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O ANEL DE POLINÔMIOS EM UMA
VARIÁVEL
Profª.: Sarah Faria Monteiro Mazzini Costa
Seja (𝑲,+,⋅ ) um corpo. Chamamos de polinômio sobre 𝑲 na variável 𝒙 a
expressão 𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏𝒙
𝒏 +⋯ , onde 𝒏 ∈ ℕ, os
coeficientes 𝒂𝒊 ∈ 𝑲 para todo 𝒊 ∈ ℕ e apenas um número finito de
coeficientes é diferente de zero.
• 𝒑 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 +1 é um polinômio sobre os corpos ℚ,ℝ e ℂ na
variável 𝒙.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES
• 𝒒 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝝅𝒚 + 𝟑 é um polinômio sobre os corpos ℝ e ℂ na
variável 𝒚, mas não é um polinômio sobre ℚ já que 𝝅 ∉ ℚ.
• 𝒑 𝒙 = 𝟒𝒙𝟓 + 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟑 não é um polinômio pois existe uma
potência negativa da variável 𝒙 e isso não é permitido na
definição de um polinômio, pois todos os expoentes da variável
devem ser números naturais.
• Dois polinômios 𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 +⋯+ 𝒂𝒏𝒙
𝒏 +⋯ e 𝒒 𝒙 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒙 +⋯
+ 𝒃𝒎𝒙
𝒎+⋯, são iguais se e somente se 𝒂𝒊 = 𝒃𝒊 para todo 𝒊 ≥ 𝟎.
• Um polinômio 𝒑(𝒙) é chamado polinômio identicamente nulo se todos os
seus coeficientes são iguais a zero, ou seja, 𝒑 𝒙 = 𝟎.
• Se o polinômio 𝒑(𝒙) for do tipo 𝒑 𝒙 = 𝒂, com 𝒂 ∈ 𝑲, chamamos 𝒑(𝒙) de
polinômio constante.
• Seja o polinômio 𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 +⋯+ 𝒂𝒏𝒙
𝒏 e defina o grau de 𝒑(𝒙) como a
maior potência da variável 𝒙 em 𝒑(𝒙) , ou seja, o grau de 𝒑(𝒙) é 𝒏 .
Denotamos o grau de um polinômio pelo símbolo 𝝏. O coeficiente que
acompanha o termo de maior grau é chamado coeficiente líder do
polinômio 𝒑(𝒙).
Vamos denotar por 𝑲[𝒙] o conjunto de todos os polinômios na variável 𝒙
com coeficientes no corpo 𝑲.
• Considere 𝒑 𝒙 = −𝟔𝒙𝟕 +
𝟒
𝟗
𝒙𝟒 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟖 ∈ ℚ 𝒙 , ou seja, 𝒑(𝒙) é um
polinômio na variável 𝒙 com coeficientes no corpo ℚ dos números
racionais. O coeficiente líder de 𝒑(𝒙) é −𝟔 e 𝝏 𝒑 𝒙 = 𝟕.
• Considere o polinômio 𝒉 𝒙 = 𝟑𝒙𝟏𝟎 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟕 ∈ ℚ[𝒙] . Seu
coeficiente líder é 𝟑 e 𝝏 𝒉 𝒙 = 𝟏𝟎.
• Considere o polinômio 𝒒 𝒙 = 𝒙𝟗 − 𝝅𝒙𝟖 + 𝟑𝒙𝟓 ∈ ℝ 𝒙 . O coeficiente líder
de 𝒒(𝒙) é 𝟏 e 𝝏 𝒒 𝒙 = 𝟗.
Vamos agora definir as operações em 𝑲[𝒙] para que este seja um anel.
Sejam 𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 +⋯+ 𝒂𝒏𝒙
𝒏 e 𝒒 𝒙 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒙 +⋯+ 𝒃𝒎𝒙
𝒎 dois
polinômios em 𝑲 𝒙 . Definimos
𝒑 𝒙 + 𝒒 𝒙 = 𝒄𝟎 + 𝒄𝟏𝒙 +⋯+ 𝒄𝒌𝒙
𝒌 ,onde cada 𝒄𝒊 ∈ 𝑲 é dado por 𝒄𝒊 = 𝒂𝒊 + 𝒃𝒊.
𝒑 𝒙 ⋅ 𝒒 𝒙 = 𝒅𝟎 + 𝒅𝟏𝒙 +⋯+ 𝒅𝓵𝒙
𝓵 ,onde 𝒅𝟎 = 𝒂𝟎𝒃𝟎 ,𝒅𝟏 = 𝒂𝟎𝒃𝟏 + 𝒂𝟏𝒃𝟎 e assim
sucessivamente.
