54. ITA-SP Considere as matrizes reais M = e I = em que a ≠ 0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sejam λ1, λ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula de Cayley-Hamilton, que diz que toda matriz quadrada satisfaz sua própria equação característica. Assim, temos: det(M - λI) = 0 det(eI - λI) = 0 det((e - λ)I) = 0 (e - λ)³ = 0 λ1 = λ2 = λ3 = e Substituindo na equação λ1 + λ2 + λ3 = 7a, temos: 3e = 7a a = 3e/7 E substituindo em λ1λ2λ3 = a, temos: e³ = 3e/7 e² = 3/7 Como a, b e c formam uma progressão geométrica de razão q, temos: b = aq c = aq² E podemos escrever a matriz M como: M = [e a aq] [aq e a] [aq² aq e] Calculando M - λI, temos: M - λI = [(e - λ) a aq] [aq (e - λ) a] [aq² aq (e - λ)] E calculando det(M - λI), temos: det(M - λI) = (e - λ)³ - 2a²(e - λ) - 2a³q² Substituindo λ = e, temos: det(M - eI) = -2a² - 2a³q² E como a = 3e/7, temos: det(M - eI) = -18e²/49 - 54e³q²/343 Portanto, a² + b² + c² é igual a: a² + b² + c² = e² + a²q² + a²q⁴ = e² + a²q² + a⁴q⁴ = e² + (3e/7)²q² + (3e/7)⁴q⁴ = e² + 9e⁴/49q² + 81e⁴/2401q⁴ = e²(1 + 9/49q² + 81/2401q⁴) = e²(2401q⁴ + 441q² + 49)/2401q⁴ = e²(441q⁴ + 81q² + 1)/2401q⁴ Substituindo q² = 3/7, temos: a² + b² + c² = e²(441(3/7)² + 81(3/7) + 1)/2401(3/7)² = e²(441/49 + 243/49 + 1)/2401(3/7)² = e²(49 + 27 + 49)/2401(3/7)² = e²(125)/2401(3/7)² = e²(125)/(9e²/49) = 49/9 * 125 = 1541,67 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 91.