Introdução a probabilidade

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Bioestatística 
Introdução a probabilidade 
Aula 8 
Probabilidade 
ȃ a medida da incerteza acerca de um 
evento 
»É um número que varia entre 0 e 1 
»Quanto maior a probabilidade de um e 
deum evento, menor é a incerteza 
acerca dele 
Experimento determinístico 
ȃ aquele que quando realizado sob 
determinadas condições é possível 
prever o resultado particular que irá 
acontecer 
»Certeza de que o evento vai 
acontecer 
»Exemplo: Água aquecida a 1000C, sob 
pressão normal, entra em ebulição. Ao 
se soltar uma maçã do 3º andar do 
prédio ela caíra 
Experimento probabilístico 
(aleatório) 
ȃ aquele que quando realizado sob 
condições idênticas, não é possível 
prever, a priori, o resultado particular 
que irá acontecer 
»É possível prever o conjunto dos 
possíveis resultados 
Exemplo: Resultado de um jogo de 
futebol. Face obtida ao lançar uma 
moeda 
Espaço amostral 
»Conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório 
»Notação Ω (ômega) 
»Experimento 1: Exame de sangue (tipo 
sanguíneo) 
Ω = {A, B, AB, O} 
Obs: entre “{chaves}” são exatamente 
os resultados citados 
»Experimento 2: a altura de um aluno 
sorteado nesta sala (em metros) 
Ω = [1,40; 2,00] 
Obs: entre “[colchetes]” considera os 
intervalos presentes dentro dos 
intervalos 
Eventos 
Bioestatística 
 
 
 
»São subconjuntos do espaço amostral 
(Ω), podendo ser um resultado ou um 
conjunto de resultados do experimento 
»São denotados por letras maiúsculas 
»Experimento: resultado de um jogo de 
futebol (time A vs time B) 
Evento: A = {time A ganhar} 
»Experimento: medir a altura de um 
aluno sorteado nesta sala (em metros) 
Evento: C = {aluno ter mais de 1,70 m} 
Evento simples 
»Contém apenas um elemento do 
espaço amostral (Ω) 
»Exemplo: No lançamento de uma 
moeda. Evento A: sair cara 
No lançamento de um dado. Evento B: 
sair face 1 
Evento certo 
»Contém todos os elementos do 
espaço amostral (Ω), é um evento que 
sempre acontece 
»Exemplo: Medir a altura de um aluno 
desta sala. Evento D: ter mais de 1 metro. 
Lançamento de uma moeda. Evento E: 
sair cara ou coroa 
Evento impossível 
»Não contém nenhum elemento do 
espaço amostral (Ω), é um evento que 
nunca ocorre Exemplo: Medir a altura 
de um aluno desta sala. Evento F: ter 
mais de 2,5 metros. 
Exame de tipo sanguíneo. Evento G: 
Sangue do tipo “D” 
®Operações com eventos 
Evento união 
ȃ um evento formado por elementos 
que estão no evento A, no evento B ou 
em ambos, ou seja, consiste em todos 
os resultados contidos nos dois eventos. 
»Notação: ∪ 
»Experimento: 
Lançamento de um dado A: obter face 
par; B: sair face 5 Evento A ∪ B = 
{2,4,5,6} 
»Sempre associado à expressão “OU” 
»Exemplo: 
-No lançamento de um dado Evento: 
sair face par ou face 1 
-Contar nº de filhos de mulheres Evento: 
ter no máximo 1 filho ou ter entre 1 e 3 
filhos. 
-Sexo de uma pessoa Evento: feminino 
ou masculino (evento certo) 
Evento interseção 
ȃ um evento formado por elementos 
que estão no evento A e no evento B 
simultaneamente. 
 
 
»Notação: ∩ 
»Experimento: 
Lançamento de um dado 
-A: obter face par; B: sair face 5 Evento 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
»Experimento: Contar o nº de filhos de 
famílias de um determinado bairro. 
-E: ter menos de dois filhos; F: ter entre 
1 e 5 filhos Evento E ∩ F = {1} 
»Sempre associado à expressão “E” 
»Exemplo: 
-No lançamento de um dado Evento: 
sair face par e face 1 (evento impossível) 
-Sexo de uma pessoa Evento: feminino 
e masculino (evento impossível) 
-Contar nº de filhos de mulheres Evento: 
ter no máximo 1 filho e ter entre 1 e 3 
filhos. 
Evento complementar 
»O evento complementar de A contém 
todos os elementos do espaço amostral 
(Ω)que não estão em A. 
»Notação: Ac 
»Não possui elementos em comum 
A Ç Ac = Æ 
» A união entre o A e o 
Ac é igual ao espaço 
amostral 
A È Ac = Ω	
Exemplo: 
-No lançamento de uma moeda. 
Eventos B: sair cara, Bc: sair coroa 
Se contarmos o nº de filhos de famílias 
Eventos E: ter menos de dois filhos, Ec: 
ter dois ou mais filhos. 
Eventos disjuntos ou 
mutualmente exclusivos 
»Não possuem elementos em comum 
»A inserção entre eles é um conjunto 
vazio 
»Dois eventos A e B 
são disjuntos quando A ∩ B = ∅ 
»Exemplo: 
-Lançamento de uma moeda. Eventos: 
A: sair cara, B: sair coroa 
- Contagem do nº de filhos. Eventos: A: 
ter mais de dois filhos, B: não ter filhos 
Exercício 
Considere um experimento que 
consiste no lançamento de um dado 
equilibrado. Como já foi visto, o espaço 
amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Considere os seguintes eventos: A = {2, 
4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {1, 4, 5} e D = 
{4}. 
a) Obtenha A È B, A È C e A È D 
 
