Método de Lagrange

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Multiplicadores de Lagrange
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 12/01/2015 - Atualizado em 07/05/2017
Exemplo 1: Uma caixa de papel de base x altura z e largura y deve ser con-
struída com volume de 10 dm3. Essa caixa deve ser construída com 4 camadas
de papelão em seu fundo, 2 camadas de papelão em seus lados e uma camada de
papelão em sua tampa. Sabendo que o custo de produção da caixa é avaliado pela
área de cada lado qual o valor de x, y e z para que a caixa seja fabricada de modo
mais barato possível?
Solução:
Numa caixa com tampa temos um fundo, 4 lados e uma tampa como no desenho
abaixo.
x
y
z
Assim, o custo (Q) da caixa será:
Q = custo do fundo + custo dos lados + custo da tampa
Onde:
ˆ Custo do fundo de quatro camadas = 4xy
ˆ Custo dos lados maiores com 2 camadas = 2zy + 2zy
ˆ Custo dos lados menores com 2 camadas = 2xz + 2xz
ˆ Custo da tampa = xy
Ou seja: Q(, y, z) = 5y + 4zy + 4z
A função de restrição aqui será o volume V = yz = 10.
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O que queremos é determinar o valor mínimo de Q(, y, z) que pela definição de
Lagrange será:
5 ~Q = λ5 ~V
Como o vetor gradiente de V(x,y,z) é:
5 ~V =< yz, z, y >
e o vetor gradiente de Q(x,y,z) é:
5 ~Q =< 5y + 4z,5 + 4z,4y >
então:
5 ~Q = λ5 ~V ⇒< 5y + 4z,5 + 4z,4y >= λ < yz, z, y >
donde conclui-se que:
5y + 4z = λyz
5 + 4z = λz
4y = λy
Evidenciando λ em cada linha chegamos à:
λ =
5y + 4z
yz
λ =
5 + 4z
z
λ =
4y + 4
y
Igualando os lambdas acima encontramos as relações de x, y e z com eles mes-
mos:
 = y
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z =
5y
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Substituindo estas relações nas funções de restrição V = xyz que é igual a 10,
chegamos a solução:
Solução =
�
2,2,
5
2
�
Exemplo 2: Ache as dimensões do maior jardim retangular que pode ser cercada
com 100 m de cerca.
Solução:
A função a ser maximizada é a da área A = xy. E a restrição e de que 2x + 2y =
240.
Pela formula de Lagrange temos:
ΔA = λΔ(2 + 2y)
⇒< y, >= λ < 2,2 >
Concluindo que: y = 2λ,  = 2λ e y = .
Substituindo este resultado (y = ) na função de restrição:
2x + 2y = 240
⇒ 2x + 2(x) = 240
Chegamos a solução.
⇒ x = 60 e y = 60.
Solução = { x = 60 m; y = 60 m}
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