EP8-2015-2gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP8 – Gabarito – Métodos Determinísticos I – 2015-2
Exercício 1 (AP1 - 2014.1) Na AD2 de Métodos Determinísticos I, composta de duas questões,
560 alunos acertaram somente uma das questões e 310 acertaram a segunda. Sendo que 70 alunos
acertaram as duas questões e 275 erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Solução: Sabemos que a melhor forma de resolver este tipo de questão é começar pelo número de
elementos na interseção dos conjuntos existentes. No caso, os conjuntos são:
A: conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão;
B: conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão.
O número de alunos na interseção dos dois conjuntos é 70. Como 310 acertaram a segunda questão e,
neste total, também contam os que acertaram a primeira questão, temos que 310-70=240 acertaram
apenas a segunda questão. Como 560 alunos acertaram somente uma das questões, temos que 560-
240= 320 acertaram apenas a primeira questão. Finalmente, como 275 erraram a primeira questão e
estes podem ter acertado ou errado a segunda questão, temos que 275-240=35 alunos não acertaram
nenhuma das questões. Desta forma,
320 + 70 + 240 + 35 = 665
é o número de alunos que fizeram a prova. Abaixo temos o diagrama de Venn relativo a este problema.
Exercício 2 (Esaf) Percival encontra-se à frente de três portas numeradas de 1 a 3, cada uma das
quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas, encontra-se uma linda princesa; em outra, um
valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma
inscrição:
Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”
Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entre na porta 3 pois
atrás dela encontra-se um feroz dragão.”
Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”
Métodos Determinísticos I EP8 2
Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as outras duas
verdadeiras), determine a que conlusão, correta, Percival chegou em relação ao que se encontra atrás
de cada uma das três portas.
Solução: A princípio não sabemos, é claro, qual é a inscrição falsa. Podemos começar, então,
analisando qualquer uma das inscrições, a não ser que percebamos, ao lê-las, algo que nos indique
por onde começar. No nosso exercício, veja que seria produtivo começar com as inscrições 2 e 3,
por exemplo, pois a inscrição na porta 2 diz “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas
cuidado: não entre na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” , isto é, atrás da porta
2 tem um valioso tesouro e atrás da porta 3 um feroz dragão. Por outro lado, a inscrição na porta
3 diz “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”. Ou seja, uma diz que
o dragão está na porta 3 e outra diz que não, isto significa que uma destas inscrições é falsa.
Mas vamos resolver supondo que não tivéssemos percebido isso. Vamos a resolução.
Como uma das inscrições é falsa. Vamos supor que seja a primeira e ver o que acontece. Desta
suposição, segue que as inscrições 2 e 3 deveriam ser verdadeiras. Como a inscrição da porta 2
é verdadeira isto significa que as proposições “atrás da porta 2 tem um valioso tesouro” e “atrás
da porta 3 tem um feroz dragão” são verdadeiras. Consequentemente, a proposição da inscrição
da porta 3 é falsa. O que não pode acontecer pois pressupomos que a inscrição da porta 3 é ver-
dadeira. Logo, a inscrição da porta 1 não é falsa, é verdadeira. Logo, a princesa está atrás da porta 2.
Continuando nossa análise, o que há atrás da porta 1 e 3?
Supondo, agora, que a inscrição 2 é falsa e sabendo que a princesa está atrás desta porta, concluimos
que não tem um valioso tesouro atrás dela. Logo, a outra proposição ”não entre na porta 3 pois atrás
dela encontra-se um feroz dragão” pode ser verdadeira ou falsa. Suponhamos que ela seja verdadeira,
logo a inscrição da porta 3 é falsa. O que conduz a duas proposições falsas. Consequentemente,
“atrás da porta 3 encontra-se um dragão” tem de ser falsa. Como, a princesa está atrás da porta
2, e o dragão não está atrás da porta 3, o dragão está atrás da porta 1. E, consequentemente, o
tesouro está atrás da porta 3.
Se começassemos a resolver o exercício a partir da porta 2, supondo que essa inscrição é falsa
usaríamos o raciocínio que foi feito imediatamente acima. E, por outro lado, se começarmos pensando
que a inscrição da porta 3 é falsa, entraríamos em confronto com a inscrição da porta 2 com a porta
1.