 
Resposta: A È B = Ω; A È C = {1, 2, 4, 
5, 6}; A È D = {2, 4, 6} 
b) Obtenha B Ç A, B Ç C e B Ç D. 
Resposta: B Ç A = Æ; B Ç C = {1, 5}; B 
Ç D = Æ 
c) Identifique os dois eventos 
disjuntos entre estes 4 e explique por 
que o são. 
Resposta: Os conjuntos B e A (porque 
B Ç A = Æ); e B e D (porque B Ç D = 
Æ ) 
d) Obtenha Ac, Bc, Cc e Dc. 
Resposta: Ac = {1, 3, 5}; Bc = {2, 4, 6}; 
Cc= {2, 3, 6}; Dc = {1, 2, 3, 5, 6} 
Probabilidade 
ȃ uma medida da incerteza associada 
aos resultados do experimento aleatório. 
»Para conseguirmos definir uma medida 
de probabilidade, precisamos partir dos 
axiomas, que são conjecturas que 
assumimos como verdadeiras para 
servir de ponto inicial para outras 
deduções e inferências. 
»Para uma medida ser chamada de 
probabilidade ela deve satisfazer as 
seguintes condições: 
1. O resultado está entre zero e 1 
2. Dado um experimento, a 
probabilidade de ocorrência do espaço 
amostral é igual a 1 
Exemplo: Lançamento de uma moeda. 
Ω = {cara, coroa}. Não posso ter uma 
moeda em que a probabilidade de sair 
cara seja 0,6 e de sair coroa seja 0,5 (a 
soma das duas é maior que 1) 
3. Se dois eventos não tem 
resultados em comum, a probabilidade 
da união deles é a soma de suas 
probabilidades individuais 
Exemplo: Lançamento de uma moeda. 
Evento A: sair cara, B: sair coroa. A 
probabilidade da união P(AUB) precisa 
ser igual a soma das probabilidades P(A) 
e P(B) 
Exercício 
Imagine uma pessoa escolhida ao acaso 
em um posto de saúde. Defina dois 
eventos: 
A. A pessoa escolhida é obesa 
B. A pessoa escolhida está no 
sobrepeso, mas não é obesa 
De acordo com estudos anteriores, P(A) 
= 0,32 e P(B) = 0,34. 
i. Explique por que os eventos A e 
B são disjuntos. 
Porque, ou a pessoa está acima do peso 
ou ela é obesa. 
ii. Diga, em linguagem simples, o 
que é o evento “A ou B”. Quanto é P 
(A U B)? 
 
 
Um evento A ou B é um evento união. 
P (A U B) = 0,66 
iii. Se definimos C. Uma pessoa ter 
peso normal ou menos, qual é a P(C)? 
Resposta: P (C) = 1 - P (A U B) = 1 - 0,66 
= 0,34 
Como atribuir probabilidade a 
um evento? 
Existem 3 formas: 
Clássica 
»Assume que todos os elementos do 
espaço amostral têm chance de 
ocorrer. 
»Então a probabilidade de ocorrência de 
um evento A é: 
 
 
»Exemplo: 
Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 
4, 5, 6}. Supondo que os seis elementos 
do meu espaço amostral tenham a 
mesma chance de ocorrer, ou seja, 
P({1})=P({2})=P({3})=P({4})=P({5})=P({6
})=1/6, a probabilidade de ocorrência do 
evento A: sair face par é P(A)=3/6. 
Frequentista 
ȃ usada quando os elementos do 
espaço amostral não têm a mesma 
probabilidade de ocorrer 
»Nesse caso, estimamos a probabilidade 
através da frequência da ocorrência de 
um evento em um grande número de 
repetições de determinado 
experimento. 
A probabilidade de ocorrência de um 
evento A é: 
Exercício 
O gestor de um supermercado quer 
saber a probabilidade de um cliente 
pagar com cartão de crédito e também 
a probabilidade de pagar com cartão de 
débito. Dos 1728 clientes que passaram 
pelo caixa em uma semana, 864 
optaram pelo cartão de crédito como 
forma de pagamento e 174 pagaram 
pelo débito. Calcule as probabilidades 
pedidas. 
Resposta: 
Crédito: 864 / 1728 = 0,5- 50% 
Debito: 174 / 1728 = 0,1 - 10% 
Subjetiva 
»A probabilidade de ocorrência de um 
evento A é estimada como o número 
entre 0 e 1 que representa um ponto 
 
