង 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 23 
 
ឩបមាថា 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 > 0 ពពលពនាេះពយើងព ើញថា 
 𝑆 = 𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 
= 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 + 2𝑆𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑏 − 𝑐 + 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑏 − 𝑐 
2 
= 𝑆𝑏 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 +
𝑆𝑏
𝑆𝑏 + 𝑆𝑐
 𝑏 − 𝑐 
2
+
𝑆𝑎𝑆𝑏 + 𝑆𝑏𝑆𝑐 + 𝑆𝑐𝑆𝑎
𝑆𝑏 + 𝑆𝑐
 𝑏 − 𝑐 2 ≥ 0 
⇔ 𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 0 
 បណ្តា និមិតាិសញ្ញា ផលបូកនិងផលគុណ 
∎ :
𝑐𝑦𝑐
 ផលបូកចំលាស់។ 𝑐𝑦𝑐 គឺការសរពសរកាតរបស់ 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑖𝑐 
ឩទ រណ៍ 
ចំពោេះបីអញ្ញា ត់ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ពយើងមាន 𝑎2𝑏
𝑐𝑦𝑐
= 𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 
ចំពោេះបូនអញ្ញា ត់ 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 ពយើងមាន 𝑎2𝑏
𝑐𝑦𝑐
= 𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑑 + 𝑑2𝑎 
 
ជពំកូទ ី𝐼𝐼 
 2,1 បណ្តា លហំារ់្ំរនួិងការត្ាយបញ្ជា ក់ត្ទឹសាបីទមួយចំនួន 
ការឧពទសសនាមសតីអំពីវសិមភាពមួយចំនួននិងវធីិសាស្តសតស្រសាយប្ លគូរចងចំាពពលអនុវតតន៍ 
ពៅកនុងការសិកាថាន ក់មធយមសិកាបឋមភូមិនិងមធយមសិកាទុតិយភូមិពយើងបានជួបវសិមភាព 
ជាពរចើនប្ លបណាត អនកនិពនធពលើកយកមកព ើមបីស្រសាយបញ្ញជ ក់លំហាត់។ 
 ូចជាពគឲ្យបណាត ចំនួន 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ជាបណាត ចំនួនពិតមិនអវជិជមាន គឺពយើងមាន 
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
≥ 𝑥1𝑥2 … 𝑥𝑛
𝑛 
ករណីពសមើពកើតមានពពលប្ ល 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 24 
 
វសិមភាពមានព ម្ េះរបាក ថា វសិមភាពរវាងឫក៏ចពនាល េះមធយមនពវនតនិងមធយមធរណីមារត 
 𝐼𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑕𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐 𝑀𝑒𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑀𝑒𝑎𝑛 ពៅពរចើនរបពទសពៅពលើសក
លពលាកពគប្តងពៅវសិមភាពពនេះតាមការសរពសរអកសរកាត់ថា AM-GM 
 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑕𝑒𝑡𝑖𝑐 𝑀𝑒𝑎𝑛 − 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑀𝑒𝑎𝑛 
ព ើយពៅរបពទសពយើងក៏មានពលាករគូនិងអនករគូជាពរចើនប្តងពៅវសិម 
ភាពពៅតាមព ម្ េះរបស់អនករបាជ្គណិតវទិាជនជាតិបារាងំ 𝐴𝑢𝑔𝑢𝑠𝑡𝑖𝑛 − 𝐿𝑜𝑢𝑖𝑠 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 
 1789 − 1857 គឺប្តពៅថា វសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 ពនេះក៏ជាការពៅមិនជាលកខណេះទូពៅពទ។ 
 ពីពរោេះ 𝐶𝑎𝑢𝑕𝑐𝑦រត់មិនប្មនជាអនកបពងេើតរបូនតពនេះពទ គឺរត់ររន់ជាអនកបពងេើតវធីិសាស្តសត 
ស្រសាយបញ្ញជ ក់ ៏វពិសសមាន ក់នូវរបូមនតពនេះ។ ូចពនេះថាពតើវសិមភាព AM-GM ពនេះបពងេើត 
ព ើងនិងវាពរ ើកចំពរ ើនព ើយ ូចពមតច? 
សំនួរប្ លសតីអំពីរបវតតិនិងការបពងេើតពនេះរតូវបានស្រសង់ពចញពីបណាត អនករបាជ្គណិតវទិាជា
ពរចើនប្ លមានការចាប់អារមមណ៍ោ៉ាងខាល ំងរបស់អនកគណិតវទិាសពវម្ថៃពនេះ។ 
 𝑮. 𝑯. 𝒉𝒂𝒓𝒅𝒚 𝟏𝟖𝟕𝟕 − 𝟏𝟒𝟒𝟕 
2,2 លំហាត់គំរណួែលបានរបឡង 𝐼𝑀𝑂 និងតាមបណ្តា របរទសមួយចំនួន 
 ---វសិមភាពសតីអំពីរតីពកាណមារតកនុងការរប ងគណិតវទិា IMO 1961 
ចំពោេះលំហាត់ពនេះជាលំហាត់មួយប្ លជាគំរមួ្នលំហាត់ពរចើនពទៀតពើយមានការស្រសាយប
ញ្ញជ ក់បានពរចើនរពបៀប។ ព ើយក៏ជារទឹសតីប្ លគួរយកចិតតទុកោក់ផងប្ រពរោេះពយើងនិងអាច 
ជួបលំហាត់របពភទពនេះពរចើនពទៀតពៅកនុងពសៀវពៅរបស់ពយើងេ្ុំនិងពសៀវពៅ ៏ម្ទពទៀតជា 
ពរចើន។ ពរោេះថាមានលំហាត់ជាពរចើនប្ លមានការស្រសាយបញ្ញជ ក់និងគំរសួ្រសព ៀងរន
ព ើយវាក៏ជាបពចចកពទសមួយផងប្ រសរមាប់បងបអូនប្ លចូលចិតតប្ផនកវទិាសាស្តសតពិត។ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 25 
 
ព ើយការពលើព ើងយកមកស្រសាយបញ្ញជ ក់ពនេះមិនប្មនជាគំនិតរបស់េ្ុំទំងអស់ពនាេះពទ 
វាគឺជាគំនិតរបស់អនកគណិតវទិាលបីៗពៅពលើសកលពលាកពយើងពនេះព ើយអនកទំងពនាេះបាន
សរពសរោ៉ាងពរចើននិងនិពនធលំហាត់ជាពរចើនប្ លមានលកខណេះោក់ពន់និងការស្រសាយបញ្ញជ
ក់ជាគំរពួនេះ។ព ើយស្រសបពពលពនេះប្ ររបពទសពយើងក៏បានចូលរមួរប ងពជើងឯកលំោប់សក
លពលាកផងប្ រ។ប្ លបានចូលរមួពៅឆ្ន ំ២០០៧ប្ លពពលពនាេះបានោក់មណឌ លរប ងពៅ
របពទសពវៀតណាម។ ូចពនេះពយើងព ើញថារបពទសពយើងក៏បានពធវើឲ្យបណាត របពទសពៅ 
ពលើសកលពលាក ឹងថារបពទសមានការពរ ើកចំពរ ើនខាល ំងព ើយប្ផនកសិកាអប់រ។ំ 
ព ើយរបពទសពយើងមានប្ផនកសិកាអប់រមំានពីរប្ផនកសំខាន់សរមាប់អភិវឌឍន៍របពទស។ 
គឺប្ផនកពុទធិកសិកាប្ លជាសាលាមានអាយុកាលយូរមកព ើយពៅពលើទឹក ីសុវណណភូមិ 
(ប្េមរ)ពយើងពនេះ ព ើយសាលាពនេះជារគឹេះ ៏សំខាន់ប្ផនកអកសរសាស្តសតសងាមនិងវបបធម៌សាសនា 
របម្ពណីទំពនៀមទំលាប់របស់ជាតិពយើង។ព ើយក៏មានប្ផនកវទិាសាស្តសតផងប្ រគឺពលើកប្លង 
ប្តមហាវទិាល័យពវជជសាស្តសតមួយពទប្ លសមណេះមិនអាចសិកាបានពនាេះ។ 
 --- 
ព ើយពបើប្ផនកអាណាចរកវញិពយើងព ើញថាមានការពរ ើកចំពរ ើនខំាងណាស់នាពពលបចចុបបននពនេះ 
គឺមានមហាវទិាល័យរ ូត ល់តាមបណាត ពេតតរកុងនាៗពលើម្ផទរបពទសពនេះមកពីគំនិតរបស់ប
ញ្ញា វនត័ប្េមរព ើយប្ លមានគំនិតជាតិនិយមខាល ំងនិងបណាត អគាមគពទសន៍ថាន ក់ ឹកនាំរបពទស
ពយើងចាប់តំាងពីបុពវកាលម្នទឹក ីប្េមរពយើងពរៀងមក ល់ពពលបចចុបបននកាលពនេះ។ 
ព ើយពយើងមានវាសនាណាស់ប្ លបានពកើតមកពលើទឹក ីប្ លមានសនតិភាព ។ 
 ូចពនេះពយើងគួរនំារន ពធវើោ៉ាងណាឲ្យជារបពោជន៍ ល់សងាម។ ូចមានពុទធភាសិតមួយថា 
របូ ំជរីរ ិមច្ចា ន ំនាមសោរា ំនជរីរ ិ
ប្របថា ជីវតិរបស់ពយើងរគប់រន នឹងសាល ប់ជារបាក ប្តនាមនិងកូតរបស់ពយើងមិនសាល ប់ពទ។ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 26 
 
មានន័យថាអវីៗប្ លជារបពោជន៍ ល់សងាមជាតិពយើងមិនងាយនិងរលត់បាត់ពោយងាយៗ
ពនាេះពទ ូចជាសពមតចរពេះសងឃរាជយជូនណាតជាព ើមនិងអនកប្ លបានប្របរពេះប្រតបិ កជាព ើ
មពនាេះពករ តព៍ ម្ េះរបស់ពលាករលត់បានលុេះរតាណាប្តរបពទសពយើងមិនពរបើអកសរប្េមរ ូចសពវ
ម្ថៃពនេះនិងរបពទសពយើងមិនមានសាសនារពេះពុទធពនាេះ។ 
ព ើយពបើពយើងមិនបានសិកាឲ្យបានពរចើនពនាេះពយើងនឹងរច ំថារបពទសពយើងមិនទន់មានអន
ករបាជ្ពនាេះពទ។តាមពិតពៅរបពទសពយើងមានអនករបាជ្ពរចើនណាស់ព ើយមានចំពណេះ ឹងទូ
លំទូលាយណាស់ ូចជាគមពីរពេះប្រតបិ កជាព ើមពយើងបានប្របសពរមចបានមុេពគបងអស់ប្ ល
មានសរបុ១១០ភាគព ើយពបើការប្របវញិពទៀតពសាតគឺពិតជាវពិសសណាស់គឺភាសាបាលីមួយ
ទំព័រពសចកតីប្េមរក៏មួយទំព័រប្ រ។ព ើយភាសាបាលីមានពវយាករណ៍ពិបាកជាភាសាបារាងំនិង
អង់ពគលសពរចើនណាស់ពនេះបញ្ញជ ក់ឲ្យព ើញថាប្េមរពយើងគឺជារបពទសមួយ ៏ម ិមាប្ លមានអ
កសរពរបើព ើយមិនមានរបពទសណាពរបើ ូចព ើយពនេះបញ្ញជ ក់ឲ្យពយើងព ើញថាប្េមរពយើងមានអន
ករបាជ្លំោប់ណា?ព ើយពបើប្ផនកវទិាសាស្តសតវញិក៏មានប្ រប្តពៅតិចពៅព ើងពោយប្េមរបាន
ជួបពៅមហាម នតរាយជាពរចើន ូចជាធមមជាតិនិងសងាម។ប្តនាពពលខាងមុេពនេះនិងមានជា
របាក ជាក់មិនខានព ើយ។ 
 