Exercício 3 (AP1 - 2010.2) Seja A =
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
}
e B =
{
1, 2, 3, 4,
1
5
}
. Decida se são falsas ou
verdadeiras as proposições a seguir e justificando sua resposta.
a) y ∈ B =⇒ 1
y
∈ A
b) ∀x ∈ A, 1
x
∈ B
c) ∀x ∈ A, (x ∈ N⇐⇒ x ∈ B)
d) ∃x ∈ A; 1
x
∈ A
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Métodos Determinísticos I EP8 3
e) ∀x ∈ B; (x ∈ N ∨ x < 1)
Solução:
a) y ∈ B =⇒ 1
y
∈ A
A proposição é falsa, o que se verifica tomando y =
1
5
.
b) ∀x ∈ A, 1
x
∈ B
A proposição é verdadeira. Verificamos tomando cada elemento de A e observando que seu
inverso multiplicativo pertence a B: para x = 1,
1
x
= 1 ∈ B; para x = 1
2
,
1
x
= 2 ∈ B; para
x =
1
3
,
1
x
= 3 ∈ B; para x = 1
4
, 1/x = 4 ∈ B.
c) ∀x ∈ A, (x ∈ N⇐⇒ x ∈ B)
A proposição é verdadeira. O único natural em A é o 1, que também é elemento de B (logo todo
natural em A pertence também a B). Além disso, o único elemento de A que é elemento de B é
o 1 (logo todo elemento de A que é elemento de B é natural).
d) ∃x ∈ A; 1
x
∈ A
A proposição é verdadeira, o que se verifica tomando x = 1.
e) ∀x ∈ B; (x ∈ N ∨ x < 1)
A proposição é verdadeira. O único elemento de B que não é natural é o
1
5
, que é menor que 1.
Exercício 4 (AP1 - 2011.1)
Considere as seguintes premissas sobre o conjunto A:
1) A ⊂ N
2) ∀x ∈ A, x > 10
3) Se (∃x ∈ A; x > 20), então (5 ∈ A)
4) ∀x ∈ A, (x é ímpar ⇐⇒ x > 25)
Analise as premissas acima e diga o que se pode concluir a partir delas sobre o conjunto A. É ne-
cessário que você apresente o raciocínio que usou para deduzir sua conclusão a partir das premissas
dadas e que aponte sua conclusão de forma destacada do resto de sua resposta.
Solução: Pela primeira premissa, sabemos que A é um subconjunto dos naturais. A segunda
premissa nos diz que todos os elementos de A são maiores que 10. A partir desta informação
a terceira premissa nos permite deduzir que não há em A nenhum elemento maior que 20, pois
caso houvesse, 5 pertenceria a A, o que é vetado pela premissa 2. Até aqui já sabemos que
A ⊂ {11, 12, 13, · · · , 18, 19, 20}. A premissa 4 nos diz que para todo x que pertença a A, x é
ímpar se e somente se x > 25. Mas já sabemos que A não tem nenhum elemento maior que 25, logo
todos os elementos de A devem ser pares. Podemos concluir que A ⊂ {12, 14, 16, 18, 20} (veja que
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Métodos Determinísticos I EP8 4
não temos como saber se vale a igualdade).
Conclusão: A ⊂ {12, 14, 16, 18, 20}.
Exercício 5 (AP1 - 2014.2) O salário mensal de um vendedor é formado de uma parte fixa igual a
dois salários mínimos acrescido de uma comissão de 5% sobre o total de vendas no mês. Sabendo
que um salário mínimo é igual a R$ 750, 00 e que no mês de dezembro o salário foi de R$ 1860, 00,
responda os itens a seguir.
(a) Determine o valor total de vendas no mês de dezembro.
(b) Considerando que em janeiro, do ano seguinte, as vendas cairam 25%, determine o salário do
vendedor no mês de janeiro.
Solução:
(a) Seja S o salário do vendedor no mês de dezembro e V o valor total de vendas. Logo,
S = 2 · salário mínimo+ 5% do total de vendas.Ou seja,
1860 = 2 · 750 + 5
100
· V
=⇒ 5
100
· V = 1860− 2 · 750
=⇒ 5
100
· V = 1860− 1500
=⇒ 5
100
· V = 360
=⇒ V = 7200.
Logo, o valor total de vendas no mês de dezembro é igual a R$ 7200,00.
(b) Como as vendas cairam 25% isto equivale a dizer que houve uma perda de 25% de V .
Ou seja, houve uma perda de R$ 1800,00. Assim, em janeiro, o total de vendas foi de 7200−
1800 = 5400.
E, portanto, o salário de janeiro é igual a 1500 +
5
100
· 5400 = 1500 + 270 = 1770.
Logo, o salário do mês de janeiro é R$ 1770,00.
Exercício 6 (AP1 - 2014.1) Em um hospital, 40% dos funcionários são médicos. Destes 40%,
15% são ortopedistas. De todos os funcionários do hospital, qual é a percentagem de médicos
ortopedistas?
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Métodos Determinísticos I EP8 5
Solução: Vamos chamar de F o número de funcionários do hospital, de M o número de médicos
do hospital e de O o número de ortopedistas do hospital. Neste caso, como 40% dos funcionários
são médicos, temos que
M =
40
100
F.
