Mecânica Dos Materiais Beer 5ª Ed split merge

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11.10 Usando E � 200 GPa, determine (a) a energia de deformação da barra 
de aço ABC quando P � 25 kN e (b) a densidade de energia de deformação corres-
pondente nas partes AB e BC da barra.
11.11 Um tubo de alumínio com comprimento de 762 mm e seção transversal 
de área de 1194 mm2 é soldado a um suporte fi xo A e a uma tampa rígida B. A barra 
de aço EF, de 19,1 mm de diâmetro, é soldada à tampa B. Sabendo que o módulo de 
elasticidade é de 200 GPa para o aço e 74 GPa para o alumínio, determine (a) a ener-
gia de deformação total do sistema quando P � 44,5 kN e (b) a densidade de energia 
de deformação correspondente do tubo CD e na barra EF.
11.12 A barra AB é feita de um aço para o qual a tensão de escoamento é 
sE � 450 MPa e E � 200 GPa; a barra BC é feita de uma liga de alumínio para a 
qual sE � 280 MPa e E � 73 GPa. Determine a energia de deformação máxima que 
pode ser armazenada pela barra ABC composta sem provocar quaisquer deformações 
permanentes.
11.13 As barras AB e BC são feitas de um aço para o qual a tensão de esco-
amento é sE � 300 MPa e o módulo de elasticidade é E � 200 GPa. Determine a 
máxima energia de deformação que pode ser adquirida pelo conjunto sem provocar 
deformação permanente quando o comprimento a da barra AB for (a) 2 m e (b) 4 m.
Fig. P11.10
Fig. P11.11
Fig. P11.12
Fig. P11.13
Diâmetro de 20 mm
Diâmetro de 16 mm
1,2 m
0,8 m
2 m
P
B
A
C
Diâmetro de 12 mm
a
5 m
Diâmetro de 8 mm
P
BA
C
Diâmetro de 14 mm
1,6 m
1,2 m
Diâmetro de 10 mm
P
B
C
A
762 mm
D
B
A
E F
P
C
1219 mm
Problemas 707
708 Métodos de energia 11.14 A barra BC é feita de um aço para o qual a tensão de escoamento é 
sE � 300 MPa e o módulo de elasticidade é E � 200 GPa. Sabendo que a energia de 
deformação de 10 J deve ser adquirida pela barra quando lhe for aplicada a força axial 
P, determine o diâmetro da barra para o qual o coefi ciente de segurança com relação 
à deformação permanente seja 6.
11.15 Usando E = 73,1 GPa, determine de forma aproximada a máxima ener-
gia de deformação que a barra de alumínio acumulará se a tensão normal admissível 
é sadm = 151,7 MPa.
11.16 Mostre, por integração, que a energia de deformação da barra cônica, 
AB é
 
U
1
4
P 2L
EAmín
em que Amín é a área da seção transversal na extremidade B.
1,8 m
BC
P
L
B
2c
c
A
P
Fig. P11.15
Fig. P11.16
Fig. P11.14
P
4 @ 38,1 mm 5 152,4 mm
A
B
76,2 mm
38,1 mm
53,3 mm
64,8 mm
72,4 mm
11.17 até 11.20 Na treliça mostrada, todos os elementos são feitos do mes-
mo material e têm a área da seção transversal indicada. Determine a energia de defor-
mação da treliça quando lhe é aplicada a força P.
11.21 Na treliça mostrada, todas as barras são feitas de alumínio e tem a área 
de se ção transversal indicada na fi gura. Usando E � 72 GPa, determine a energia de 
deformação da treliça para o carregamento mostrado.
11.22 Resolva o Problema 11.21, considerando que a força de 120 kN é 
removida.
11.23 até 11.26 Levando em conta apenas o efeito das tensões normais, 
determine a energia de deformação da viga prismática AB para o carregamento mos-
trado.