II. 1 លហំារ ់ 𝐼𝑀𝑂 1961 
ពគឲ្យ ∆𝐴𝐵𝐶 និងបណាត រជុង 𝑎; 𝑏; 𝑐 និងមានម្ផទរកលា 𝑆 ។ 
ចូរបងាា ញថា 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 1 
រពបៀបទី1 
ពរបើរបូមនតរបស់ 𝐻𝑒𝑟𝑜𝑛 ពយើងមាន 
𝑆 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 =
1
2
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 27 
 
⇒ 16𝑆2 = 2 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 − 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 
ឥ ូវពនេះពយើងនិងសរពសរមតងពទៀតវសិមភាព 1 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2 ≥ 3.16𝑆2 
ពយើងជំនួសចូលនូវវសិមភាពប្ លពយើងមានខាងពលើពនាេះពយើងនិងបានវសិមភាពខាងពរកាម 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2 ≥ 3 2 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 − 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 
ឫក៏ 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 ≥ 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 ពនេះជាលទធផលប្ លជូបពរចើនព ើយ។ 
រពបៀប2 
ពយើងអនុវតតន៍រទឹសតីបទ sin និង 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑒 ពយើងបាន 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2𝑆
𝑎𝑏
 និង 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑎
2 + 𝑏2 − 𝑐2
2𝑎𝑏
 
ពោយ sin2 𝐶 + cos2 𝐶 = 1 ពនាេះ 4𝑆
2
𝑎2𝑏2
+
 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 2
4𝑎2𝑏2
= 1 
ពីពនេះពយើងទញបាន 16𝑆2 = 2 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 − 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 ល់ពនេះ 
ពយើងនិងព ើញវាក៏ ូចពៅនិងរពបៀបទី 1 ប្ រ ូចពនេះវសិមភាពពនេះវានិងពិតតាមរពបៀបទី1 ។ 
រពបៀបទី3 
ពយើងព ើញថា 3𝑠𝑖𝑛𝐶 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 2 sin 𝐶 + 300 ≤ 2 ⇒ 3 2𝑆
𝑎𝑏
 +
𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2
2𝑎𝑏
≤ 2 
ពយើងនិងទទូលបាន 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑏 ≥ 4 3𝑆 ព ើយស្រសាយ ូចរន ប្ រពយើងបាន 
𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 + 4𝑏𝑐 ≥ 4 3𝑆 និង 𝑏2 − 𝑐2 − 𝑎2 + 4𝑐𝑎 ≥ 4 3𝑆 
ពយើងបូកវសិមភាពទំងបីពនេះតាមទិសពៅ ូចរន ពយើងបាន 
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 12 3𝑆 
មា៉ាងវញិពទៀតពយើងមាន 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 វសិមភាពពនេះពិត 
រពបៀបទី4 
ពយើងជំនួស 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶 និង 𝑆 = 1
2
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 ចូលពនាេះវសិមភាពប្ លរតូវ 
ស្រសាយកាល យជា 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶 ≥ 2 3𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 28 
 
ព ើយវាសមូលនិង 𝑎2 − 𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 3𝑠𝑖𝑛𝐶 + 𝑏2 ≥ 0 
តាង 𝑎 = 𝑡𝑏 ; 𝑡 > 0 វសិមភាពចុងពរកាយពយើងអាចសរពសរបានរាង 𝑏2𝑓 𝑡 ≥ 0 
ចំពោេះ 𝑓 𝑡 = 𝑡2 − 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 3𝑠𝑖𝑛𝐶 + 1 
ពយើងមាន 𝑓 𝑡 ជារតីធ្ល ឺពរកទីពីរចំពោេះអញ្ញា ត់ 𝑡 និងពមគុណអញ្ញា ត់ ឺពរកេពស់អវជិជមាន 
ពយើងមាន∆𝑓= 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 3𝑠𝑖𝑛𝐶 2 − 4 ≤ 1 + 3 cos2 𝐶 + sin2 𝐶 − 4 = 0 
ពនាេះជាក់ប្សតង 𝑓 𝑡 ≥ 0 ូចពនេះវសិមភាពរតូវបានស្រសាយរចួ។ 
រពបៀបទី5 
ពោយ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 4 3𝑆 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶 − 2 3𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 
 = 2 𝑎 − 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 1 − cos 𝐶 + 600 ≥ 0 
ពនាេះវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយគឺវាពិត។ 
រពបៀបទី6 
ពយើងអនុវតតន៍វសិមភាព Heron និង AM-GM Cauchy Schwarz ពយើងបាន 
𝑆2 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 𝑝 − 𝑐 𝑝 − 𝑎 
≤ 𝑝.
 𝑝 − 𝑎 + 𝑝 − 𝑏 
2
 .
 𝑝 − 𝑏 + 𝑝 − 𝑐 
2
.
 𝑝 − 𝑐 + 𝑝 − 𝑎 
2
=
𝑝
8
𝑎𝑏𝑐 
≤
𝑝
8
 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
 
3
=
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 4
16.27
≤
 12 + 12 + 12 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2
16.27
=
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2
16.3
 
ពបើពយើងបំោក់ឫសកាពរពលើវាពយើងនិងបានវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់។ 
រពបៀបទី7 
 ូចខាងពលើប្ រពយើងអនុវតតន៍វសិមភាព Heron និង AM-GM ,Cauchy Schwarz ពយើងបាន 
4 3𝑆 = 4 3 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 ≤ 4 3𝑝 
 𝑝 − 𝑎 + 𝑝 − 𝑏 + 𝑝 − 𝑐 
3
 
3
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 29 
 
=
4𝑝2
3
=
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
3
≤
 12 + 12 + 12 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
3
= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
ពនាេះវាជាវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់។ 
រពបៀបទី 8 
តាង 𝑎 = 𝑦 + 𝑧 ; 𝑏 = 𝑧 + 𝑥 ; 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 ចំពោេះ 𝑥; 𝑦; 𝑧 > 0 
ពពលពនាេះពយើងអនុវតតន៍វសិមភាពរគឹេះ 
 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2 ≥ 𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢 និង 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 2 ≥ 3 𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢 ពយើងបាន 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2 = 𝑦 + 𝑧 2 + 𝑧 + 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑦 2 2 ≥ 16 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑥𝑦 2 
≥ 16.3 𝑥𝑦. 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧. 𝑧𝑥 + 𝑥𝑦. 𝑦𝑧 = 48𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 48𝑆2 
ពបើពយើងបំោក់ឫសកាពរពលើអងាទំងពីរពយើងនិងបានវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់។ 
រពបៀបទី 9 
សនមតិ 𝑝 ជាកនលេះបរមិារតរបស់រតីពកាណ និងតាង 𝑝 − 𝑎 = 𝑥 ; 𝑝 − 𝑏 = 𝑦 ; 𝑝 − 𝑐 = 𝑧 
ពយើងទញបាន 𝑝 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
បនាទ ប់មកពយើងអនុវតតន៍វសិមភាពរគឹេះពយើងនិងបាន ូចខាងពរកាម 
𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2 ≥ 𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢 និង 𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢 ≥ 3𝑢𝑣𝑤 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 ∀𝑢; 𝑣; 𝑤 > 0 
ពនាេះ𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 + 𝑧 + 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 
≥ 3 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑥 
≥ 3.2 𝑥𝑦. 2 𝑦𝑧. 2 𝑧𝑥. 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑆 
ពនាេះជាវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់។ 
រពបៀបទី 10 
មុន ំបូងពយើងនិងស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា 8 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 ≤ 𝑎𝑏𝑐 
ពបើតាមវសិមភាពរបស់ AM-GM ពយើងមាន 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 30 
 
8 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 = 2 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 . 2 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 .2 𝑝 − 𝑐 𝑝 − 𝑎 
 ≤ 𝑝 − 𝑎 + 𝑝 − 𝑏 . 𝑝 − 𝑏 + 𝑝 − 𝑐 . 𝑝 − 𝑐 + 𝑝 − 𝑎 = 𝑎𝑏𝑐 
ឥ ូវពនេះពយើងអនុវតតន៍វសិមភាពខាងពលើពយើងនិងបាន 
48𝑆2 = 48𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 ≤ 48𝑝𝑎𝑏𝑐 = 3𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 ូពចនេះពយើងនិងរតូវស្រសាយថា 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 3 ≥ 3𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
ពរបើវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 ពយើងមាន 
3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 12 + 12 + 12 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 
មា៉ាងពទៀតពបើតាមវសិមភាព AM-GM ពយើងមាន 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 3 ≥ 3 𝑎2𝑏2𝑐2
3
 
3
= 27𝑎2𝑏2𝑐2 
ពយើងគុណវសិមភាពទំងពីរខាងពនេះពយើងនិងបានវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់ 
រពបៀបទី 11 
ពរបើវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 ជាមួយនិងវសិមភាពប្ លបានសាា ល់ 
sinA + sinB + sinC ≤
3 3
2
 
ពយើងបាន 1
𝑠𝑖𝑛𝐴
+
1
𝑠𝑖𝑛𝐵
+
1
𝑠𝑖𝑛𝐶
≥
9
𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶
≥ 2 3 
ពយើងទញបាន 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 2𝑆 1
𝑠𝑖𝑛𝐴
+
1
𝑠𝑖𝑛𝐵
+
1
𝑠𝑖𝑛𝐶
 ≥ 4 3𝑆 ពិត 
រពបៀបទី 12 
ពយើងពរបើវសិមភាពប្ លពយើងបានសាា ល់ sinA + sinB + sinC ≤ 3 3
2
 ពនាេះពយើងទញបាន 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 3 3𝑅 
ពីពនាេះពយើងអនុវតតន៍វសិមភាព AM-GM ពយើងបាន 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 31 
 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 3 𝑎2𝑏2𝑐2
3
≥
9𝑎𝑏𝑐
3 𝑎𝑏𝑐
3 ≥
9𝑎𝑏𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
≥
9𝑎𝑏𝑐
3 3𝑅
= 4 3𝑆 
រពបៀបទី 13 
មិនបាត់លកខណេះទូពៅពយើងឧបមាថា 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 ពយើងទញបាន 
 𝑎𝑏 ≥ 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐 និង sin 𝐴 ≥ sin 𝐵 ≥ sin 𝐶 
 ពីលកខណេះពនេះពយើងពរបើវសិមភាព 𝐶𝑕𝑒𝑏𝑦𝑠𝑕𝑒𝑣 ឲ្យពីរសវុីត 
ម៉ាូណូតូន 𝑎𝑏 ≥ 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐 និង sin 𝐴 ≤ sin 𝐵 ≤ sin 𝐶 ពយើងមាន 
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 sin 𝐴 + sin 𝐵 + sin 𝐶 ≥ 3 𝑎𝑏 sin 𝐶 + 𝑎𝑐 sin 𝐵 + 𝑏𝑐 sin 𝐴 ≥ 18𝑆 
ពោយ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 និង sin 𝐴 + sin 𝐵 + sin 𝐶 ≤ 3 3
2
 ពនាេះពយើងទញបាន 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
3 3
2
≥ 18𝑆 ឫក៏ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 
រពបៀបទី 14 
 តាមរទឹសតីបទ cosine កនុងរតីពកាណ ពយើងមាន 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑎 cos 𝐴 = 𝑏2 + 𝑐2 − 4𝑆 cotg 𝐴 
𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑐𝑎 cos 𝐵 = 𝑐2 + 𝑎2 − 4𝑆 cotg 𝐵 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 4𝑆 cotg 𝐶 
ពីសមភាពពនេះពយើងទញបាន 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 4𝑆 cotg 𝐴 + cotg 𝐵 + cotg 𝐶 
មា៉ាងពទៀតតាមវសិមភាពប្ លពយើងបានសាា ល់ cotg 𝐴 + cotg 𝐵 + cotg 𝐶 ≥ 3 
ពនាេះការស្រសាយបញ្ញជ ក់របស់ពយើងខាងពលើពនេះជាការពស្រសច។ 
រពបៀបទី 15 
ពយើងសនមតិថា 𝑟 ជាកំារងវង់ចារកឹកនុងរតីពកាណពនាេះពយើងមាន 
𝑟 = 𝑝 − 𝑎 tan
𝐴
2
= 𝑝 − 𝑏 tan
𝐵
2
= 𝑝 − 𝑐 tan
𝐶
2
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 32 
 
