54. ITA-SP Considere as matrizes reais M = e I = em que a ≠ 0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sejam λ1, ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula de Cayley-Hamilton, que diz que toda matriz quadrada satisfaz sua própria equação característica. Assim, temos: det(M - λI) = 0 det(ae - λI) = 0 (a - λ)³ - abc = 0 λ³ - 3aλ² + 3a²λ - abc = 0 Como λ1, λ2 e λ3 são as raízes dessa equação, temos: λ1 + λ2 + λ3 = 3a λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3 = 3a² λ1λ2λ3 = abc Substituindo na equação a2 + b2 + c2, temos: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)² - 2(ab + ac + bc) a2 + b2 + c2 = (a + b + c)² - 2(λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3) a2 + b2 + c2 = (3a)² - 2(3a²) a2 + b2 + c2 = 9a² - 6a² a2 + b2 + c2 = 3a² Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: a² + b²/q² + b²/q = 3a² b²/q² + b²/q = 2a² b²/q (1/q + 1) = 2a² b²/q² = 2a² / (q + 1) Substituindo abc = a²q, temos: b² = a²q³ b²/q² = a²q b²/q² = 2a² / (q + 1) a²q = 2a² / (q + 1) q = 1/2 Substituindo q = 1/2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + 4b² = 12a² 4b² = 11a² b² = 11a²/4 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 11a²q² / 4c c = 11q² / 4 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 11a²/4q² b²/q² = 11b²/4q³ q = 2/3 Substituindo q = 2/3 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + 9b²/4 = 9a² 9b²/4 = 8a² b² = 32a²/9 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 32a²q³ / 9c c = 32q³ / 9 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 32a²/9q² b²/q² = 32b²/9q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substituindo a = b/q e c = b/q², temos: b²/q² = 8a²/3q² b²/q² = 8b²/3q³ q = 2 Substituindo q = 2 na equação a² + b²/q² + b²/q = 3a², temos: a² + b²/4 + b²/2 = 3a² 3b²/4 = 2a² b² = 8a²/3 Substituindo a² = abc/q, temos: a² = b²q / c a² = 8a²q³ / 3c c = 8q³ / 3 Substitu