Lista de Exercicios

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
2 
Disciplina de GEOMÁTICA I e II - Lista de Exercícios 
Edição 2010 
Professores – Irineu da Silva e Paulo César Lima Segantine 
 
 
 
 Esta lista é uma coletânea de exercícios básicos de Geomática que tem por 
finalidade auxiliar o estudante a aprimorar os seus conhecimentos a respeito desta 
esta área. A ordem dos exercícios segue aproximadamente a ordem do curso 
oferecido. Para maior clareza e facilidade para o estudo, os exercícios foram 
agrupados em temas. Existem, entretanto, alguns exercícios deslocados da ordem, 
mas que foram inseridos desordenados para manterem-se de acordo com a ordem 
dos temas. 
 
 Os exercícios aqui apresentados são, na sua maioria, retirados de exemplos 
práticos criados pelos professores responsáveis pela disciplina Topografia – STT-
409 Geomática I e STT:410 Geomática II. Vários deles, entretanto, foram retirados 
de livros que versam sobre a Geomática e que se encontram indicados na 
bibliografia do curso. 
 
 
Profs. Irineu e Segantine 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
3 
Índice 
 
1. Exercícios sobre ângulos – conversões e operações ............................ 4 
2. Exercícios sobre distâncias ................................................................... 5 
3. Exercícios sobre Projeção UTM ............................................................ 8 
4. Exercícios de Topometria ...................................................................... 9 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
4 
1.Exercícios sobre ângulos – conversões e operações 
 
 
1.1 Expresse 0,6 em minutos Resp – 36’ 
 
1.2 Expresse 0,016 em segundos Resp – 57,6” 
 
1.3 Converta 2,50 rad para graus decimais Resp – 143,24 
 
1.4 Expresse 92,572 em radianos Resp – 1,61569 rad 
 
1.5 Converta 546’12”para radianos Resp – 0,10070 rad 
 
1.6 Converta 66,4941 em graus sexagesimais Resp - 6629’39” 
 
1.7 Converta 4918’37” em graus decimais Resp- 49.3103 
 
1.8 Some 3542’28”com 5731’59” Resp - 9314’27” 
 
1.9 Subtraia 2533’42” de 2813’28” Resp - 239’46” 
 
1.10 Multiplique 1328’35” por 2,7354 Resp - 3652’42” 
 
1.11 Divida 7232’10” por 2,831 Resp - 2537’19,49” 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
5 
2. Exercícios sobre distâncias 
 
2.1 Mediu-se uma distância inclinada com uma Estação Total obtendo-se um valor igual a 
347,832 m. Calcule a distância horizontal sabendo-se que o ângulo vertical zenital medido 
foi igual a 8833’51” 
 Resp – 347,723 m 
 
2.2 Mediu-se uma distância inclinada com uma Estação Total obtendo-se um valor igual a 
822,123 m. Calcule a distância horizontal sabendo-se que o ângulo vertical zenital medido 
foi igual a 9513’22” 
 Resp – 818,710 m 
 
2.3 Com uma Estação Total instalada sobre um tripé visou-se a extremidade superior de um 
poste obtendo-se os seguintes valores: 
 
Distância inclinada – 50,272 m 
Ângulo vertical de altura - 354’44” 
Altura do instrumento – 1,57 m 
 
Considerando que o terreno aonde se encontram o poste e o equipamento é plano e 
horizontal, calcule a altura do poste. 
 
 Resp – 5,00 m 
 
2.4 Através de um teodolito visou-se uma mira graduada colocada na posição vertical obtendo-
se os seguintes valores: 
 
Leitura dos fios estadimétricos: Sup – 2432 
 Méd – 1500 
 Inf - 932 
 
Angulo vertical zenital - 9256’06” 
 
Calcule a distância horizontal entre o instrumento e a mira. Considere a constante de 
multiplicação do instrumento igual a 100 e a constante de adição igual a 0. 
 
 Resp – 149,61 m 
 
2.5 Considerando os mesmos dados do exercício anterior, calcule a diferença de cota entre o 
ponto aonde está estacionado o instrumento (pto P) e o ponto aonde está estacionada a mira 
(pto Q). Considere a altura do instrumento igual 1,61 m 
 
 Resp – 7,56 m 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
6 
2.6 Considerando ainda o exercício anterior, calcule a rampa (em porcentagem, em graus e em 
proporção) entre os pontos P e Q. 
 