⇒ 𝑅3 = 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 tan
𝐴
2
tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
 
ប្ត 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 = 𝑆
2
𝑝
=
𝑝2𝑟2
𝑝
= 𝑝𝑟2 
ពនាេះពយើងទញបាន 𝑟 = 𝑝 tan 𝐴
2
tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
 
តាមវសិមភាព AM-GM ពយើងបាន 
1 = tan
𝐴
2
tan
𝐵
2
≥ 3 tan2
𝐴
2
tan2
𝐵
2
tan2
𝐶
2
3 
⇒ tan
𝐴
2
tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
≤
1
3 3
 
តាម 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 ជាមួយនិងវសិមភាពខាងពលើពនេះពយើងបាន ូចខាងពរកាមពនេះ 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥
1
3
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 =
4
3
𝑝2 = 4 3𝑝2.
1
3 3
 
 ≥ 4 3𝑝2 tan
𝐴
2
tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
= 4 3𝑝𝑟 = 4 3𝑆 
 
 
 
រពបៀបទី16 
 
 
 
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 33 
 
 
 
 
ពិនិតយពមើលរតីពកាណ 𝐴𝐵𝐶 សនមតិ 𝑀 គឺជាចំណុចកណាត 𝐵𝐶 ។ គូសកំពស់ 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶 
 ពយើងមាន 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 + 2𝐴𝑀2 + 𝐵𝐶
2
2
 
 ≥
3𝐵𝐶2
2
+ 2𝐴𝐻2 ≥ 2 
3𝐵𝐶2
2
. 2𝐴𝐻2 = 2 3𝐵𝐶. 𝐴𝐻 = 4 3𝑆 
រពបៀបទី𝟏𝟕 
 
 
 
 
 
 
 
ពរបើរតីពកាណសមស័ង 𝐴𝐵1𝐶 ប្ លពធវើោ៉ាងណាឲ្យ 𝐵, 𝐵1 ពៅរមួមួយប្ផនកចំពោេះ 𝐴𝐶 ។ 
និងមាន 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵1 = 𝑏; 𝐴𝐵 = 𝑐 
ពរបើរទឹសតីបទ 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑒 ឲ្យរតីពកាណ 𝐴𝐵1𝐶 ពយើងមាន 
 𝐵𝐵1
2 = 𝐵𝐴2 + 𝐵1𝐴
2 − 2𝐵𝐴. 𝐵1𝐴 cos ∠𝐵𝐴𝐵1 
= 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 − 600 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 cos 600 + sin 𝐴 sin 600 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 34 
 
= 𝑏2 + 𝑐2 −
1
2
 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 − 3𝑏𝑐 sin 𝐴 =
1
4
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 4 3𝑆 
ពោយ 𝐵𝐵12 ≥ 0 ពនាេះពីខាងពលើពយើងទញបាន 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 
រពបៀបទី18 
 
 
 
 
 
 
 
ពរបើបណាត រតីពកាណសមស័ង 𝐴𝐶𝐵1; 𝐴𝐵𝐶1ប្ លពធវើោ៉ាងណាឲ្យ 𝐵; 𝐵1ពៅ ូចរន មួយប្ផនកចំពោេះ 
𝐴𝐶 និង 𝐶; 𝐶1ព ើយក៏ពៅមួយប្ផនកចំពោេះ 𝐴𝐵 សនមតិ 𝑂1; 𝑂2គឺជាផចិតរបស់រតីពកាណ 𝐴𝐶𝐵1 
និង 𝐴𝐵𝐶1ព ើយមាន 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵1 = 𝑏; 𝐴𝐵 = 𝑐 ពិនិតយពមើលរតីពកាណ 𝑂2𝐴𝑂1 
 ពយើងមាន 𝑂1𝐴 = 𝐴𝐶2 sin 600 =
𝑏
 3
; 𝑂2𝐴 =
𝐴𝐵
2 sin 600
=
𝑐
 3
 
និង ∠𝑂1𝐴𝑂2 = 𝐴 − 600 ពីពនេះពយើងទញបាន 
 𝑂1𝑂2
2 = 𝑂1𝐴
2 + 𝑂2𝐴
2 − 2𝑂1𝐴. 𝑂2𝐴. cos ∠𝑂1𝐴𝑂2 
=
1
3
 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑂1𝐴. 𝑂2𝐴. cos 𝐴 − 60
0 
=
1
3
 𝑏2 + 𝑐2 −
2𝑏𝑐
3
 cos 𝐴 cos 600 + sin 𝐴 sin 600 
=
1
3
 𝑏2 + 𝑐2 −
2𝑏𝑐
3
 
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
.
1
2
+
 3
2
𝑠𝑖𝑛𝐴 =
1
6
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 4 3𝑆 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 35 
 
ពោយ 𝑂1𝑂22 ≥ 0 ពនាេះពីខាងពលើពយើងទញបាន 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 ូចពនេះពិត។ 
ពរកាយពនេះជាលំហាត់ទូពៅប្ លគូរឲ្យចាប់អារមមណ៍ 
លហំារ់ទូសៅទ1ី 
ពគឲ្យ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ជារជុងម្នរតីពកាណមួយនិង 𝑆 ជាម្ផទម្នរតីពកាណពនាេះ។ចូរបងាា ញថា 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 + 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2 2 
 វសិមភាព 𝐻𝑎𝑑𝑤𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑠𝑙𝑒𝑟 
រពបៀបទី1 
 វសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយវាសមូលនិងវសិមភាពប្ លមានរាង ូចខាងពរកាមពនេះ 
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 
4𝑆 
1
sin 𝐶
+
1
sin 𝐴
+
1
sin 𝐵
 − 4𝑆 cotg 𝐴 + cotg 𝐵 + cotg 𝐶 ≥ 4 3𝑆 
1 − cos 𝐴
sin 𝐴
+
1 − cos 𝐵
sin 𝐵
+
1 − cos 𝐶
sin 𝐶
≥ 3 
tan
𝐴
2
+ tan
𝐵
2
+ tan
𝐶
2
≥ 3 
ពរបើសមភាព tan 𝐴
2
tan
𝐵
2
+ tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
+ tan
𝐶
2
tan
𝐴
2
= 1 និងជាមួយនិងវសិមភាពប្ ល 
ពយើងបានសាា ល់គឺ 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ≥ 3 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ពពលពនាេះពយើងនិងបាន ូចពរកាមពនេះគឺ 
tan
𝐴
2
+ tan
𝐵
2
+ tan
𝐶
2
≥ 3 tan
𝐴
2
tan
𝐵
2
= 3 
 ូចពនេះវសិមភាពពលើពយើងបានស្រសាយបញ្ញជ ក់ថាវាពិតព ើយ។ 
រពបៀបទី2 
វសិមភាពប្ លរតូវវាសមូលនិងវសិមភាពខាងពរកាមពនេះ 
 𝑎2 − 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑏2 − 𝑐 − 𝑎 2 + 𝑐2 − 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 4 3𝑆 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 36 
 
⇔ 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 + 𝑝 − 𝑐 𝑝 − 𝑎 + 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 ≥ 3𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 3 
តាង 𝑥 = 𝑝 − 𝑎; 𝑦 = 𝑝 − 𝑏 ; 𝑧 = 𝑝 − 𝑐 វសិមភាព 3 កាល យជា 
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ 3𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ពនេះវាជាវសិមភាពពយើងបានសាា ល់។ 
រពបៀបទី 3 
អនុវតតន៍លទធផលលំហាត់ព ើម ។ ឲ្យរតីពកាណ 𝑀𝑁𝑃 កនុង
ពនាេះ 𝑀; 𝑁; 𝑃 ពរៀងរន គឺជាផចិតរងវង់ចារកឹកនុង 
បណាត លមំុ 𝐴; 𝐵; 𝐶 របស់រតីពកាណ ំបូង។ 
លហំារ់ទូសៅទ2ី ∶ 
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥ 4 3𝑆 
លហំារ់ទូសៅទ ី3: 
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥ 4 3𝑆 +
1
2
 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2 
លហំារ់ទូសៅទ ី4: 
 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 + 𝑐2𝑛 ≥ 3 
4𝑆
 3
 
𝑛
+ 𝑎 − 𝑏 2𝑛 + 𝑏 − 𝑐 2𝑛 + 𝑐 − 𝑎 2𝑛 ∶ ∀𝑛 ∈ ℕ 
លហំារ់ទូសៅទ ី5: 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 +
18𝑎𝑏𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
≥ 4 3𝑆 
លហំារ់ទូសៅទ ី6: 
 𝑎𝛼𝑏𝛼 + 𝑏𝛼𝑐𝛼 + 𝑐𝛼𝑎𝛼 ≥ 2𝛼 32−𝛼𝑆𝛼 , ∀𝛼 ≥ 1 4 
ស្រសាយបញ្ញជ ក់វសិមភាព(4) 
ពយើងមាន 2𝑆
sin 𝐶
 
𝛼
+ 
2𝑆
sin 𝐴
 
𝛼
+ 
2𝑆
sin 𝐵
 
𝛼
≥ 4𝛼 32−𝛼𝑆𝛼 
⇔
1
sin𝛼 𝐴
+
1
sin𝛼 𝐵
+
1
sin𝛼 𝐶
≥ 32−𝛼 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 37 
 
តាមវសិមភាពរបស់ AM-GM ជាមួយនិងវសិមភាពប្ លពយើងបានសាា ល់ 
sin 𝐴 + sin𝐵 + sin 𝐶 ≤
3 3
2
 ពនាេះពយើងបាន 
1
sin𝛼 𝐴
+
1
sin𝛼 𝐵
+
1
sin𝛼 𝐶
≥ 3. 
1
sin𝛼 𝐴
.
1
sin𝛼 𝐵
.
1
sin𝛼 𝐶
3
=
3
 sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 𝛼
3
 
