22. Problema: Encontre o menor número natural n para o qual φ(n) = 24, onde φ é a função totiente de Euler.

Para encontrar o menor número natural \( n \) para o qual \( \phi(n) = 24 \), onde \( \phi \) é a função totiente de Euler, podemos observar que a função totiente de Euler é multiplicativa, ou seja, para dois números primos \( p \) e \( q \), temos que \( \phi(p \cdot q) = (p-1) \cdot (q-1) \). Como queremos encontrar o menor número natural \( n \) para o qual \( \phi(n) = 24 \), podemos tentar fatorar o número 24 em seus fatores primos: \( 24 = 2^3 \cdot 3 \). Assim, podemos ver que \( n = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \). Portanto, o menor número natural \( n \) para o qual \( \phi(n) = 24 \) é 24.