41-Números Complexos -10 exercícios + gab

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OSG.: 15019/09 
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO 
 
TC 
MATEMÁTICA TURNO DATA
ALUNO(A)
 TURMA
Nº
SÉRIE
PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS 
ITA/IME 
SEDE
___/___/___ 
 
 
SECÇÃO NÓ CEGO 
 
 
Esta secção nó cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os problemas aqui contidos 
envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade. 
 
1. (EUA) Ache todos os números complexos z tais que ( )( )( )( )3z 1 4z 1 6z 1 12z 1 2+ + + + = 
RESP.:
5 33 5 i. 23
z e z
24 24
− ± − ±
= = 
 
 
2. 
 (Peru) Seja 
1
1 i
1
1 i
1
1 i
.
.
.
z
1
1 i
1
1 i
1
1 i
1
1 i
.
.
.
− +
+ +
− +
=
+ +
− +
+ +
− +
. Então o valor de z 1+ é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3 
 
RESP.: B 
 
 
3. (KVANT) Resolva o sistema de equações: 
2 2
2 2
3x y
x 3
x y
x 3y
y 0
x y
⎧ ⎛ ⎞−+ =⎪ ⎜ ⎟⎝ + ⎠⎪
⎨
⎛ ⎞+⎪ − =⎜ ⎟⎪ ⎝ + ⎠⎩
 
RESP.: 
( )3 1 2i
z
2
± +
= 
 
 
4. (PUTNAM/1989) Prove que se 10 911.z 10.i.z 10.i.z 11 0, então z 1+ + − = = . 
 
 
 
 
TC – MATEMÁTICA 
 
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5. (EUA/2002) Sabendo que a equação ( )( )z z i z 3i 2002.i+ + = é da forma a + b ��i tal que a e b são números reais positivos 
e diferentes de zero. Então o valor de a é igual a: 
a) 118 b) 210 c) 2 210 d) 2002 e) 100 2 
RESP.: A 
 
6. (Peru/2005) O valor da expressão 1 3 5 7n n n nC 3.C 9.C 27.C ............................; para n− + − + ∈Ν é igual a: 
n n n2 2 n 2 2n 2 2
a) b) .sen c) .sen d) sen e) cos
3 3 3 33 3 3
π π π π
 
RESP.: 
 
 
QUESTÕES PROBLEMAS 
 
1. Se 0 1 2 n 1P , P , P ,....., P − são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos em uma circunferência de raio 1. Então 
prove que: 
 0 1 0 2 0 3 0 n 1P P P P P P ........ P P n−× × × × = 
 
2. (UNB) Um antigo pergaminho continha as seguintes instruções para se encontrar um tesouro enterrado em uma ilha 
deserta: Ao chegar à ilha, encontre um abacateiro, uma bananeira e uma forca. Conte os passos da forca até o abacateiro; 
ao chegar ao abacateiro, gire 90° para a direita e caminhe para frente o mesmo número de passos; neste ponto, crave uma 
estaca no solo. Volte novamente para a forca, conte o número de passos até a bananeira; ao chegar à bananeira, gire 90° 
para a esquerda e caminhe para a frente o mesmo número de passos que acabou de contar; neste ponto, crave no solo uma 
segunda estaca. O tesouro será encontrado no ponto médio entre as duas estacas. 
 Um jovem aventureiro resolveu seguir as instruções para localizar o tesouro e, sendo um bom conhecedor de números 
complexos, reproduziu o mapa no plano complexo, identificando a forca com a origem, o abacateiro com o número 
A = 7 + i e a bananeira com o número B = 1 + 3i. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 
(JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA) 
 (1) O menor ângulo entre os números complexos A e iA é igual a 90°. 
 (2) O ponto médio entre os números complexos A e B é dado por (A – B)/2. 
 (3) A primeira estaca foi cravada no ponto A – iA. 
 (4) Seguindo as instruções do mapa, o aventureiro encontraria o tesouro no ponto da ilha corresponde ao número complexo 
3 – i. 
RESP.: 
 
3. (EUA) Find constants 0 1 6a , a ,........, a so that 
 ( ) ( ) ( )6 6 5 1 0cos a .cos 6 a .cos 5 ..... a .cos aθ = θ + θ + + θ + 
RESP.: 
 
4. (EUA) Sa������	
����é o valor da expressão 
2sen2 4sen4 6sen6 ......... 178sen178
cot g1
° + ° + ° + + °
°
. Então o valor de ��é 
igual a: 
a) 1 b) 90 c) 178 d) 180 e) 0 
RESP.: B 
 
5. (EUA) O valor da expressão 
2 3
sen .sen .sen
7 7 7
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 é igual a: 
7 7 7 7
a) b) c) d) e) 1
8 4 2 16
 
RESP.: A 
 
6. (AIME/1996) Sabendo que o produto das raízes da equação z6 + z4 + z3 + z2 + 1 = 0 que admite parte imaginária positiva 
�
����������o ���������o). Então o valor de �������
��é igual a: 
a) 144 b) 132 c) 204 d) 216 e) 276 
RESP.: E 
TC – MATEMÁTICA 
 
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7. (China/87) Seja n um inteiro positivo. Prove que n 1 nz z 1 0+ − − = tem uma raiz satisfazendo |z| = 1 se, e somente se, n + 2 
é divisível por 6. 
 
8. (O.C.M./2003) Uma lista de números complexos distintos 1 2 nz , z , ,...... , z é um ciclo de comprimento n para uma função 
2 1 3 2 n n 1 1 nf : C C se z f (z ), z f (z ),....., z f (z ) e z f (z )−→ = = = = . Seja 
2
1 2 2003f (z) z 2003 e z , z ,......., z= + um ciclo de 
comprimento 2003. Calcule: 
 ( )
2003
i i
i 1
f (z ) z onde o símbolo indica o produto
=
+ ∏� 
RESP.: 
 
9. (Olimpíada Índia/1997) Determine o menor valor real positivo de A, sabendo que: 
 
4 2
21
z 3 e A.
z .z 6
= ≤
− +
 
RESP.: 
 
10. (O.B.M.U/2001) Seja ( )xf (x) e .sen x .−= Calcule 2001f (0) . 
 Obs.: Denotamos por nf (x) a derivada de ordem n no ponto x: assim, 2f (x) f "(x)= . 
 RESP.: 10002 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fm – 05/03/09 
Rev.: TM