≥
3
 
sin 𝐴 + sin 𝐵 + sin 𝐶
3 
3𝛼3
≥
3
 3𝛼
= 32−𝛼 
ពនាេះវសិមភាពរបស់ពយើងរតូវបានស្រសាយបញ្ញជ ក់រចួ។ 
លហំារ់ទូសៅទ ី7: 
 ពគឲ្យ 𝑎; 𝑏; 𝑐 គឺជារជុងបីរបស់រតីពកាណមួយនិងមានប្ផទ 𝑆 ឧបមាថា 𝑥; 𝑦; 𝑧 
គឺជាបណាត ចំនួណពិតប្ លពផទៀងផ្ទទ ត់ 𝑥 + 𝑦 > 0; 𝑦 + 𝑧 > 0 ; 𝑧 + 𝑥 > 0 
 និង 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 > 0ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា: 𝑥𝑎2 + 𝑦𝑏2 + 𝑥𝑐2 ≥ 4 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥𝑆 5 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ជំនួស 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 និង 2𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝐶 ចូលវសិមភាព 5 និងកាល យជា 
𝑥𝑎2 + 𝑦𝑏2 + 𝑥 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 ≥ 2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥𝑎𝑏 sin 𝐶 
⇔ 𝑥 + 𝑧 
𝑎
𝑏
+ 𝑦 + 𝑧 
𝑏
𝑎
≥ 2 𝑧 cos 𝐶 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 sin 𝐶 6 
អនុវតតន៍វសិមភាពរបស់ AM-GM ពយើងមាន 
 𝑥 + 𝑧 
𝑎
𝑏
+ 𝑦 + 𝑧 
𝑏
𝑎
≥ 2 𝑥 + 𝑧 
𝑎
𝑏
. 𝑦 + 𝑧 
𝑏
𝑎
= 2 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
មា៉ាងពទៀតតាមវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 គឺពយើងមាន 
 𝑧 cos 𝐶 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 sin 𝐶 ≤ 𝑧2 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 cos2 𝐶 + sin2 𝐶 
= 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 38 
 
តាមទំនាក់ទំនងពីរខាងពលើពនេះពយើងទញបាន 6 និងសមភាពពកើតមានពៅពពលប្ ល 
 
 
 
 
 𝑥 + 𝑦 
𝑎
𝑏
= 𝑦 + 𝑧 
𝑏
𝑎
 
cos 𝐶
𝑧
=
sin 𝐶
 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
 ⇔
 
 
 
 
 
𝑎
 𝑦 + 𝑧
=
𝑏
 𝑥 + 𝑧
⇒ 𝑏2 =
𝑎2 𝑥 + 𝑧 
𝑦 + 𝑧
 
cos2 𝐶
𝑧2
=
sin2 𝐶
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
=
1
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
 
 ជំនួស 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 ចូលពយើងមាន 
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑎2.
𝑥 + 𝑧
𝑦 + 𝑧
− 2𝑎2.
 𝑥 + 𝑧
 𝑦 + 𝑧
.
𝑧
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
⇒
𝑎
 𝑦 + 𝑧
=
𝑐
 𝑥 + 𝑦
 
 ូចពនេះសមភាពពកើតមានពពលប្ ល 𝑎
 𝑦 + 𝑧
=
𝑏
 𝑧 + 𝑥
=
𝑐
 𝑥 + 𝑦
 
អនុវតតន៍របស់លំហាត់ទូពៅ 7 កនុងរតីពកាណចំពោេះរជុងបីគឺ 𝑎; 𝑏; 𝑐 
លហំារ ់7.1 ∶ 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 + 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
វសិមភាពខាងពលើ⇔ 𝑎2 𝑏 + 𝑐 − 𝑎
𝑎
+ 𝑏2
𝑐 + 𝑎 − 𝑏
𝑏
+ 𝑐2
𝑎 + 𝑏 − 𝑐
𝑐
≥ 4 3𝑆 
អនុវតតន៍វសិមភាពទូពៅ 7 ទញបានរតូវបនតគឺ 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑣 + 𝑎 − 𝑏 
𝑎𝑏
≥ 3 
ឫក៏សមូលពៅនិង 𝑎 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 𝑏 − 𝑐 𝑏 − 𝑎 + 𝑐 𝑐 − 𝑎 𝑐 − 𝑏 ≥ 0 
វសិមភាពពនេះវាជាវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 លំោប់ 3 
លហំារ ់7.2 
 𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 ≥ 8 27
4
. 𝑆 𝑆 
សរមាយបញ្ញា ក់ 
ពីវសិមភាព 𝐻𝑎𝑑𝑤𝑖𝑔𝑒𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑠𝑙𝑒𝑟 ទញបាន 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥ 4 3𝑆 
អនុវរាន៍លហំារ់ទូសៅ 7 
 ជាមួយនិងវសិមភាពខាងពលើពនេះពយើងបាន 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 39 
 
𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 ≥ 4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎𝑆 ≥ 8 27
4
𝑆 𝑆 
លហំារ ់7.3 
3𝑎𝑏𝑐 ≥ 4 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2. 𝑆 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
អនុវតតន៍លំហាត់ទូពៅ 7 ពយើងមាន 𝑎2 𝑏𝑐
𝑎
+ 𝑏2
𝑐𝑎
𝑏
+ 𝑐2
𝑎𝑏
𝑐
≥ 4 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2𝑆 
ពីពនាេះពយើងទញបាន 3𝑎𝑏𝑐 ≥ 4 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2𝑆 
លហំារ ់7.4: 
 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑎2 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 𝑏2 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑐2 ≥ 8 3
4
𝑆 𝑆 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
អនុវតតន៍លំហាត់ទូពៅ 7 ពយើងមាន 
 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑎2 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 𝑏2 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑐2 ≥ 4 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎 − 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2𝑆 
ម៉ាាងពទៀតតាមវសិមភាព 𝐻𝑎𝑑𝑤𝑖𝑔𝑒𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑠𝑙𝑒𝑟 គឺពយើងមាន 
2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎 − 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 ≥ 4 3𝑆 
ជាមួយនិងវសិមភាពខាងពលើពយើងនិងបានវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់។ 
លហំារ់ទូសៅទ ី 8 
 ឧមានថា 𝑎, 𝑏, 𝑐 ជារបប្វងរជុងបីម្នរតីពកាណនិងមានប្ផទ 𝑆 
ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថាចំពោេះ 𝑥; 𝑦; 𝑧 > 0 ពយើងបាន ∶ 𝑥
𝑦 + 𝑧
. 𝑎2 +
𝑦
𝑧 + 𝑥
. 𝑏2 +
𝑧
𝑥 + 𝑦
. 𝑐2 ≥ 2 3𝑆 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
អនុវតតន៍លំហាត់ទទូពៅ 7 ពយើងមាន 
𝑥
𝑦 + 𝑧
. 𝑎2 +
𝑦
𝑧 + 𝑥
. 𝑏2 +
𝑧
𝑥 + 𝑦
. 𝑐2 ≥ 4 
𝑥
𝑦 + 𝑧
.
𝑦
𝑧 + 𝑥
+
𝑦
𝑧 + 𝑥
.
𝑧
𝑥 + 𝑦
+
𝑧
𝑥 + 𝑦
.
𝑥
𝑦 + 𝑧
𝑆 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 40 
 
ទញបានវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយ 𝑥𝑦
 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 
+
𝑦𝑧
 𝑧 + 𝑥 𝑥 + 𝑦 
+
𝑧𝑥
 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 
≥
3
4
 
វសិមភាពពនេះសមូលនិង 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑦2𝑧 + 𝑦𝑧2 + 𝑧2𝑥 + 𝑧𝑥2 ≥ 6𝑥𝑦𝑧 
វសិមភាពវាពិតតាមវសិមភាព AM-GM 
លហំារ់ទូសៅទ ី9 
ឧបមាថា 𝑎, 𝑏, 𝑐 ជារជុងបីម្នរតីពកាណមួយនិងមានប្ផទ 𝑆 ។ ចូរបងាា ញថា 
4 3𝑆 + 3 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 7 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
តាង 𝑎 = 𝑥 + 𝑦 ; 𝑏 = 𝑧 + 𝑥 ; 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 ចំពោេះ 𝑥; 𝑦; 𝑧 > 0 ពនាេះវសិមភាពប្ លរតូវកាល យជា 
ពនាេះពយើងនិងរតូវស្រសាយថា 4 3𝑆 ≥ 6 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 5 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
⇔ 4 3𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 6 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 − 5 𝑦 + 𝑧 2 
⇔ 3𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 8 
 ល់ពនេះពយើងតាង 𝑥 = 𝑝2 ; 𝑦 = 𝑞2 ; 𝑧 = 𝑟2 ចំពោេះ 𝑝; 𝑞; 𝑟 > 0 វសិមភាព 8 កាល យជា 
 3𝑝2𝑞2𝑟2 𝑝2 + 𝑞2 + 𝑟2 ≥ 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 𝑝 + 𝑞 − 𝑟 𝑟 + 𝑝 − 𝑞 𝑞 + 𝑟 − 𝑝 
⇔ 𝑝𝑞𝑟 3 𝑝2 + 𝑞2 + 𝑟2 ≥ 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 𝑝 + 𝑞 − 𝑟 𝑟 + 𝑝 − 𝑞 𝑞 + 𝑟 − 𝑝 
ពោយ 3 𝑝2 + 𝑞2 + 𝑟2 ≥ 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 ពនាេះពយើងរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា 
𝑝𝑞𝑟 ≥ 𝑝 + 𝑞 − 𝑟 𝑟 + 𝑝 − 𝑞 𝑞 + 𝑟 − 𝑝 
វសិមភាពពនេះពរកាយអំពីពយើងពនាល តនិងសរមួលវានិងកាល យជាវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 លំោប់ 3 ។ 
សំរល់ ពីបណាត លវសិមភាព 2 និង 7 ពយើងទទូលបានវសិមភាព 
4 3𝑆 + 3 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 1. 𝑎 − 𝑏 2 + 4 3𝑆 9 
ពយើងនិងស្រសាយលទធផល 9 គឺបណាត របពនធចំនួន 3 និង 1 របស់ 𝑎 − 𝑏 2 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 41 
 
គឺជាតម្មលលអបំផុត ូចពនេះពយើងនិងស្រសាយវាជាទូពៅ ូចខាងពរកាមពនេះ។ 
លហំារ់ទូសៅទ ី10 
ឧបមានថា 𝑎, 𝑏, 𝑐 ជាបណាត រជុងបីម្នរតីពកាណនិងមានប្ផទ 𝑆 ។ ពនាេះពយើងមាន 
4 3𝑆 + 𝛼. 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝛽. 𝑎 − 𝑏 2 + 4 3𝑆 
 គឺ 𝛼 ≥ 3 និង 𝛽 ≤ 1 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
តាង 𝑎 = 𝑦 + 𝑧; 𝑏 = 𝑧 + 𝑥 ; 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 ចំពោេះ 𝑥; 𝑦; 𝑧 > 0 ពពលពនាេះពយើងបាន 
𝑆 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 = 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
ពយើងតាងនិមិតតសញ្ញា សមាា ល់ 
 𝑇𝛼 = 4 3𝑆 + 𝛼. 𝑎 − 𝑏 
2 − 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ពយើងមាន 
𝑇𝛼 = 4 3𝑆 + 2𝛼 − 1 𝑎
2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝛼 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
= 4 3𝑆 + 2𝛼 − 1 𝑦 + 𝑧 2 − 2𝛼 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 
= 4 3𝑆 + 2 𝛼 − 1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2 𝛼 + 1 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
ពយើងតាងពទៀត 𝑎′ = 𝑦𝑧 ; 𝑏′ = 𝑧𝑥 ; 𝑐′ = 𝑥𝑦 ពយើងបាន 
1
2
𝑇𝛼 = 2 3𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝛼 − 1 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝛼 + 1 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
= 2 3 𝑎′𝑏′ + 𝑏′𝑐′ + 𝑐′𝑎′ + 𝛼 − 1 
𝑏′𝑐′
𝑎′
+
𝑐′𝑎′
𝑏′
+
𝑎′𝑏′
𝑐′
 − 𝛼 + 1 𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′ 
 ល់ពនេះពយើងតាងមតងពទៀត 𝑎 = 𝑏′ + 𝑐′ ; 𝑏 = 𝑐′ + 𝑎′ ; 𝑐 = 𝑎′ + 𝑏′ ទញបាន 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 
ក៏ជារជុងបីម្នរតីពកាណមួយប្ រ។ បនតពទៀតបំប្រលបំរលូពយើងបាន 
𝑇𝛼
′ =
1
2
𝑇𝛼 = 2 3 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 + 𝛼 − 1 𝑝 − 𝑎 
1
 𝑝 − 𝑎 2
− 𝛼 + 1 𝑝 
= 2 3 𝑎 . 𝑏 + 𝑏 . 𝑐 + 𝑐 . 𝑎 − 𝑝 2 + 𝛼 − 1 
𝑟𝑎 
2 + 𝑟𝑏 
2 + 𝑟𝑐 
2
𝑝 
− 𝛼 + 1 𝑝 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 42 
 
