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612. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(17x) \) centrada em \( x = 0 \). **Resposta:** A série de Taylor é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(17x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 17x - \frac{4913x^3}{6} + \frac{83521x^5}{120} - \cdots. \] 613. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(18x)}{\sin(19x)} \). **Resposta:** Utilizando a expansão em série de Taylor para \( \tan x \) e \( \sin x \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(18x)}{\sin(19x)} = \lim_{x \to 0} \frac{18x + \frac{(18x)^3}{3}}{19x + \frac{(19x)^3}{6}} = \frac{18}{19}. \] 614. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(15x + 1) \). **Resposta:** A derivada é: \[ f'(x) = \frac{15}{15x + 1}. \] 615. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(16x-14)^n}{n} \). **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{16} \). 616. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 17y' + 48y = 0 \). **Resposta:** A solução geral é: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}, \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 617. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). **Resposta:** O comprimento da curva é: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). \] 618. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{17x} \, dx \). **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{17x} \, dx \): \[ \int_{0}^{1} x e^{17x} \, dx = \left[ \frac{x e^{17x}}{17} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{17x}}{17} \, dx = \frac{e^{17}}{289} - \frac{1}{289}. \] 619. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(18x) \) centrada em \( x = 0 \). **Resposta:** A série de Taylor é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(18x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 18x - \frac{5832x^3}{6} + \frac{104976x^5}{120} - \cdots. \] 620. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(19x)}{x} \).