De maneira mais clara, a multiplicação é definida utilizando a distributividade
da soma e a propriedade de potenciação 𝒙𝒏 ⋅ 𝒙𝒎 = 𝒙𝒎+𝒏.
Considere os polinômios 𝒑 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟒 e 𝒒 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙. Temos
𝒑 𝒙 + 𝒒 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙 == 𝟓𝒙𝟒 + 𝟐 + 𝟑 𝒙𝟑 + (−𝟐
Definimos a função grau
que satisfaz as seguintes propriedades para 𝒇 𝒙 , 𝒈 𝒙 ∈ K[𝒙]:
1. 𝝏 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 ≤ 𝐦𝐚𝐱{𝝏𝒇 𝒙 , 𝝏𝒈 𝒙 }
2. 𝝏 𝒇 𝒙 ⋅ 𝒈 𝒙 = 𝝏𝒇 𝒙 + 𝝏𝒈(𝒙)
Também decorre da função grau o fato de que os únicos elementos
inversíveis de 𝑲[𝒙] são os polinômios constantes.
𝜕: 𝐾 𝑥 ∖ 0 → ℕ
𝑝 𝑥 ↦ 𝜕(𝑝(𝑥))
Algoritmo da divisão de Euclides: Sejam 𝒇 𝒙 , 𝒈 𝒙 ∈ 𝑲[𝒙] com 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎 .
Então existem únicos 𝒒 𝒙 , 𝒓 𝒙 ∈ 𝑲[𝒙] tais que
𝒇 𝒙 = 𝒒 𝒙 ⋅ 𝒈 𝒙 + 𝒓(𝒙)
com 𝒓 𝒙 = 𝟎 ou 𝝏 𝒓 𝒙 < 𝝏(𝒈(𝒙)).
ALGORITMO DA DIVISÃO
Considere os polinômios 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏
pertencentes a ℝ[𝒙]. Vamos encontrar os polinômios 𝒒(𝒙) e 𝒓 𝒙 tais que
𝒇 𝒙 = 𝒒 𝒙 ⋅ 𝒈 𝒙 + 𝒓(𝒙):
4𝑥3 + 2𝑥2 + 6𝑥 + 5 𝑥2 + 1
+ −4𝑥3 − 4𝑥
4𝑥 + 2
𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
2𝑥2 + 2𝑥 + 5
+ −2𝑥2 − 2
2𝑥 + 3
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
Então 𝒓 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟑 e 𝒒 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟐.
Sejam 𝒇 𝒙 , 𝒈 𝒙 ∈ 𝑲[𝒙] com 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎. Dizemos que o polinômio 𝒇(𝒙) é
divisível pelo polinômio 𝒈(𝒙) se o resto da divisão é zero.
• O polinômio 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 é divisível pelo polinômio 𝒈 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟏, pois
𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)
ou seja, o resto é igual a zero.
Seja 𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 +⋯+ 𝒂𝒏𝒙
𝒏 ∈ 𝑲[𝒙] um polinômio não nulo. Um elemento
𝜷 ∈ 𝑲 é uma raiz do polinômio 𝒇 se 𝒇 𝜷 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝜷 +⋯+ 𝒂𝒏𝜷
𝒏 = 𝟎.
• Considere o polinômio 𝒑 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 ∈ ℝ[𝒙]. Então 𝟏 é raiz de
𝒑 𝒙 pois 𝒑 𝟏 = 𝟑 ⋅ 𝟏𝟑 + 𝟔 ⋅ 𝟏𝟐 − 𝟑 ⋅ 𝟏 − 𝟔 = 𝟑 + 𝟔 − 𝟑 − 𝟔 = 𝟎 . Além disso,
− 𝟏 e -2 também são raízes de 𝒑 𝒙 . De fato,
𝒑 −𝟏 = 𝟑 ⋅ −𝟏 𝟑 + 𝟔 ⋅ −𝟏 𝟐 − 𝟑 ⋅ −𝟏 − 𝟔 = −𝟑 + 𝟔 + 𝟑 − 𝟔 = 𝟎
𝒑 −𝟐 = 𝟑 ⋅ −𝟐 𝟑 + 𝟔 ⋅ −𝟐 𝟐 − 𝟑 ⋅ −𝟐 − 𝟔 = −𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 + 𝟔 − 𝟔 = 𝟎
Proposição: Seja 𝑲 um corpo e 𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 +⋯+ 𝒂𝒏𝒙
𝒏 ∈ 𝑲[𝒙] um
polinômio não nulo de grau 𝒏. Então o número de raízes de 𝒇(𝒙) em 𝑲 é
no máximo 𝒏.
Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio de grau 𝐧 em ℂ[𝐱]
possui exatamente 𝐧 raízes em ℂ.