= 3 2 𝑎 . 𝑏 − 𝑎 2 + 𝛼 − 1 𝑝 tan2
𝐴
2
 
− 𝛼 + 1 𝑝 
= 12 𝑆 tan
𝐴
2
 
+ 𝛼 − 1 𝑝 tan2
𝐴
2
 
− 𝛼 + 1 𝑝 
= 2 3𝑝 . 𝑟 tan
𝐴
2
 
+ 𝛼 − 1 𝑝 tan2
𝐴
2
 
− 𝛼 + 1 𝑝 
ទញបាន 𝑇𝛼
′
𝑝 
= 2 3 tan
𝐴
2
 
tan
𝐵
2
 
tan
𝐶
2
 
 tan
𝐴
2
 
+ 𝛼 − 1 tan2
𝐴
2
 
− 𝛼 + 1 
តាង 𝑢 = tan 𝐴
2
 
 ; 𝑣 = tan
𝐵
2
 
 ; 𝑤 = tan
𝐶
2
 
 គឺពយើងបាន 𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢 = 1 ពោយ 𝑇𝛼 ≥ 0 ពនាេះ 
𝑇 𝛼
2
𝑝 
= 2 3𝑢𝑣𝑤 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 + 𝛼 − 1 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2 − 𝛼 + 1 ≥ 0 ∗ 
ពយើងឲ្យ 𝑢 → 0 និង 𝑣; 𝑤 → 1 គឺ 𝑇 𝛼
2
𝑝 
→ 2 𝛼 − 1 − 𝛼 + 1 = 𝛼 − 3 ពបើ 𝛼 < 3 
 គឺមាន 𝑢0 , 𝑣0 , 𝑤0និងពផទៀងផ្ទទ ត់ 𝑢0𝑣0 + 𝑣0𝑤0 + 𝑤0𝑢0 = 1 ជាក់ប្សតង 
𝑇 𝛼0
′
𝑝 0
> 0 
 វាផទុយនិង ∗ ូចពនេះ 𝛼 ≥ 3 ូចរន 
𝑇 𝛽
2
𝑝 
= 2 3𝑢𝑣𝑤𝑢 + 𝑣 + 𝑤 + 𝛽 − 1 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2 − 𝛽 + 1 ≥ 0 ∗∗ 
ពបើ 𝛽 > 1 គឺឲ្យ 𝑢 → +∞ និង 𝑣; 𝑤 → 0 ពយើងបាន 𝑇
 
𝛽0
′
𝑝 0
→ +∞ ទញបានមាន 𝑢1; 𝑣1; 𝑤1 
 ប្ លពផទៀងផ្ទទ ត់ល័កខេ័ណឌ 𝑢1𝑣1 + 𝑣1𝑤1 + 𝑤1𝑢1 = 1 ជាក់ប្សតង 
𝑇 𝛽1
′
𝑝 1
> 0 
វាផទុយនិង ∗∗ ូចពនេះ 𝛽 ≤ 1 
សពងខបមកពយើងបាន 4 3𝑆 + 3 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 1. 𝑎 − 𝑏 2 + 4 3𝑆 
វាជាវសិមភាពលអបំផុតមួយ( ពីពរោេះវាមានលកខណេះសមុកសាម ញពរចើននិងលបិចពរចើន)។ 
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 43 
 
II. 2លហំារ ់ 𝑂𝑙𝑦𝑚𝑝𝑖𝑐 𝑀𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑟𝑎𝑛 1996 
 
លហំារ់្ុំរ ួ
ពគឲ្យ 𝑥; 𝑦; 𝑧 គឺជាបណាត ចំនួនមិនអវជិជមានប្ លមិនពធវើឲ្យមានពីរចំនួនណាកនុងបណាត 
ចំនួនពនាេះពសមើនិង 0 រពមរន ។ ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា 
 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
1
 𝑦 + 𝑧 2
+
1
 𝑧 + 𝑥 2
+
1
 𝑥 + 𝑦 2
 ≥
9
4
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ពនេះវាជាលំហាត់មួយ ៏លបីលាញពៅពលើសកលពលាក។ ចំពោេះការពៅព ម្ េះវសិមភាពពនេះ 
 ពគប្តងពៅថាវសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 វាគឺជាលំហាត់របស់អនេកនិពនធ 𝐽𝑖 𝐶𝑕𝑒𝑛 វាជាសំពណើ រវញិា 
សាព ើមបីោក់ឲ្យប ង 𝐶𝑟𝑢𝑥 របស់របពទស 𝐶𝑎𝑛𝑎𝑑𝑎 ឆ្ន ំ 1992 ោ៉ាងរបាក ។ប្តលំហាត់ពនេះ 
 បានពលើកយកមករប ងមតងពទៀតកនុការរប ង 𝑂𝑙𝑦𝑚𝑝𝑖𝑐 𝑚𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐼𝑟𝑎𝑛 ឆ្ន ំ1996 
 លំហាត់ពនេះពយើងព ើញថាវាជារបពភទលំហាត់វសិមភាព ៏ពិបាកបំផុតប្ លបានពលើកយក 
មកោក់ព ើមបីរប ង ជាលកខណេះ 𝑀𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑂𝑙𝑦𝑚𝑝𝑖𝑐 ។ ពរោេះវាជាលំហាត់លអនិង 
មានលំហាត់ជាពរចើនប្ លពលើកយករបូមនតពនេះមកពរបើោ៉ាងពរចើនសរមាប់ការស្រសាយបញ្ញជ ក់ 
លំហាត់ប្ លពិបាកៗជាពរចើនពទៀតព ើយអនកគណិតវទិាសម័យទំពនើបពនេះប្តពៅថា 
 វសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 ។ ពីពពលប្ លបពងេើតវាមកវធីិពោេះស្រសាយ ៏អសាច រយបំផុតពនាេះគឺពរបើ 
ចាប់ពនាល តបនតពទៀតរចួព ើយជាមួយនិងបណាត វសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 និងវសិមភាព AM-GM 
ព ើមបីទញបានលទធផលវា។ ពៅពពលពនេះេ្ុំសំុឲ្យបងបអូនពធវើការចាប់អារមមណ៍ជាមួយ 
និងការឧពទស៍មានបប្នថមមួយចំនួនឲ្យវាប្ លពធវើឲ្យមានការចាប់អារមមណ៍បំផុត។ 
 សូមបងបអូនជូយពិនិតយជាមួយនិងពយើងេ្ុំ!!! 
រពបៀបទី 1 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 44 
 
តាមការសំរលួនិងតំពរៀបវាពៅពយើងបាន 
 4𝑥5𝑦 − 𝑥4𝑦2 − 3𝑥3𝑦3 + 𝑥4𝑦𝑧 − 2𝑥3𝑦2𝑧 + 𝑥2𝑦2𝑧2 ≥ 0
𝑠𝑦𝑚
 
ពយើងព ើញថាផលបូកធលុេះចំពោេះអញ្ញា ត់ 𝑥; 𝑦; 𝑧 ចំណុចពិពសសកនុងផលបូកខាងពលើ។ពមគុណ 
របស់ 𝑥3𝑦3 កនុងកពនាមចុងពរកាយពពលពនាល តខាងពលើគឺ− 6 និងពមគុណរបស់ 𝑥2𝑦2𝑧2 គឺ 6 
ពយើងមានតាមវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 ពយើងមាន 
 𝑥4𝑦𝑧 − 2𝑥3𝑦2𝑧 + 𝑥2𝑦2𝑧2 ≥ 0
𝑠𝑦𝑚
 1 
និងពយើងមានមួយពទៀតតាមវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 ពយើងមាន 
 𝑥5𝑦 − 𝑥4𝑦2 + 3 𝑥5𝑦 − 𝑥3𝑦3 ≥ 0 
𝑠𝑦𝑚
 2 
តាមវសិមភាព 1 និង 2 វសិមភាពរបស់ពយើងគឺពិត។ 
រពបៀបទី2 
មិនបាត់លកខណេះទូពៅ ពយើងឧបមាថា 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 ពយើងនិងតាង ូចខាងពរកាមពនេះ 
𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 =
1
 𝑦 + 𝑧 2
+
1
 𝑧 + 𝑥 2
+
1
 𝑥 + 𝑦 2
−
9
4 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
 
ពយើងស្រសាយថា 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≥ 0 សំរល់ថា 𝑃 𝑡; 𝑡; 𝑧 = 𝑧 𝑧 − 𝑡 
2
2𝑡2 2𝑧 + 𝑡 𝑧 + 𝑡 2
≥ 0 ∀𝑡 ≥ 𝑧 ≥ 0 
 ល់ទីពនេះការសពងេតរបស់ពយើងគឺកំណត់ឲ្យពយើងរក 𝑡 ≥ 𝑧 សមស្រសបមួយប្ ល 
ព ើមបីឲ្យវសិមភាពពផទៀងផ្ទទ ត់គឺ 𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≥ 𝑃 𝑡; 𝑡; 𝑧 គឺលំហាត់និងរតូវបានពោេះស្រសាយរចួ។ 
មានការពរជើសពរ ើសពរចើនចំពោេះចំនួន 𝑡 ូចពនេះ។ ការកំណត់របស់ពយើងគឺយក 𝑡 = 𝑥 + 𝑦
2
 
គឺពយើងនិងស្រសាយបញ្ញជ ក់ថាវាពផទៀងផ្ទទ ត់វសិមភាពខាងពលើ គឺថា 
1
 𝑥 + 𝑧 2
+
1
 𝑥 + 𝑧 2
−
2
 𝑡 + 𝑧 2
≥
9
4 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
−
9
4 𝑡2 + 2𝑧𝑡 
 
ចំពោេះការសំរល់ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 45 
 
1
 𝑥 + 𝑧 2
+
1
 𝑥 + 𝑧 2
−
2
 𝑡 + 𝑧 2
= 
1
𝑥 + 𝑧
−
1
𝑦 + 𝑧
 
2
+
2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
−
2
 𝑡 + 𝑧 2
 
=
 𝑥 − 𝑦 2
 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2
+
 𝑥 − 𝑦 2
2 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 𝑡 + 𝑧 2
 
 និង 9
4 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
−
9
4 𝑡2 + 2𝑧𝑡 
=
9 𝑥 − 𝑦 2
16 𝑡2 + 2𝑡𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
 