Além disto, como 15% destes 40% são ortopedistas, temos que
O =
15
100
M =
15
100
· 40
100
F =
6
100
F.
Portanto, 6% dos funcionários do hospital são médicos.
Exercício 7 O custo C para enviar uma encomenda pelo SEDEX é dado pela fórmula
C = 10 + 0, 3(p− 1),
onde p representa o peso da encomenda em quilogramas.
a) Se o custo de uma encomenda for de 12, 7 reais, determine qual deve ser o peso em quilogramas
dessa encomenda.
b) Determine o intervalo de variação, possível, do peso, para que o custo não ultrapasse 20,5 reais.
Solução:
a) Como pelo enunciado C = 12, 7, segue que
10 + 0, 3(p− 1) = 12, 7 ⇐⇒ 10 + 3
10
(p− 1) = 12, 7
⇐⇒ 3
10
(p− 1) = 12, 7− 10
⇐⇒ 3
10
(p− 1) = 2, 7
⇐⇒ 3
10
(p− 1) = 27
10
⇐⇒ 3(p− 1) = 27
⇐⇒ p− 1 = 9
⇐⇒ p = 10 kg .
Portanto,o peso da encomenda deve ser de10 kg.
b) Para que o custo não ultrapasse 20, 5 reais, devemos ter C ≤ 20, 5. Ou seja, devemos resolver a
inequação
10 + 0, 3(p− 1) ≤ 20, 5 ⇐⇒ 3
10
(p− 1) ≤ 10, 5
⇐⇒ 3
10
(p− 1) ≤ 105
10
⇐⇒ 3(p− 1) ≤ 105
⇐⇒ p− 1 ≤ 35
⇐⇒ p ≤ 36.
Logo, o intervalo é (0, 36].
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Métodos Determinísticos I EP8 6
Exercício 8 (AP1 - 2014.1)
a) Resolva a expressão a seguir.
(
3
2
)3
÷
(
16
25
)
−
1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 3
9
,
escrevendo a resposta na forma de uma fração irredutível.
b) Racionalize a expressão abaixo, colocando o resultado na sua forma mais simples.
√
10√
3−√2 +
√
5√
5−√6
Solução:
a)
(
3
2
)
3
÷
(
16
25
)
−
1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 3
9
=
27
8
÷
(
25
16
) 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 1
3
=
27
8
÷ 5
4
− 3
√
2
5
3
√
2
=
27
8
· 4
5
− 5
=
27
10
− 5 = 27
10
− 50
10
= −23
10
.
b)
√
10√
3−√2 +
√
5√
5−√6 =
√
10√
3−√2 ·
(√
3 +
√
2
)
(√
3 +
√
2
) +
√
5√
5−√6 ·
(√
5 +
√
6
)
(√
5 +
√
6
)
=
√
10
(√
3 +
√
2
)
1
+
√
5
(√
5 +
√
6
)
−1
=
√
10
(√
3 +
√
2
)
−
√
5
(√
5 +
√
6
)
=
√
30 +
√
20−
√
25−
√
30
=
√
20−
√
25
= 2
√
5− 5
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Métodos Determinísticos I EP8 7
Exercício 9 (AP1 - 2015.1)
a) Determine o valor da expressão aritmética
(3)−1 − (27)2/3
b) Determine o valor da expressão aritmética
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
c) Simplifique a expressão algébrica
a2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b ,
sabendo que a > 0, b > 0 e a 6= b.
Dica: Racionalize a expressão: − 1√
a+
√
b
.
Solução:
a) (3)−1 − (27)2/3 = 1
3
− 3
√
(27)2 =
1
3
− 9 = 1
3
− 27
3
=
1− 27
3
= −26
3
b)
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
− = −2
5
[
1 +
(
7
2
− 10
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1 +
(
−3
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1− 3
2
· 4
3
− 7
2
]
= −2
5

1− ✁3
✁2
· ✁✁✕
2
4
✁3
− 7
2


= −2
5
[
1− 2− 7
2
]
= −2
5
[
2
2
− 4
2
− 7
2
]
= −2
5
[
−9
2
]
= −✁2
5
[
−9
✁2
]
=
9
5
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Métodos Determinísticos I EP8 8
c)
a2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b =
a2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b
= ✘
✘✘✘(a− b)(a+ b)
(a− b)✁2
−
√
a−√b
(
√
a+
√
b)(
√
a−√b) +
√
a−√b
a− b
=
a+ b
a− b −
√
a−
√
b
a− b +
√
a−
√
b
a− b
=
a+ b− (√a−
√
b) +
√
a−
√
b
a− b
=
a+ b−√a+√b+√a−√b
a− b
=
a+ b
a− b
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