19. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 0 \), e \( x = 4 \) em torno do ei...

Para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 0 \) e \( x = 4 \) em torno do eixo \( y \), podemos utilizar o método do disco. O volume \( V \) é dado pela integral \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \), onde \( f(x) \) é a função que delimita a região a ser rotacionada. Neste caso, a região é delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 0 \), e vamos rotacioná-la em torno do eixo \( y \). A região começa em \( x = 0 \) e vai até \( x = 4 \). Assim, o volume \( V \) é dado por: \[ V = \pi \int_{0}^{4} [\sqrt{x}]^2 dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{4} x dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \] \[ V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{16}{2} \right) \] \[ V = \pi \times 8 \] \[ V = 8\pi \] Portanto, o volume do sólido é \( 8\pi \), o que corresponde à alternativa b) O volume é \( \frac{64\pi}{5} \).