ពយើងក៏អាចសរពសរមតងពទៀតបាន ូចខាងពរកាមពនេះ 
 𝑥 − 𝑦 2
 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2
+
 𝑥 − 𝑦 2
2 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 𝑡 + 𝑧 2
≥
9 𝑥 − 𝑦 2
16 𝑡2 + 2𝑡𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
 
⇔
1
 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2
+
1
2 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 𝑡 + 𝑧 2
≥
9
16 𝑡2 + 2𝑡𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
 
មា៉ាងពទៀត 4 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 3 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 3𝑥2 ≥ 0 ពនាេះ 
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 ≤
4
3
 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
ពីពនាេះពយើងទញបាន 
1
 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2
≥
9
16 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 2
≥
9
16 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝑡2 + 2𝑧𝑡 
 
 ូចពនេះវសិមភាពរតូវប្តពិតនិងល័កខេ័ណឌ ពនេះក៏មានន័យគឺលំហាត់របស់ពយើងប្ លបានឲ្យរតូវ 
បានស្រសាយបញ្ញជ ក់រចួ។ ព ើមបីឲ្យសមភាពពកើតមានគឺររន់ប្តពពលប្ ល 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 ។ 
រពបៀបទី 𝟑 
ពយើងក៏និងស្រសាយ ូចពៅនិងរពបៀបទី 1 ប្ រគឺថាពយើងនិងរកមួយចំនួន 𝑡 ≥ 𝑧 សមស្រសបឲ្យ 
វសិមភាពរបស់ពយើងវាពិត គឺ 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≥ 𝑓 𝑡; 𝑡; 𝑧 
ពលើកពនេះពយើងនិងពរជើសពរ ើស 𝑡 = 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 − 𝑧 ពពលពនាេះ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 𝑡2 + 2𝑡𝑧 
ពនាេះវសិមភាព 
 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≥ 𝑓 𝑡; 𝑡; 𝑧 ⇔
1
 𝑥 + 𝑧 2
+
1
 𝑦 + 𝑧 2
−
2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
≥
1
4𝑡2
−
1
 𝑥 + 𝑦 2
 
ពោយ 𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑡2 = 𝑥 + 𝑦 − 2𝑡 𝑥 + 𝑦 + 2𝑡 = 𝑥 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑧 2 𝑥 + 𝑦 + 2𝑡 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 46 
 
ពនាេះពយើងក៏អាចសរពសរបាន 𝑥 − 𝑦 
2
 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2
≥
 𝑥 − 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 + 2𝑡 
4𝑡2 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑧 
2 ឫក៍ 
4𝑡2 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑧 
2
≥ 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2 𝑥 + 𝑦 + 2𝑡 
ពយើងមាន 2𝑡 = 2 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 − 2𝑧 ≥ 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 ពនាេះ 4𝑡2 ≥ 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
មួយពទៀត 
 𝑥 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑧 
2
= 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 2 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 2𝑡 + 4𝑧 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑡 
និង 𝑥 + 𝑦 2 ≥ 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 ជាមួយនិងល័កខេ័ណឌ ពនេះមតងពទៀតពយើងទញបាន 
វសិមភាពចុងពរកាយរបស់ពយើងពិត ូចពនេះការស្រសាយរបស់ពយើងរតូវបានបញ្ច ប់។ 
រពបៀបទី4 
ពោយវាមានល័កខេ័ណឌ ឆលុេះរន ពនាេះពយើងក៏អាចឧបមាថា 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 > 0 
ឥ ូវពនេះពយើងសំរល់ថា 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
 𝑦 + 𝑧 2
=
𝑥
𝑦 + 𝑧
+
𝑦𝑧
 𝑦 + 𝑧 2
 
 ូចពនេះវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយពយើងអាចសរពសរបាន ូចខាងពរកាមពនេះ 
𝑥
𝑦 + 𝑧
+
𝑦
𝑧 + 𝑥
+
𝑧
𝑥 + 𝑦
+
𝑥𝑦
 𝑥 + 𝑧 2
+
𝑦𝑧
 𝑦 + 𝑧 2
+
𝑧𝑥
 𝑧 + 𝑥 2
≥
9
4
 
ពោយ 𝑥
𝑦 + 𝑧
+
𝑦
𝑧 + 𝑥
= 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
1
𝑥 + 𝑧
+
1
𝑦 + 𝑧
 − 1 ពនាេះវសិមភាពសមូលចំពោេះនិង 
 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
1
𝑥 + 𝑧
+
1
𝑦 + 𝑧
 +
𝑧
𝑥 + 𝑦
+
𝑥𝑦
 𝑥 + 𝑧 2
+
𝑦𝑧
 𝑦 + 𝑧 2
+
𝑧𝑥
 𝑧 + 𝑥 2
≥
17
4
 
 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
1
𝑥 + 𝑧
+
1
𝑦 + 𝑧
−
4
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
 +
4 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
+
𝑧
𝑥 + 𝑦
+ 
𝑥𝑦
 𝑥 + 𝑧 2
+
𝑦𝑧
 𝑦 + 𝑧 2
+
𝑧𝑥
 𝑧 + 𝑥 2
≥
17
4
 
 ល់ពនេះពយើងក៏អាចងាយស្រសួចសរពសរមតងពទៀតមានរាង 𝑀 𝑥 − 𝑦 2 + 𝑁𝑧 ≥ 0 កនុងពនាេះ 
𝑀 =
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 
−
1
4 𝑥 + 𝑦 2
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 47 
 
 ≥
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 
−
1
4 𝑥 + 𝑦 2
=
3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧
4 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 
≥ 0 
និង 𝑁 = 1
𝑥 + 𝑦
+
𝑥
 𝑥 + 𝑧 2
+
𝑦
 𝑦 + 𝑧 2
−
4
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
 
= 
1
𝑥 + 𝑧
+
1
𝑦 + 𝑧
−
4
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
 +
1
𝑥 + 𝑦
−
𝑧
 𝑥 + 𝑧 2
−
𝑧
 𝑦 + 𝑧 2
 
=
 𝑥 − 𝑦 2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 
+
1
𝑥 + 𝑦
−
𝑧
 𝑥 + 𝑧 2
−
𝑧
 𝑦 + 𝑧 2
 
ពោយ 𝑧
 𝑥 + 𝑧 2
−
𝑦
 𝑥 + 𝑦 2
= −
 𝑦 − 𝑧 𝑥2 − 𝑦𝑧 
 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑧 2
≤ 0 ពនាេះពយើងទញបាន 
𝑁 ≥
 𝑥 − 𝑦 2
 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 2𝑦 
+
1
𝑥 + 𝑦
−
𝑦
 𝑥 + 𝑦 2
−
𝑧
4𝑦𝑧
 
 =
 𝑥 − 𝑦 2
2𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 3𝑦 
−
 𝑥 − 𝑦 2
4𝑦 𝑥 + 𝑦 2
=
 𝑥 − 𝑦 3
4𝑦 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 3𝑦 
≥ 0 
 ូពចនេះទំងពីរតម្មល M; N កនុងវសិមភាព 
𝑀 𝑥 − 𝑦 2 + 𝑁𝑧 ≥ 0 ល័កខេ័ណឌ មិនអវជិជមានពនាេះវសិមភាព 
របស់ពយើងពិត។ ូចពនេះវសិមភាពរបស់ពយើងរតូវបានស្រសាយរចួ។ 
រពបៀបទី5 
មិនបាត់លកខណេះទូពៅពយើងឧបមាថា 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 ពពលពនាេះពយើងនិងស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា 
1
 𝑦 + 𝑧 2
+
1
 𝑥 + 𝑧 2
+
1
 𝑥 + 𝑦 2
≥
2
 𝑥 + 𝑧 𝑦+ 𝑧 
+
1
4𝑥𝑦
 (1) 
 ូចពនេះពយើងបាន⇔ 1
 𝑦 + 𝑧 2
+
1
 𝑥 + 𝑧 2
±
2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
≥
1
4𝑥𝑦
−
1
 𝑥 + 𝑦 2
 
⇔
 𝑥 − 𝑦 2
 𝑥 + 𝑧 2 𝑦 + 𝑧 2
≥
 𝑥 − 𝑦 2
4𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 2
 
ពយើងមាន 𝑥 − 𝑦 2 ≥ 0; 𝑥 + 𝑦 2 ≥ 𝑥 + 𝑧 2 និង 4𝑥𝑦 ≥ 4𝑦2 ≥ 𝑦 + 𝑧 2 
 ពនាេះវសិមភាពពនេះពិតនិង 1 បានស្រសាយបញ្ញជ ក់។ 
ឥ ូវពនេះអនុវតតន៍ 1 ពយើងនិងស្រសាយបញ្ញជ ក់បានថា 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 48 
 
 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
+
1
4𝑥𝑦
 ≥
9
4
 
ពយើងមានគំនិតយ 
 
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
4𝑥𝑦
=
1
4
+
𝑧 𝑥 + 𝑦 
4𝑥𝑦
 និង 2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
= 2 −
2𝑧2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
 
ពនាេះវសិមភាពពនេះក៏អាចសរពសរបាន ូចខាងពរកាមពនេះ 
𝑧 𝑥 + 𝑦 
4𝑥𝑦
≥
2𝑧2
 𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 
 ឫក៏ 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 ≥ 8𝑥𝑦𝑧 
វសិមភាពចុងពរកាយពនេះវាពិតតាមរបូមនត AM-GM ូចចាប់ស្រសាយបញ្ញជ ក់របស់ពយើងគឺពិត។ 
រពបៀបទី6 
ពយើងគុណវសិមភាពនិង 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 ពនាេះពយើងបានវសិមភាពថម ី
 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 
𝑏 + 𝑐
+
 𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑎 
𝑐 + 𝑎
+
 𝑐 + 𝑎 𝑐 + 𝑏 
𝑎 + 𝑏
≥
9 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 
ពោយពយើងមាន 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 
𝑏 + 𝑐
=
𝑎2 + 𝑏𝑐
𝑏 + 𝑐
+ 𝑎 និង 
 
9 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
=
9
4
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 −
9𝑎𝑏𝑐
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 
ពនាេះវសិមភាពពយើងសមូលនិង 
𝑎2 + 𝑏𝑐
𝑏 + 𝑐
+
𝑏2 + 𝑐𝑎
𝑐 + 𝑎
+
𝑐2 + 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
+
9𝑎𝑏𝑐
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
≥
5
4
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
ឫក៏ពយើងអាចសរពសរបានមា៉ាងពទៀតគឺ 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
𝑎2 + 𝑏𝑐
𝑏 + 𝑐
+
𝑏2 + 𝑐𝑎
𝑐 + 𝑎
+
𝑐2 + 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 +
9𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
≥
5
4
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 
ពោយ 𝑎
2 + 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
𝑏 + 𝑐
= 𝑎2 + 𝑏𝑐 +
𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐
𝑏 + 𝑐
 ; 
𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐
𝑏 + 𝑐
≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 និង 
9𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
≥
27𝑎𝑏𝑐
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 49 
 