 Resp – 5,05%, 253’34”, 1:19,79 
 
2.7 No estaqueamento de uma estrada (20 m entre estacas) o ponto P encontra-se na estaca 
14+2,725 m e o ponto Q encontra-se na estaca 22+15,738 m. Qual é a distância entre os 
pontos P e Q? 
 
 Resp – 173,013 m 
 
2.8 Calcule a distância entre dois pontos separados por um ângulo de 1” e distantes 1000 m de 
um teodolito. 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp – 0,48 cm 
 
2.9 Calcule a mesma distância anterior considerando o ângulo igual a 1’. 
 
 Resp – 29,08 cm 
 
2.10 Calcule a mesma distância anterior considerando o ângulo igual a 1. 
 
 Resp – 17,45 m 
 
2.11 Com o mesmo raciocínio anterior, calcule o ângulo interno para uma distância entre os dois 
pontos igual a 50 cm e uma distância até o teodolito igual a 1500 m. 
 
 Resp – 001’08,7” 
 
2.12 Calcule o valor do raio médio de curvatura da Terra (R0) para um local de latitude igual a 
2158’00”, considerando o elipsóide SAD-69 como referência. 
 
 Resp – 6.362.734,958 m 
 
2.13 A distância esférica entre dois pontos ao nível do mar é igual a 1200,164 m. Qual é o valor 
da projeção dessa distância na altitude de 870,00 m? Considere a raio de curvatura médio da 
Terra nesse local igual a 6.362.735,00 m. 
 
 Resp – 1199,836 m 
 
1000m
1000m
{
1’’
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
7 
2.14 Calcule a diferença entre a distância esférica e a corda e entre a distância esférica e a 
distância horizontal entre dois pontos separados por uma distância esférica igual a 5000 m e 
a uma altitude igual a 870 m. Considere a raio de curvatura médio da Terra nesse local igual 
a 6.362.735,00 m. 
 
 Resp - +0,13 mm e –1,03 mm 
 
2.15 A partir de um ponto P, de altitude igual a 870 m, visou-se um ponto Q, obtendo-se os 
valores indicados a abaixo. 
 
Distância inclinada - 5643,856 m 
Ângulo vertical zenital - 8455’31” 
 
 Reduza a distância PQ para o nível do mar. Considere a raio de curvatura médio da Terra 
nesse local igual a 6.362.735,00 m. 
 
 Resp – 5.620,552 m 
 
2.16 Mediu-se a distância entre dois pontos P e Q utilizando-se uma Estação Total 
desconsiderando a correção devido as condições atmosféricas. A distância obtida foi igual a 
2.327,584 m. Sabendo-se que a pressão atmosférica no local da medição era de 745 mmHg 
(993mb), a temperatura era de 41 C e a umidade era igual a 95%, calcule a distância 
corrigida. 
 
 Resp – 2.327,662 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
8 
3. Exercícios sobre Projeção UTM 
 
3.1 Considerando a projeção UTM, calcule a convergência meridiana C de um ponto com as 
seguintes coordenadas geográficas: 
 
 = 1623’30.7554” 
 = 5441’22.1918” 
 
 Resp = 036’18,007” 
 
3.2 Seja um ponto de coordenada UTM - Este = 202.270,000 m. Considerando a raio de 
curvatura médio da Terra nesse local igual a 6.362.735,00 m, calcule o fator de escala k 
para esse ponto. 
 
 Resp – 1,0010948 
 
3.3 Através das coordenadas UTM de dois pontos calculou-se a distância plana entre eles 
obtendo-se o valor igual a 1.745,865 m. Sabendo-se que o fator de escala k médio para 
esses pontos é igual a 1,0010948, calcule a distância topográfica desses dois pontos em uma 
altitude igual a 870,00 m. Adotar o raio de curvatura médio da Terra nesse local igual a 
6.362.735,00 m. 
 
 Resp – 1744,194 m 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
9 
4. Exercícios de Topometria 
 
4.1 Dadas as coordenadas plano-retangulares entre dois pontos P e Q, conforme indicado na 
tabela abaixo, calcule o azimute do alinhamento PQ e a distância entre eles. 
 
Ponto Coordenadas 
E N 
P 202.567,689 7.235.745,269 
Q 202.108,112 7.236.325,779 
 
 Resp – 32137’56”, 740,407 m 
 
4.2 Dadas as coordenadas plano retangulares do ponto P, o azimute do alinhamento PQ e a 
distância horizontal entre P e Q, calcule as coordenadas do ponto Q. 
 
