69. Problema: Determine a série de Taylor da função f(x) = \( \cos(x) \) centrada em x = 0.

Para determinar a série de Taylor da função \( \cos(x) \) centrada em x = 0, podemos usar a fórmula geral da série de Taylor: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \] Para a função \( \cos(x) \), temos que: \( f(x) = \cos(x) \) \( f'(x) = -\sin(x) \) \( f''(x) = -\cos(x) \) \( f'''(x) = \sin(x) \) Avaliando essas derivadas em x = 0, temos: \( f(0) = \cos(0) = 1 \) \( f'(0) = -\sin(0) = 0 \) \( f''(0) = -\cos(0) = -1 \) \( f'''(0) = \sin(0) = 0 \) Substituindo na fórmula da série de Taylor, obtemos: \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2!} \) Portanto, a série de Taylor da função \( \cos(x) \) centrada em x = 0 é \( 1 - \frac{x^2}{2!} \).