 
de vista pessoal sobre a possibilidade de 
ocorrer determinados eventos. 
»Exemplos: 
-Um empresário abre um restaurante 
em uma cidade turística, acreditando 
que a probabilidade subjetiva de sucesso 
é 0,8 (otimista!) 
-Avaliar a probabilidade de chover ao 
decorrer do dia, sem consultar sites. 
Probabilidade condicional 
ȃ utilizada para calcular a probabilidade 
de um evento, restrito a uma 
determinada condição. Ou seja, haverá 
uma condição que vai restringir o 
espaço amostral. 
»A ocorrência de um outro evento 
muda a forma de calcular a 
probabilidade. 
» A probabilidade condicional do evento 
A dado que o evento B ocorreu é 
denotada por 𝑃 𝐴|𝐵 e calculada como 
 
 
»A motivação para o uso da 
probabilidade condicional é o fato de que 
a probabilidade de um evento A pode 
se alterar quando se dispõe de uma 
informação sobre a ocorrência de outro 
evento associado. 
Exercício 
Distribuição de um conjunto de 
pacientes segundo peso e pressão 
arterial 
 
 
Calcule: 
a. A probabilidade de uma pessoa 
escolhida ao acaso ter excesso de peso. 
Resposta: P(Ex) = 25/100 
Obs: Ex = Excesso de peso 
b. Considerando que a pessoa 
escolhida tenha excesso de peso qual a 
probabilidade de ter pressão elevada? 
Resposta: P (Pe | Ex) = 10/25 
Obs: Pe =Pressão elevada 
c. A probabilidade de uma pessoa 
ter peso normal e pressão elevada ao 
mesmo tempo 
Resposta: P (Pn Ç Pe) = 8/100 
Obs: Pn = Peso normal 
Modelos probabilísticos 
Variável aleatória 
»Função que atribui um valor (ou letra, 
como no caso das variáveis qualitativas) 
a cada resultado do espaço amostral de 
um experimento aleatório 
 
 
»Exemplo: X = Sexo de um paciente 
selecionado aleatoriamente O espaço 
amostral é Ω = {F, M}. X pode assumir 
os valores F ou M, ou ainda códigos que 
os representem, como 1 para Masculino 
e 2 para feminino 
 
Distribuição de probabilidade 
» Não sabemos exatamente qual valor 
será assumido pela variável, sabemos 
somente o conjunto de valores que ela 
pode assumir. Por isso ela é aleatória. 
»Para descrever o comportamento de 
uma variável precisamos dos valores 
que ela pode assumir e das frequências 
de ocorrência de cada um deles, ou 
seja, da distribuição de probabilidade da 
variável. 
»A distribuição de probabilidade de uma 
variável vai depender do tipo da mesma: 
se ela é discreta (assume valores 
inteiros ou um número contável de 
resultados possíveis), ou contínua 
(assume valores em um intervalo dos 
números reais). 
Função discreta de 
probabilidade 
»Consiste em atribuir uma probabilidade 
a cada valor a ser assumido por uma 
variável aleatória discreta. A soma das 
probabilidades precisa ser igual a 1 
»Exemplo: Uma população de 1000 
crianças foi analisada num estudo para 
determinar a efetividade de uma vacina 
contra um tipo de alergia. No estudo, as 
crianças recebiam uma dose de vacina 
e, após um mês, passavam por um 
novo teste. Caso ainda tivessem tido 
alguma reação alérgica, recebiam outra 
dose 
de 
vacina. 
Ao fim 
de 5 
doses 
todas 
as 
crianças foram consideradas imunizadas. 
Os resultados completos estão na tabela 
a seguir: 
 
 
 
 
Ou seja, é mais provável que as crianças 
fiquem imunizadas com duas ou três 
doses. 
Modelo probabilístico 
 
 
»Função que atribui probabilidades aos 
possíveis valores de uma variável 
aleatória 
Exemplo: Em um estudo sobre 
incidência de câncer foi registrado, para 
cada paciente com este diagnóstico, o 
número de casos de câncer em 
parentes próximos (pais, irmãos, tios, 
filhos, primos e sobrinhos). Os dados de 
26 pacientes são os seguintes: 
Tabela: