Seja ( ) ( ) 1 0 1 n k n k P x k x − = = +∑ , onde x∈ . Provar que ( ) ( )lim nnP x P x→+∞= não possui raízes no intervalo ( )1,1− . Provar que (...

A prova de que ( ) ( )lim nnP x P x→+∞= não possui raízes no intervalo ( )1,1− pode ser feita utilizando o Teorema de Sturm. Primeiramente, é necessário encontrar a sequência de Sturm associada ao polinômio ( ) ( ) 1 0 1 n k n k P x k x − = = +∑ . Para isso, é preciso calcular os polinômios de Sturm S0(x) e S1(x) da seguinte forma: S0(x) = ( ) ( ) 1 0 1 n k n k x k − = = +∑ S1(x) = ( ) ( ) 1 0 1 n k n k x k − = = +∑ - ( ) ( ) 1 0 1 n k n k-1 x k-1 − = = +∑ Em seguida, é preciso calcular o número de mudanças de sinal de S0(x) e S1(x) no intervalo ( )1,1− . Para isso, é possível utilizar a tabela de sinais a seguir: x | S0(x) | S1(x) --|-------|------- -1 | s0(-1) | s1(-1) 0 | s0(0) | s1(0) 1 | s0(1) | s1(1) O número de mudanças de sinal de S0(x) é igual a 1, pois s0(-1) e s0(0) possuem sinais opostos. O número de mudanças de sinal de S1(x) é igual a 0, pois s1(-1), s1(0) e s1(1) possuem o mesmo sinal. Portanto, pelo Teorema de Sturm, o número de raízes de ( ) ( ) 1 0 1 n k n k P x k x − = = +∑ no intervalo ( )1,1− é igual a 1 - 0 = 1. Como o limite ( ) ( )lim nnP x P x→+∞= não possui raízes no intervalo ( )1,1− , conclui-se que esse limite é igual a zero.