Fig. P11.17
Fig. P11.23
Fig. P11.25 Fig. P11.26
Fig. P11.24
Fig. P11.18 Fig. P11.19 Fig. P11.20
Fig. P11.21 e P11.22
C
D
30°
B
A
A
P
l
C
30°
B
A
A
P
l
A
D
l
l
D
B
C
1
2
l12
P
A
A
D
B
C
0,75 m
1,8 m
1800 mm2
200 kN
120 kN
0,75 m
3000 mm2
1200 mm2
D
BA
La
P
C
B
P
l
A
2A2A
D
2
3
l
M0
A B
D
L
a b
w
B
A
L
D E
BA
a a
L
P P
Problemas 709
710 Métodos de energia 11.27 Considerando que a viga prismática AB tem uma seção transversal re-
tangular, mostre que para o carregamento indicado o valor máximo da densidade de 
energia de deformação na viga é
 
umáx
45 U
V8
em que U é a energia de deformação da viga e V é o seu volume.
11.28 Considerando que a viga prismática AB tem uma seção transversal re-
tangular, mostre que para o carregamento indicado o valor máximo da densidade de 
energia de deformação na viga é
 
umáx
45 U
V8
em que U é a energia de deformação da viga e V é seu volume.
11.29 e 11.31 Usando E � 200 GPa, determine a energia de deformação 
devido à fl exão, para a barra de aço e o carregamento mostrado.
11.30 e 11.32 Usando E � 200 GPa, determine a energia de deformação 
devido à fl exão, para a barra de aço e o carregamento mostrado.
Fig. P11.28
Fig. P11.30
Fig. P11.32
Fig. P11.27
Fig. P11.29
Fig. P11.31
w
BA
L
B
C
180 kN
A
2,4 m 2,4 m
4,8 m
W360 � 64
w
B
A
L
B
D E
80 kN
A
80 kN
W310 � 74
1,6 m 1,6 m 1,6 m
4,8 m
B
D
A
35,6 kN
I200 3 27,4
1829 mm
914,4 mm
B
A D
C
D
1524 mm
381 mm 381 mm
38,1 mm
76,2 mm
8,9 kN 8,9 kN
PROBLEMAS
11.77 até 11.79 Usando as informações no Apêndice D, calcule o trabalho 
das cargas quando elas são aplicadas à viga (a) se a força P for aplicada primeiro e (b) 
se o momento M for aplicado primeiro.
11.80 até 11.82 Para a viga e carregamento mostrados, (a) calcule o trabalho 
das forças quando elas são aplicadas sucessivamente à viga, usando as informações 
fornecidas no Apêndice D, (b) calcule a energia de deformação da viga pelo método 
da Seção 11.4 e mostre que ela é igual ao trabalho obtido na parte a.
11.83 e 11.84 Para a viga prismática mostrada, determine a defl exão no 
ponto D.
11.85 e 11.86 Para a viga prismática mostrada, determine a inclinação no 
ponto D.
11.87 Para a viga prismática mostrada, determine a inclinação no ponto B.
Fig. P11.80
Fig. P11.78Fig. P11.77 Fig. P11.79
Fig. P11.81
Fig. P11.83 e P11.85
Fig. P11.84 e P11.86
Fig. P11.82
Fig. P11.87
P
L
B
A
M0B
A
C
P
M0
L/2 L/2
BA
C
P
M0
L/2 L/2
A B
D
L/4 L/2 L/4
E
P P
P P
BA
C
L/2 L/2
BA
L
M0 M0
M0
A B
C
L/2 L/2
BD
L/2 L/2
A
P
L/2 L/2
B
A
D
w
741
742 Métodos de energia 11.88 e 11.89 Para a viga prismática mostrada, determine a defl exão no 
ponto D.
11.90 e 11.91 Para a viga prismática mostrada, determine a inclinação no 
ponto D.
11.92 Para a viga e carregamento mostrados, determine a defl exão do ponto 
A. Use E � 200 GPa.
11.93 Para a viga e carregamento mostrados, determine a defl exão do ponto 
B. Use E � 200 GPa.
11.94 e 11.95 Para a viga e carregamento mostrados, determine a defl exão 
no ponto B. Use E � 200 GPa.
11.96 Para a viga e carregamento mostrados, determine a inclinação na extre-
midade A. Use E � 200 GPa.
11.97 Para a viga e carregamento mostrados, determine a defl exão no ponto 
C. Use E � 200 GPa.
11.98 Para a viga e carregamento mostrados, determine a inclinação na extre-
midade A. Use E � 200 GPa.
