Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). A) O ponto de máximo ocorre em \( x = 3 \) e o ponto de mínimo e...

Para determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função, é necessário calcular a derivada da função e encontrar seus pontos críticos. Em seguida, analisamos o sinal da segunda derivada para identificar se o ponto crítico é de máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), a derivada é \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \). Encontrando os pontos críticos: \( f'(x) = 0 \) \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \) \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) \( (x - 3)(x - 1) = 0 \) \( x = 3 \) e \( x = 1 \) Agora, para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada: \( f''(x) = 6x - 12 \) Para \( x = 3 \): \( f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 \) Portanto, o ponto \( x = 3 \) é um ponto de mínimo. Para \( x = 1 \): \( f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 \) Portanto, o ponto \( x = 1 \) é um ponto de máximo. Assim, a resposta correta é: A) O ponto de máximo ocorre em \( x = 1 \) e o ponto de mínimo em \( x = 3 \).