Ponto Coordenadas 
E N 
P 202.567,689 7.235.745,269 
Azimute PQ = 32137’56” 
Distância PQ = 740,407 m 
 
 Resp – 202.108,112; 7.236.325,779 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
10 
4.3 Considerando a figura apresentada abaixo, calcule os azimutes dos alinhamentos indicados. 
Dado: Azimute da linha 29 – 23 = 4110’35” 
 
 
 
 
Vértice Ângulo interno 
23 26131’26” 
24 9803’59” 
25 9302’06” 
26 12144’12” 
27 9710’07” 
28 19604’10” 
29 3224’01” 
 
 Resp - 12242’01”; 4046’00”; 31348’06”; 25532’18”; 17242’25”;18846’35” 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
11 
4.4 Deseja-se medir a velocidade superficial de um rio. Para tanto se lançou uma bóia e mediu-
se a sua posição em dois locais diferentes, conforme indicado na figura abaixo. As posições 
foram medidas através de dois teodolitos estacionados sobre os pontos A e B. Foram lidos 
os ângulos indicados na tabela abaixo. Calcule a velocidade de deslocamento da bóia (m/s). 
 
Estação Pto visado Ângulo Horizontal 
B A 000’00” 
 1 28922’06” 
 2 32624’40” 
A B 000’00” 
 1 4420’54” 
 2 9513’06” 
 
 
 
 
 
 
 Dados: Distância A-B = 586,629 m Tempo de deslocamento = 5 min. 
 
 Resp – 1,58 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 Dado o levantamento topográfico indicado abaixo, 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
12 
 
a) Calcule o ajustamento da poligonal; 
b) Calcule as coordenadas dos pontos irradiados 3.1 e 6.1; 
c) No alinhamento 6.1-3.1, considerando o ponto 6.1 como início do estaqueamento, 
calcule as coordenadas dos pontos A e B que estão na estaca 100 m e afastamento 100 
metros e na estaca 200 metros e afastamento 100 metros, respectivamente. (considere 
afastamento positivo p/ a direita); 
d) Calcule as áreas das duas glebas definidas pela poligonal e divididas pelos pontos 3, 3.1, 
6.1 e 6. 
 
Obs – Considere todas as distâncias no plano topográfico local 
 
Caderneta de campo do levantamento 
 
Estação Pto 
visado 
Ângulo horizontal 
 
Ângulo vertical 
 
Distância 
inclinada (m) 
1 6 000’00” 8959’40 607,174 
 2 8444’55” 9010’00 308,049 
2 1 000’00” 8950’00 308,085 
 3 14411’28” 9030’20 458,852 
3 2 000’00” 8927’40 458,860 
 4 13012’50” 9000’20 419,262 
 3.1 8823’25” 9.00’09 213,034 
4 3 000’00” 8959’37 419,264 
 5 5021’06” 8953’12 419,200 
5 4 000’00” 9015’00 419,202 
 6 24214’01” 8940’00 352,875 
6 5 000’00” 9022’13 352,880 
 1 6815’48” 9000’50 607,180 
 6.1 5449’58” 9015’12 368,458 
 
 Coordenadas planas local do ponto 1 E = 642.000,000 
 N = 7.512.000,000 
 
 Azimute local da direção 1-6 = 19959’58” (medido a partir de um ponto conhecido). 
 
 Respostas – 8”, 1:23.992, 3.1 (7511716,987; 641356,006), 6.1 (7511795,455; 641834,476), A (7511877,953; 641719,611), B 
(7511861,770; 641620,929), 184690,46 m2, 125347,05 m2 
 
 
 
 
 
4.6 Para o projeto da continuação de duas ruas em uma cidade, levantou-se uma poligonal com 
pontos irradiados, obtendo-se as coordenadas UTM indicadas abaixo. Baseado nos pontos 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
13 
levantados, calcule as coordenadas do ponto de cruzamento da continuação da rua 1 com a 
continuação da rua 2 (pto 23 indicado na figura) e indique o ângulo e a distância para a 
locação desse ponto. 
 
Obs – Notar que as coordenadas dos pontos estão na projeção UTM. 
 A altitude média do terreno nesse local é de 850,00 metros. 
 Raio de curvatura médio da Terra no local = 6.338.430,00 m. 
 O ponto 22 está localizado no eixo da rua 2. 
 Os pontos 18,19,20 e 21 estão localizados na guia da rua1. 
 