ពនាេះពយើងរតូវស្រសាយថា 
 𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +
27𝑎𝑏𝑐
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
≥
5
4
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 
សំរលួមតងពទៀតពយើងពៅរតឹមប្ត 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +
9𝑎𝑏𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
≥ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ពិតតាម 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 
សមភាពពកើតមានពពលប្ ល 𝑎 = 𝑏 = 𝑐; 𝑎 = 𝑏; 𝑐 = 0 និងបណាត ចំលាស់។ 
រពបៀបទី7 
 ំបូងពនេះពយើងនិងស្រសាយបញ្ញជ ក់គនលឹេះមិនសិន 
គនលឹេះ 
ពយើងឩបមថា 𝑎; 𝑏; 𝑐 គឺជាបណាត ចំនួនពិតមិនអវជិជមានណាក៏ពោយប្ លពធវើឲ្យមានពីរចំនួន 
ណាកនុងពសមើនិងសូនយរពមរន ពពលពនាេះពយើងមាន 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
+
1
𝑐 + 𝑎
 +
6 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
≥
13
2
 
ស្រសាយបញ្ញជ ក់គនលឹេះ 
ពយើងពរបើសមភាពប្ លពយើងបានសាា ល់ 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
+
1
𝑐 + 𝑎
 −
9
2
= 
 𝑏 − 𝑐 2
2 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 
 
និងមួយពទៀតគឺ ∶ 6 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
− 2 = −
 𝑏 − 𝑐 2
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
 
ពយើងអាចសរពសរបានវសិមភាពចុងពរកាយ 
𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 0 
កនុងពនាេះ 𝑆𝑎 =
1
 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 
−
2
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
 និង ូចរន 𝑆𝑏 ; 𝑆𝑐 ូពចនេះមិនបាតលកខណេះទូពៅ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 50 
 
ពយើងឩបមាថា 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 ពពលពនាេះពយើងព ើញថា 𝑆𝑐 ≥ 𝑆𝑏 ≥ 𝑆𝑎 ូចពនេះពយើងបាន 
𝑆𝑎 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑏 𝑐 − 𝑎 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑏 − 𝑐 
2 + 𝑆𝑐 𝑎 − 𝑏 
2 ≥ 0 
 ូចពនេះគនលឹេះរបស់រតូវបានស្រសាយរចួ។ ពយើងព ើញថាសមភាពពកើតមានពពលប្ ល 
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 ឫក៏ 𝑎 = 𝑏; 𝑐 = 0 និងបណាត ចំលាស់វា។ 
ពយើងរត បមកលំហាត់របស់ពយើងគឺមាន 
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 𝑏 + 𝑐 2
=
𝑎
𝑏 + 𝑐
+
𝑏𝑐
 𝑏 + 𝑐 2
 
ពនាេះវសិមភាពរបស់ពយើងកាល យជា 
 
𝑎
𝑏 + 𝑐
+ 
𝑏𝑐
 𝑏 + 𝑐 2
≥
9
4
 
ចំពោេះវសិមភាពពនេះពយើងអាចឲ្យ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 ពពលពនាេះពយើងបាន 
 
1 − 𝑏 + 𝑐 
𝑏 + 𝑐
+ 
𝑏𝑐
 1 − 𝑎 2
≥
9
4
⇔ 
1
𝑏 + 𝑐
+ 
𝑏𝑐
 1 − 𝑎 2
≥
21
4
 
ចំពោេះរគប់ 𝑥 ∈ 0; 1 ពយើងមាន 1
 1 − 𝑥 2
− 9𝑥2 +
3
4
𝑥 + 1 =
𝑥 5 − 4𝑥 1 − 3𝑥 2
4 1 − 𝑥 2
≥ 0 
ពពលពនាេះពយើងរតូវស្រសាយថា 
 
1
𝑏 + 𝑐
+ 𝑏𝑐 9𝑎2 +
3
4
𝑎 + 1 ≥
21
4
⇔ 
1
𝑏 + 𝑐
+ 𝑏𝑐 +
45
4
𝑎𝑏𝑐 ≥
21
4
 
មា៉ាងពទៀតតាមគនលឹេះខាងពលើគឺ 1
𝑏 + 𝑐
≥
13
2
− 6 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ពនាេះពយើងទញបាន 
13
2
− 5 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 +
45
4
𝑎𝑏𝑐 ≥
21
4
⇔ 1 − 4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 9𝑎𝑏𝑐 ≥ 0 
វាពិតតាមវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 លំោប់ 3 ចំពោេះ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 
រពបៀបទី8 
ពយើងឩបមាថា 𝑎 = max 𝑎; 𝑏; 𝑐 ពពលពនាេះតាមវសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 ពយើងមាន 
 
1
 𝑏 + 𝑐 2
≥
 3𝑎 + 6𝑏 + 6𝑐 2
 3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑏 + 𝑐 2 + 𝑏 + 4𝑐 2 𝑎 + 𝑏 2 + 4𝑏 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑐 2
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 51 
 
 ូចពនេះវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបនតពទៀតពនាេះគឺ 
4 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑏 + 𝑐 2 + 𝑏 + 4𝑐 2 𝑎 + 𝑏 2 + 4𝑏 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑐 2
≥ 1 
ឥ ូវពនេះពយើងកំណត់ 𝑏 + 𝑐 = 𝑘 និងតាង 𝑥 = 𝑏𝑐 ពពលពនាេះវសិមភាពខាងពលើរបស់ពយើង 
អាចសរពសរបានរាង: 𝑓 𝑎; 𝑘; 𝑥 ≥ 0 កនុងពនាេះ 𝑓 𝑎; 𝑘; 𝑥 គឺអនុគមន៍មួយ ឺពរកទី 2 ម្ន 𝑥 
ចំពោេះពមគុណេពស់បំផុតរបស់ថា − 18 < 0 ូចពនេះ 𝑓 𝑎; 𝑘; 𝑥 គឺជាអនុគមន៍ផតរបស់ 𝑥 ពលើ 
ℝ ប្តពីសមមតិកមមនិងការតាងរបស់ 𝑥 គឺ max 0; 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 + 𝑐 
2
4
 ពនាេះ 
𝑓 𝑎; 𝑘; 𝑥 ≥ min 𝑓 𝑎; 𝑘; max 0; 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 ; 𝑓 𝑎; 𝑘;
 𝑏 + 𝑐 2
4
 
 ូពចនេះពយើងរតូវស្រសាយថា 
min 𝑓 𝑎; 𝑘; max 0; 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 ; 𝑓 𝑎; 𝑘;
 𝑏 + 𝑐 2
4
 ≥ 0 
ពយើងព ើញថាការស្រសាយ 𝑓 𝑎; 𝑘; max 0; 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 ≥ 0 វាសមភាពចំពោេះការពិនិតយកនុង 
ពីរចំនួន 𝑏; 𝑐 មានមួយពសមើនិង 0 ឫក៏ មានមួយចំនួនពសមើនិង 𝑎 ។ ការស្រសាយមួយពទៀតគឺ 
𝑓 𝑎; 𝑘;
 𝑏 + 𝑐 2
4
 ≥ 0 សមូលនិងចំពោេះការពិនិតយ 𝑏 = 𝑐 ពនាេះព ើមបីស្រសាយបញ្ញជ ក់ខាងពលើ 
ពយើងរតូវពិនិតយ 3 ករណីគឺរគប់ររន់។ 
+ ពបើ 𝑎 ≥ 𝑏 > 0; 𝑐 = 0 គឺវសិមភាពកាល យជា 4 𝑎 + 2𝑏 
2𝑎𝑏
 3𝑎 + 𝑏 2𝑏2 + 𝑏2 𝑎 + 𝑏 2 + 16𝑎2𝑏2
≥ 1 
+ ពបើ 𝑎 = 𝑏 ≥ 𝑐 > 0 គឺវសិមភាពកាល យជា 
4 3𝑎 + 2𝑐 2 𝑎2 + 2𝑎𝑐 
 4𝑎 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑐 2 + 4𝑎2 𝑎 + 4𝑐 2 + 4𝑎 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑐 2
≥ 1 
វាសមូលនិងវសិមភាព 2𝑐 4𝑎 − 𝑐 𝑎 − 𝑐 2 ≥ 0 ពិត 
+ ពបើ 𝑎 ≥ 𝑏 = 𝑐 គឺវសិមភាពកាល យជា 
4 𝑎 + 4𝑏 2 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
4𝑏2 3𝑎 + 2𝑏2 + 50𝑏2 𝑎 + 𝑏 2
≥ 1 ⇔ 2𝑏 4𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0 ពិត 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 52 
 
 ូពចនេះវសិមភាពរបស់ពយើងពិត។ ការស្រសាយរបស់រចួ។ 
∎ តពៅពនេះជាបណាត លំហាត់ប្ លគូឲ្យចាប់អារមមណ៍ប្ លមានការស្រសាយ ូចពៅនិងវសិមភា
ពរបស់ Iran 96 ។ព ើយក៏ជាលំហាត់ប្ លអនុវតតន៍តាមវសិមភាព Iran 96 
∎ លហំារ់ឧទាហរណ៍ទ1ី ស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា ចំពោេះរគប់ចំនួនពិតវជិជមាន 𝑎; 𝑏; 𝑐 ពយើងបាន 
1
𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐2
+
1
𝑐2 + 𝑐𝑎 + 𝑎2
+
1
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
≥
9
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
វសិមភាព ៏លអពនេះជារបស់រកុមអនកនិពនធ Vasile Cirtoaje រតូវបានឧពទទសមានពៅកនុងពសៀវ 
ពៅ 𝑂𝑙𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑁𝑒𝑤 𝑀𝑒𝑡𝑕𝑜𝑑𝑠 រតូវបានសរពសរពោយពលាកនិងបណាត អនកនិពនធ 
ពផសងពទៀតប្ ររឯីការស្រសាយបញ្ញជ ក់និងរតូវបានពរណ៌នាកនុងពសៀវពៅគឺពរបើចាប់បំប្របំរលួសមូ
លព ើមបីទញបានលទធផល។ ព ើយបងបអូនរបប្ លជាបានជូបពរចើន ងព ើយពមើលពៅ។ 
ព ើយលំហាត់វាររន់ប្តជាការស្រសាយបនតពោយពរបើវសិមភាព Iran 96 ជាការពស្រសច។ 
 ូចពនេះពយើងអនុវតតន៍វសិមភាព AM-GM ពយើងមាន 
1
𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐2
=
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐2 
 
≥
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 2
=
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 𝑏 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
 
 ូចពនេះពយើងរតូវស្រសាយថា 4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 𝑏 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
≥
9
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
 
ឫក៏មានរាង ូចខាងពរកាម 
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
1
 𝑏 + 𝑐 2
+
1
 𝑐 + 𝑎 2
+
1
 𝑎 + 𝑏 2
 ≥
9
4
 
ពនេះជាលំហាត់ប្ លពយើងមានគឺវសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 ។ 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរតពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 53 
 
∎ លហំារ់ឧទាហរណ៍ទ2ី 
ពគឲ្យបណាត ចំនួនពិតមិនអវជិជមាន 𝑎; 𝑏; 𝑐 ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា 
2𝑎2 + 𝑏𝑐
𝑏2 + 𝑐2
+
2𝑏2 + 𝑐𝑎
𝑐2 + 𝑎2
+
2𝑐2 + 𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2
≥
9
2
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ពៅកនុងពរចើនពសៀវពៅពិពររេះ 
រពបៀបពោេះស្រសាយលំហាត់ខាងពលើពនេះពយើងនិងរតូវវភិាគតាមវធីិ SOS 
ជាពៅពៅកនុងបណាត កពនាម 𝑆𝑎 ; 𝑆𝑏 ; 𝑆𝑐 វាពិបាករចប្ងងរចងា៉ាង។ ូចពនេះពយើងនិងស្រសាយ 
តាមវធីិពផសងវញិ។ 
តាង 𝑎2 = 𝑥; 𝑏2 = 𝑦 ; 𝑐2 = 𝑧 ពពលពនាេះវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយកាល យជាវសិមភាព 
2 
𝑥
𝑦 + 𝑧
+ 
 𝑥𝑦
𝑥 + 𝑦
≥
9
2
 