Fig. P11.92 e P11.93
Fig. P11.94
Fig. P11.96
Fig. P11.95
Fig. P11.97 e P11.98
Fig. P11.89 e P11.91Fig. P11.88 e P11.90
B
E
D
A
L/2 aL/2
P
A B
w
D E
L/2 L/2 L/2
6,67 kN 6,67 kN
A
CB
1524 mm 1524 mm
W200 3 19,3
A
CB
0,6 m 0,9 m
40 mm
80 mm
5 kN/m
4 kN
B
DC
A
35,6 kN
I200 3 27,4
1829 mm
914 mm
914 mm
B
C
160 kN
A
2,4 m 2,4 m
4,8 m
W310 � 74
8 kN
A
C
18 kN/m
B
1 m 1,5 m
2,5 m
W250 3 22,3
11.99 e 11.100 Cada barra de treliça da fi gura é feita de aço e tem seção trans-
versal com a área indicada. Usando E � 200 GPa, determine o deslocamento indicado.
 11.99 Deslocamento vertical do nó C.
 11.100 Deslocamento horizontal do nó C.
11.101 e 11.102 Cada barra de treliça mostrada é feita de aço e tem a 
seção transversal com a área indicada. Usando E � 200 GPa, determineo deslo-
camento indicado.
 11.101 Deslocamento vertical do nó C.
 11.102 Deslocamento horizontal do nó C.
11.103 e 11.104 Cada barra de treliça mostrada é feita de aço e tem a seção 
transversal com a área de 500 mm2. Usando E � 200 GPa, determine o deslocamento 
indicado.
 11.103 Deslocamento vertical do nó B.
 11.104 Deslocamento horizontal do ponto B.
11.105 Para a viga e carregamento mostrados e usando o teorema de Casti-
gliano, determine (a) a defl exão horizontal B e (b) a delfexão vertical do ponto B.
11.106 Para a barra de seção uniforme e o carregamento mostrados e usando 
o teorema de Castigliano, determine a defl exão do ponto B.
Fig. P11.99 e P11.100
Fig. P11.103 e P11.104
Fig. P11.101 e P11.102
Fig. P11.105
Fig. P11.106
1,5 m
2 m
210 kN
1200 mm2
1800 mm2
A
C
B
1,5 m
A
R
B
P
B
R
A
P
2,5 m
1,6 m
1,2 m
1,2 m
4,8 kN
C
D
B
A
Problemas 743
C
B
1219 m 1524 mm
114 m
33,4 kN
2581 mm2
A
1290 mm2
3871 mm2
744 Métodos de energia 11.107 Duas barras AB e BC de mesma rigidez à fl exão EI são soldadas jun-
tas em B. Para o carregamento mostrado, determine (a) a defl exão do ponto C e (b) a 
inclinação do elemento BC no ponto C.
11.108 Uma barra de seção uniforme com rigidez à fl exão EI é dobrada e 
carregada conforme mostra a fi gura. Determine (a) a defl exão horizontal do ponto D 
e (b) a inclinação no ponto D.
11.109 Uma barra de seção uniforme com rigidez à fl exão EI é dobrada e 
carregada conforme mostra a fi gura. Determine (a) a defl exão vertical do ponto D e 
(b) a inclinação da barra BC no ponto C.
11.110 Uma barra de seção uniforme com rigidez à fl exão EI é dobrada e car-
regada conforme mostra a fi gura. Determine (a) a defl exão vertical A e (b) a defl exão 
horizontal do ponto A.
11.111 até 11.114 Determine a reação no apoio móvel e trace o diagrama do 
momento fl etor para a viga e carregamento mostrados.
Fig. P11.107
Fig. P11.112Fig. P11.111
Fig. P11.113 Fig. P11.114
Fig. P11.110
Fig. P11.108 e P11.109
P
L
L
C
B
A
60�
C
l
l
B
A
P
A
L
B
M0
C
P
D
l
l
A
B
A
L/2 L/2
B
C
P
B
C
w
L/2 L/2
A
A
L
BD
a b
M0