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a
 Lista : EDO : Prof. Paulo : 2000/2: 
 
1. A EDO 
(E) 02  yytyt  
é conhecida como a equação de Euler . Observe que 
yytyt ,,2 
 são múltiplos de 
rt
se 
rty 
. Isto sugere que tentemos 
rtty )(
 como solução de (E). Mostre que isto de fato 
acontece se só se: 
.0)1()( 2   rrr
E
p
 
 
2. Determine a solução geral da EDO: 
 tyytyt 0 , 0552
. 
 
3. Resolva o 





1)1(,0)1(
0 , 02
:
2
yy
tyytyt
PVI
 
 
4. Na EDO (E) , já sabemos que 
rtty )(1
é uma solução se 
0)( r
E
p
. Supondo que 
 4)1( 2 
 
mostre que 
ttty ln)( 2/)1(2

 
é outra solução de (E). Determine se 
)(),( 21 tyty
 formam um conjunto fundamental. 
 
5. Determine a solução geral da EDO: 
.0 , 032  tyytyt
 
 
6. Resolva o 





32
2
2)2/1(,3)2/1(
0 , 0
:
yy
tyytyt
PVI
 
 
7. Na EDO (E) seja 
 ir 1
 uma raiz complexa de 
0)( r
E
p
. 
(i) Mostre que 
)]lnsen()ln[cos(ln tittett tii   
é uma solução complexa de (E). 
(ii) Mostre que 
)lnsen()( , )lncos()( 21 tttyttty    
são soluções reais de (E). Elas formam um conjunto fundamental ? 
 
8. Determine a solução geral da EDO: 
 tyytyt 0 , 02
. 
 
9. Resolva o 





53
2
3)2/1(,5)2/1(
0 , 022
:
yy
tyytyt
PVI
 
 
10. Sejam 
0,, cba
. Prove que toda solução da EDO : 
0 cyybya
 tende a zero 
quando 
t
. 
5
a
 Lista: EDO: Prof. Paulo: 2000/2: 
 
11. Sabendo que a EDO 
03)31(  yytyt
 
possui uma solução da forma 
cte
, determine a solução geral. 
 
12. Obtenha a solução geral : 
.0)( .0)2)(( .0)( .02)(
.0))(( .0243626156)( .01285)(
)(22
4)()(


yygyIDxfyyeyyyd
yIDcyyyyyybyyyya
iv
ivv
 
13. Obtenha operadores diferenciais lineares que destruam as funções abaixo: 
.43)( .sen)21()( .sen)( .)( 2212 xxx xexdxxxcxexbexa  
 
 
14. Mostre que o Wronskiano das funções 
xkxkxk neee ,...,, 21
é a função: 

11
2
1
1
22
2
2
1
21)...(
...
...
...
1...11
21


n
n
nn
n
nxkkk
kkk
kkk
kkk
e n 
Este é o determinante de Vandermonde. Quando ele se anula? 
 
15. Seja 
nPxp )(
 e seja 
)(DpL 
. Prove que : 
xx epxeL  )()]([ 
. Use esse fato para 
mostrar que para todo operador diferencial linear à coeficientes constantes L, tem-se 
que 
. defator é )(0)]([ LIDxeL x   
 
16. Obtenha a solução geral: 
.sen6)(
).cos1)(12(4)( .cos252)( .)53(96)(
.45)( .2)( .44)( .13)(
2
22347
723
tteyyyh
tttyyygtyyyfettyyye
etyyydeyyycteyyybtyya
t
t
ttt


 
 
17. (i) Seja 
yryrytyL 22)]([ 
. Mostre que 
.)]([ vetveL rtrt 
 
 (ii) Use isso para obter a solução geral da EDO: 
.96 32/3 tetyyy 
 
 
18. (i) Mostre que 
).3Re(
4
1
cos 33 wtiwti eewt 
 
 (ii)Obtenha a solução geral da EDO: 
)10(cos2510002,010 3 tyyy 
 . 
 
19. Obtenha a função de Green para os operadores diferenciais dados: 
].2)1)[(( ).22)(( ).)(( ).)(( 222222 xDDxdIxDDxcIDDbaIDa   
----------  ----------