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Ed 
Para responder corretamente à questão, vamos analisar cada afirmação: I - O domínio da superfície é \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) e \(0 \leq \phi \leq 2\pi\), onde \(\theta\) é o ângulo polar e \(\phi\) é o azimutal. Esta afirmação está correta, pois descreve corretamente o domínio da superfície que é a metade de uma esfera unitária acima do plano \(xy\). II - \(\text{rot} \, \mathbf{F} = r \, \text{sen} \, \theta \, \text{sen} \, \phi \, \mathbf{j} + r \, \cos \theta \, \mathbf{k}\) e \(\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = r^2 \, \text{sen}^2 \, \theta \, \cos \phi \, \mathbf{i} + r^2 \, \text{sen}^2 \, \theta \, \text{sen} \, \phi \, \mathbf{j} + r^2 \, \text{sen} \, \theta \, \cos \theta \, \mathbf{k}\). Esta afirmação está correta, pois apresenta corretamente o cálculo do rotacional do campo vetorial e o produto vetorial dos vetores tangentes \(\mathbf{r}_\theta\) e \(\mathbf{r}_\phi\). III - \(\iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{\pi^2}{16}\). Esta afirmação está incorreta, pois o cálculo da integral não resulta em \(\frac{\pi^2}{16}\). Portanto, a única afirmação correta é a II, sendo a alternativa correta a letra d) II.
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