 
Pto Coordenadas 
Norte Este 
 13 7.025.083,300 627226,628 
 14 7.025.009,204 627281,874 
 15 7.024.991,540 627219,254 
 16 7.024.931,187 627301,028 
 17 7.024.806,064 627284,084 
 18 7.025.024,661 627322,393 
 19 7.025.065,878 627322,393 
 20 7.025.059,990 627334,393 
 21 7.025.028,341 627334,393 
 22 7.024.908,994 627459,261 
 
 
 
 
 
 Resp - 23 = 4908.994, 
7328.393 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
14 
 
4.7 Deseja-se construir um túnel em linha reta entre os pontos 27 e 31, conforme indicado na 
figura abaixo. Para tanto se mediu uma poligonal topográfica local aberta partindo dos 
pontos 24 e 25 de coordenadas conhecidas. Calcule qual deve ser o ângulo de partida, em 
relação a direção 27-28e a distância que se deve cavar para alcançar o ponto 31. 
 
Levantamento Topográfico 
 
Estação Pto Visado Ang. Horz. Dist. Horizontal 
(m) 
25 24 000’00” 
 26 16247’36” 79.710 
26 25 000’00” 
 27 18729’36” 102.394 
27 26 000’00” 
 28 13522’45” 138.914 
28 27 000’00” 
 29 19531’10” 131.061 
29 28 000’00” 
 30 2323’59” 127.3113 
30 29 000’00” 
 31 18922’12” 159.155 
31 30 000’00” 
 32 14746’50” 311.362 
 
Coordenadas planas local – 24 E = 7570,662 N = 4877.457 
 25 E = 7675,274 N = 4928,242 
 
 Resp – 43.3735; 454,253 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
15 
4.8 Considerando a tabela do levantamento topográfico indicada abaixo, calcule os erros de 
fechamento e as coordenadas finais dos vértices da poligonal. 
 
Estação Pto 
visado 
Ângulo horizontal 
 
Distância 
horizontal 
(m) 
BR Monte 000’00” 480,360 
1 27138’00” 346,210 
1 BR 000’00” 
2 11652’45” 448,620 
2 1 000’00” 
SP 9346’15” 502,740 
SP 2 000’00” 
Rio 000’00” 270,790 
 
 
 Dados: 
 
Ponto Coordenadas 
E N 
Monte 202.900,000 8.111.500,000 
BR 203.092,470 8.111.059,890 
SP 203.229,990 8.110.407,490 
Rio 203.499,830 8.110.384,740 
 
Resp – Fechamento angular – 9” 
 Fechamento linear - 0,25 m e 0,12 m 
 
Ponto Coordenadas finais 
E N 
1 202.771,370 8.110.930,200 
2 202.733,080 8.110.483,150 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
16 
4.9 Considerando a figura abaixo, calcule o raio do arco. 
 
Dados: Distância AB = 867,06 m 
 Distância BC = 208,15 m 
 
 
Resp – 1909.94 m 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
17 
 
 
4.10 Considerando a figura abaixo, calcule as coordenadas do ponto PI e do ponto B. 
 
Dados: Raio da Curva = 1099,00 m 
 Coordenadas do ponto A X = 150.375,00 
 Y = 250.478,00 
 Azimute do alinhamento A-PI = 7130’00” 
 Azimute do alinhamento PI-B = 15830’00” 
 
 
 
Resp - 
Ponto Coordenadas finais 
X Y 
PI 150.754,30 250.603,50 
B 151.126,50 250.456,90 
 
 
 
Universidade de São Paulo - USP 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC 
Departamento de Engenharia de Transportes – STT 
 
Exercícios de Geomática I – Edição 2010 
Profs. Irineu e Segantine 
18 
4.11 Calcular a cota do ponto P2, visado a partir de P1, e a distância entre eles, sendo 
disponíveis os seguintes dados de campo: 
 
a) cota de P1: C1=321,532 m; 
b) ângulo zenital: Z=88º37’; 
c) altura do aparelho em P1: hi=1,682 m 
d) leituras dos fios estadimétricos: S=1627 M=1325 I=1023 
 
 
4.12 Para calcular a altura livre sob um viaduto, foi feita uma visada horizontal a uma mira 
colocada sob esse vão obtendo-se três leituras indicadas abaixo, e a seguir visou-se o ponto 
mais alto, na mesma vertical, medindo-se o ângulo zenital 85º27’. Qual a altura máxima dos 
caminhões que podem passar por aí? Dados: Para visada horizontal (z=90º); S=1808, 
M=1633, I=1457.