Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). a) O comprimento da curva é: \[ L = \int_{0}^{\f...

Para determinar o comprimento da curva, você pode usar a fórmula do comprimento de arco para funções \( y = f(x) \), que é dada por: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \] Neste caso, a função é \( y = \ln(\cos x) \) e você quer calcular o comprimento da curva de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). Calculando a derivada da função \( y = \ln(\cos x) \), obtemos: \[ y' = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x \] Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + (-\tan x)^2} \, dx \] \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx \] \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + \sec^2 x} \, dx \] \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\sec^2 x} \, dx \] \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx \] Integrando \( \sec x \), obtemos \( \ln(\sec x + \tan x) \). Portanto, o comprimento da curva é: \[ L = \ln(\sec(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{3})) - \ln(\sec(0) + \tan(0)) \] \[ L = \ln(\sqrt{3} + 1) - \ln(1) \] \[ L = \ln(\sqrt{3} + 1) \] Portanto, a alternativa correta é: a) O comprimento da curva é: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1) \].