មា៉ាងពទៀតពយើងមានគំនិត 𝑥𝑦
𝑥 + 𝑦
≥
2𝑥𝑦
 𝑥 + 𝑦 2
 ពពលពនាេះពយើងប្បរជារតូវស្រសាយថា 
2 
𝑥
𝑦 + 𝑧
+ 2 
𝑥𝑦
 𝑥 + 𝑦 2
≥
9
2
 
ឫក៏ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 1
 𝑥 + 𝑦 2
+
1
 𝑦 + 𝑧 2
+
1
 𝑧 + 𝑥 2
 ≥
9
4
 
ពលើកពនេះពយើងបានវសិមភាពប្ លរតូវស្រសាយបញ្ញជ ក់វាជាវសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 
ករណីពសមើពកើតមានពពលប្ ល 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 ឫក៏ 𝑎 = 𝑏; 𝑐 = 0 និងបណាត ចំលាស់។ 
 
∎ លហំារ់ឧទាហរណ៍ទ3ី 
ឧបមាថា 𝑎; 𝑏; 𝑐 ជាចំនួនពិតមិនអវជិជមានប្ លពផទៀងផ្ទទ ត់ល័កខេ័ណឌ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 1 
ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថា: 1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥
5
2
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 54 
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
រពបៀបទី1 
អនុវតតន៍វសិមភាព 𝐼𝑟𝑎n 96 ពយើងមាន 
 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
 
2
= 
1
 𝑏 + 𝑐 2
+ 2 
1
 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 
 
≥
9
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
+
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
 
=
9
4
+
4𝑎𝑏𝑐
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
 
មា៉ាងពទៀតពយើងមាន 
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
=
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
= 4 +
4𝑎𝑏𝑐
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
≥ 4 
ពនាេះជាក់ប្សតងពយើងបាន 1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥ 
9
4
+ 4 =
5
2
 
 ូចពនេះលំហាត់របស់គឺរតូវបានស្រសាយរចួ។ 
និងសមភាពពកើតមានពពលប្ ល 𝑎 = 𝑏 = 1; 𝑐 = 0 និងបណាត ចំលាស់។ 
រពបៀបទី2 
 ំបូងពយើងពិនិតយពមើលគនលឹេះខាងពរកាមពនេះ 
 ចំពោេះ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ≥ 0 ពយើងមាន 1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
ពនាេះលំហាត់ប្ លរតូវស្រសាយគឺ 1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥
5
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 ឫក៏ 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
 ≥
5 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 1 
ពពលពនាេះសមភាពពកើតមានពពលប្ ល 𝑎 = 𝑏 = 1; 𝑐 = 0 គឺពនាេះ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
= 4 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 55 
 
ពនាេះអនុវតតន៍វសិមភាព AM-GM ពយើងមាន 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+ 4 ≥
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 ឫក៏ 5 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
2
8 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
+
5
2
≥
5 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
ពនាេះពយើងព ើញថាព ើមបីស្រសាយបញ្ញជ ក់ 1 ពយើងររន់ប្តរតូវស្រសាយថា 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
 ≥
5 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
8 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
+
5
2
 
⇔
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥
5 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
8 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
+
3
4
 (2) 
− ពិនិតយ 𝑎
2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
≥ 2 អនុវតតន៍គនលឹេះខាងពលើវាពិត 
− ពិនិតយ 𝑎
2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
≤ 2 ពយើងអនុវតតន៍វសិមភាព 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 ពយើងមាន 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 
=
5 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
8 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
+
3
4
+
1
8
 2 −
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
≥
5 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
8 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
+
3
4
 
សំរល់ 
 វសិមភាព 2 មានពរចើនវធីិសាស្តសតពោេះស្រសាយ ូចជាវធីិ 𝑆𝑂𝑆 ឫក៏ពរបើវសិមបតតបនាទ ប់ 
2 គនលឹេះ ∶ ចំពោេះបណាត ចំនួនពិតមិនអវជិជមាន 𝑎; 𝑏; 𝑐 គឺពយើងបាន 
 𝐼 : 
𝑎
𝑏 + 𝑐
+
𝑏
𝑐 + 𝑎
+
𝑐
𝑎 + 𝑏
≥
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+
4𝑎𝑏𝑐
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
 
 𝐼𝐼 : 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+
8𝑎𝑏𝑐
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
≥ 2 
∎ លហំារ់ឧទាហរណ៍ទ4ី 
 ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថាចំពោេះរគប់ចំនួនពិតវជិជមាន 𝑎; 𝑏; 𝑐 ពយើងបាន 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 56 
 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
𝑏 + 𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎
≥
9
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
តាមវសិមភាព AM-GM ពយើងមាន 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥ 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
 ូពចនេះពរកាយពីអនុវតតន៍វសិមភាព AM-GM ពយើងនិងរតូវស្រសាយថា 
 
1
𝑎 + 𝑏
+
1
 𝑏 + 𝑐 
+
1
𝑐 + 𝑎
 
2
≥
27 3
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
ឫក៏ 1
 𝑏 + 𝑐 2
+
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
≥
27 3
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
ពរបើវសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 
 
1
 𝑏 + 𝑐 2
≥
9
4 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 
≥
9 3
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
ពនាេះពយើងរតូវស្រសាយថា 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 
≥
18 3
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 ឫក៏ 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥
9 3
8
 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ∗ 
ពរបើលកខណេះងាយពយើងឲ្យ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 និងតាង 𝑞 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 0 ≤ 𝑞 ≤ 3 
និង 𝑟 = 𝑎𝑏𝑐 ពពលពនាេះ ∗ កាល យជា 𝑓 𝑟 = 𝑞 + 3
8
 𝑟 − 3𝑞 ≥ 0 
ពយើងព ើញថាចំពោេះ 𝑞 ≤ 8
3 3
 វសិមភាពពនេះជាក់ប្សតងវាពិត 
ពិនិតយពមើលករណី 3 ≤ 𝑞 ≤ 8
3 3
 ពពលពនាេះពយើងពរបើវសិមភាព 𝑆𝑐𝑕𝑢𝑟 លំោប់ 3 
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 3𝑎𝑏𝑐 ≥ 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎 ពយើងទទូលបាន 𝑟 ≥ 4𝑞 − 9
3
 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 57 
 
ពីពនាេះពយើងទញបាន 𝑓 𝑟 = 𝑓 4𝑞 − 9
3
 =
5 2
24
 3 − 𝑞 𝑞 −
3 3
5
 ≥ 0 
 ូចពនេះលំហាត់រតូវបានស្រសាយរចួ។ 
សំរល់ 
ឆលងកាត់លំហាត់ពនេះបងបអូនមានព ើញប្ផនកណាមួយអនុវតតន៍វសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 ពទ?កនុងការ 
ពោេះស្រសាយលំហាត់បីអញ្ញា ត់ឆលុេះ។កនុងប្ផនកបនតពទៀតពយើងេ្ុំនិងឧពទសនាមបងបអូនឲ្យបាន 
ព ើញបណាត លទធផល ៏អចាា រយមួយប្ លទញពចញពីវសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 ។ 
គំនិតយគឺ វសិមភាព 𝐼𝑟𝑎𝑛 96 រតូវបានសរពសរមានរាង ូចតពៅពនេះពរកាយពពលបំប្លងគឺ 
𝑎
𝑏 + 𝑐
+
𝑏
𝑐 + 𝑎
+
𝑐
𝑎 + 𝑏
+
𝑎𝑏
 𝑎 + 𝑏 2
+
𝑏𝑐
 𝑏 + 𝑐 2
+
𝑐𝑎
 𝑐 + 𝑎 2
≥
9
4
 
មួយលកខណេះប្ លសំខាន់ពពលប្ លពយើងបតូរតម្មល 
𝑎
𝑏 + 𝑐
+
𝑏
𝑐 + 𝑎
+
𝑐
𝑎 + 𝑏
 ពោយពសមើនិង 
តម្មលម្ន 𝑎
𝑏 + 𝑐
+ 
𝑏
𝑐 + 𝑎
+ 
𝑐
𝑎 + 𝑏
 គឺវសិមភាពរបស់ពៅប្តពិត ប្ ល។ 
 
∎លហំារ់ឧទាហរណ៍ 5 
 𝑇𝑟𝑎𝑛 𝑄𝑢𝑜𝑐 𝐴𝑛𝑕 ចូរស្រសាយបញ្ញជ ក់ថាចំពោេះរគប់ 𝑎; 𝑏; 𝑐 មិនអវជិជមានគឺ 
 
𝑎
𝑏 + 𝑐
+ 
𝑏
𝑐 + 𝑎
+ 
𝑐
𝑎 + 𝑏
+
𝑎𝑏
 𝑎 + 𝑏 2
+
𝑏𝑐
 𝑏 + 𝑐 2
+
𝑐𝑎
 𝑐 + 𝑎 2
≥
9
4
 
សរមាយបញ្ញជ ក់ 
ពយើងនិងស្រសាយបញ្ញជ ក់លំហាត់ពនេះ ូចខាងពរកាម គឺអនុវតតន៍វសិមភាព 𝐻𝑜𝑙𝑑𝑒𝑟 ពយើងមាន 
 
𝑎
𝑏 + 𝑐
 
2
 𝑎2 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 
សាលាពុទធិកមធយមសិកាពោធិ៍សាត់ Old and New Methods-Old and New Problems 
 
ពរៀបពរៀងនិងចងរកងពោយ : អាចារយ សូរត ពសឿម សាលាបាលីពេតតពោធិ៍សាត់ 
ទំព័រទី: 58 
 
⇔ 
𝑎
𝑏 + 𝑐
≥ 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3
 𝑎2 𝑏 + 𝑐 
≥ 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3
 𝑎2 𝑏 + 𝑐 + 3𝑎𝑏𝑐
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
 
មា៉ាងពទៀតពយើងអនុវតតន៍បនតពទៀតនូវវសិមភាប AM-GM និង Cauchy Schwarz ពយើងមាន 
 
𝑎𝑏
 𝑎 + 𝑏 2
≥ 
𝑎𝑏
2 𝑎2 + 𝑏2 
= 
 𝑎 + 𝑏 2
4 𝑎2 + 𝑏2 
−
3
4
≥
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
−
3
4
 
ពនាេះព ើមបីស្រសាយវសិមភាពប្ លបានឲ្យពយើងររន់ប្តរតូវស្រសាយថា 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
≥ 3 
មា៉ាងពទៀតតាមវសិមភាពរបស់ AM-GM ពយើងមាន 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
 
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
+
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
 
≥ 3 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 4
8 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
3
≥ 3 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 4
2 𝑎𝑏 + 𝑎2
3
= 3 
 ូចពនេះវសិមភាពរបស់ពយើងរតូវស្រសាយ។ 
សមភាពពកើតមានពពលប្ ល 𝑎 = 𝑏; 𝑐 = 0 និងចំលាស់។ 
សំរល់ 
មួយពរៀបតាមតាមលកខណេះធមមជាតិ។លំហាត់គឺចង់ឲ្យពយើងរកចំនួនពិត 𝑘 ប្ លពធវើឲ្យ 
វសិមភាពពនេះពិតគឺ ∶ 𝑎
𝑏 + 𝑐
𝑘
+ 
𝑏
𝑐 + 𝑎
𝑘
+