Lista - Derivadas 2

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	Engenharia e Arquitetura
	DISCIPLINA:
Cálculo Diferencial
	CURSO: Engenharia e Sistema da Informação
	SEMESTRE: 1º
	
	PERÍODO LETIVO: 2011.1
	PROFESSOR: Adalberto Santos
 
 
3ª Lista de Exercícios (conceito de derivada e regras de derivação)
PARTE I
Lembre que a derivada de uma função y = f(x) em um ponto xo, é a taxa de variação instantânea em xo , ou seja, 
.
Interpretação geométrica da derivada de uma função f no ponto xo : f´(xo) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P0 = ( xo , f(xo))
1. Para cada uma das funções a seguir calcule f ´(a), usando a definição, caso exista. 
a) f(x) = senx ; a = 0 b) y = x2 – 3x ; a = 2 c) f(x) = 
 ; a = 0 d) y = 
; a = 2 
2. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir, usando definição:
 a) f(x) = 2x2 – 3x +1 b) f(x) = 
 c) y = 2 d) y = 
 
3. Considere a função f(x) = x2 – 2x.
Mostre, usando a definição, que f´(x) = 2x – 2
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que xo = 2
Determine o ponto desta curva onde a reta tangente é horizontal.
Para que pontos desta curva a reta tangente forma um ângulo agudo ?
4. Use os resultados obtidos na questão 2 para determinar a equação das retas tangente e normal ao gráfico da função f , em cada caso a seguir:
 a) 
 no ponto onde a reta tangente é paralela à reta r: y = (1/2) x + 1 
 b) f(x) = 1/x no ponto do 3º quadrante onde a reta tangente é perpendicular à 1ª bissetriz. 
Observação: A reta normal a uma curva num ponto Po é a reta que passa por Po e é perpendicular à reta tangente neste ponto.
Interpretação física da derivada de uma função f no ponto x0: Suponha que um ponto P percorra uma reta de modo que a sua posição num instante t seja dada por s(t). A velocidade média do ponto P no intervalo de tempo de to a to + (t é dada por 
 . A velocidade instantânea do ponto P no instante to é dada por v(to) = 
= 
.
5. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de 
e sua altura em metros após 
segundos é dada por: 
. 
a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando 
 e dura: 
 (i) 
 		(ii) 
 
b) Encontre a velocidade instantânea quando 
.
6. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação do movimento 
, onde 
 é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula nos instantes 
.
RESPOSTAS PARTE I
1. a) 1; b) 1 ; c) não existe; d) –3 2. a) 4x – 3 b) 
 c) 0 d) 
 3. b) y = 2x – 4 c) P = (1, –1) d) P = (a, a2 – 2a) , onde a >1
4. a) t: y = (1/2)x+1 ; n: y = – 2x +1 (c) t: y = –x – 2 ; n: y = x 
5. a) i) –23,9 m/s; ii) –23,99m/s ; b) –24m/s
6. v(a) = (12a2 + 6)m/s; v(1) = 18m/s; v(2) = 54m/s
PARTE II
1) 
2)
3)
4)
5)
Gabarito questão 05
 
PARTE III
1. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
	a) f(x) =
	b) f(x) =
 
	c) y = 
 + ln5 
	d) y = x5 +
 – 
 
	e) y = 
 
	f) y = 
 – 
 
	g)
 
	h) f(x) = sen x ( cos x + x ( cosec x 
	i) 
	j) 
 
	k) 
 
	l) 
 
	m) 
	n) 
2. Determine a expressão da derivada indicada, e o seu valor no ponto dado:
	a)
	b) 
	c) 
 no ponto 
	
3. Para cada um dos itens a seguir determine:
 a) 
.
 b) 
, sabendo-se que 
 c) A função g , sabendo-se que 
4. Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
	a) 
	b) y = 2 ln x – (log x) / 2 + 
	c) y = 
	
d) 
	e) 
	f)
 
 
	g) 
 
	h) 
 
	i) 
	j) 
	k) 
	l) 
	m) 
 
	n) 
	o) 
 
	p) 
 
5. (Derivadas de ordem superior) Encontre a expressão das derivadas indicadas 
a) 
; 
; b) 
; 
; 
c) 
 e 
, onde f(u) = u2 e u(x) = x3 – 4 	
6. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
 no ponto de abscissa xo = 
.	
7. (Derivada na forma implícita) Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
 
 e 
 ; 
 no ponto P (–1,0) 
8) Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de 
no ponto de abscissa x0 = 1.
RESPOSTAS PARTE III:
1. 	
	a) y´= 
	b) 
y´= (x2 – 1) (3x – 1) (15x2+2) + 3(x2 – 1) (5x3 +2x) + 2x(3x – 1) (5x3+2x) 
	c) y´= 
	d) y´= 5
 – 3cossecx.cotgx – (sec2x)/3 
	e) y’=
 
	 f) y’ =
 
	g) 
	 h) y´= cos2x – sen2x + cosec x – x cosec x( cotg x
	i) 
	 j) 
	k) 
	 l) 
 
	m) 
	 n) 
2. a) 
 ; 
=
; 
b)
; 
 
c) 
; 
 ; d) 
; 
 
3. a) 2; b) 20; c) g(x) = 2x + 8/3
	4.a) 
	
b) y’=
 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
	h) 
	i) 
	j) 
	k) 
	l) 
	m) 
	n) 
	o) 
 	
	p) 
5. a) 
 b) 
; c) 
; 
6. a) Tangente (T): 
; Normal (N): 
 
b) T:
; N: 
 	 
7. a) 
; 
 ; 
; 
 b) 
; 
 c) 
 ; 
 		 	 d) 
 ; 
 
8. Tangente 
; Normal 
 
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