Notas de aula - EdE (pt 2)-4

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Onde 𝑉𝑅 é o volume molar residual, o qual pode ser calculado conhecendo-se o volume molar (𝑉) 
obtido pela própria equação de estado (conforme discutido nas notas de aula do REO anterior). 
Para a entropia residual, as expressões de cada equação cúbica são mais extensas (vide Tabela 2) 
e provém da aplicação da Equação (8), válida por definição. 
𝑆𝑅
𝑅
= −𝑇 ∫ (
𝜕𝑍
𝜕𝑇
)
𝑝
𝑃
0
𝑑𝑃
𝑃
− ∫
(𝑍−1)
𝑃
𝑃
0
𝑑𝑃 (T constante) (8) 
Tabela 2. Determinação de entropias residuais a partir de equações cúbicas selecionadas. 
Equação de estado Expressão para cálculo de HR/RT 
van der Waals 
𝑆𝑅
𝑅
= −𝑅𝑙𝑛 [𝑍 (1 −
𝑏
𝑉
)] 
Redlich-Kwong 
𝑆𝑅
𝑅
= 𝑙𝑛[𝑍(1 − ℎ)] −
𝑎
2𝑏𝑅𝑇3 2⁄
𝑙𝑛(1 + ℎ) 
Soave-Redlich-Kwong 
𝑆𝑅
𝑅𝑇
= 𝑙𝑛[𝑍(1 − ℎ)] −
𝑇
𝑏
𝑑𝑏
𝑑𝑇
(𝑍 − 1) +
𝑑(𝜃𝑖 𝑏𝑅⁄ )
𝑑𝑇
𝑙𝑛(1 + ℎ) 
Peng-Robinson 
𝑆𝑅
𝑅𝑇
= 𝑙𝑛[𝑍(ℎ − 1)] +
1
2√2
𝑑(𝜃𝑖 𝑏𝑅⁄ )
𝑑𝑇
𝑙𝑛 [
1+(1+√2)ℎ
1+(1−√2)ℎ
] 
Legenda: a = termo que computa as forças atrativas por cada equação de estado, b = volume molar ocupado pelas 
moléculas do fluido, 𝑍 = fator de compressibilidade da espécie (gasosa ou líquida), 𝑉 = volume da espécie (gasosa ou 
líquida), ℎ = 𝑏/𝑉 e 𝜃𝑖 = [𝑎 𝛼(𝑇𝑟 , 𝜔)] 𝑖 para uma substância “i”. Maiores detalhes sobre todos estes termos estão 
disponíveis nas notas de aula do REO anterior. 
Todas estas equações se encontram implementadas em programas computacionais para 
cálculos de Termodinâmica, incluindo simuladores de processos. Nosso objetivo, portanto, não é 
deduzi-las; pelo contrário, devemos saber que se pode calcular propriedades residuais a partir de 
equações de estado e, mais do que isso, devemos saber aplicar alguma ferramenta computacional 
para este fim. Uma ilustração da aplicação deste conceito é apresentada na “Seção 3.4”. 
2.3 Velocidade do som 
A velocidade com que ondas sonoras se propagam em um meio é denominada velocidade 
do som (𝑐). Qual o interesse desta propriedade em cálculos de Engenharia? A velocidade do som 
exerce grande importância na análise de escoamentos de fluidos compressíveis, sendo esta 
propriedade o parâmetro limite que determina a passagem de escoamentos subsônicos a 
escoamentos supersônicos (e vice-versa). Na prática, valores de “c” podem ser relevantes no 
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dimensionamento de bocais atravessados por gases, por exemplo. Isto porque a velocidade do som 
é a máxima velocidade que um gás pode atingir ao escoar por um bocal convergente; uma vez 
atingida essa condição, não se pode conseguir aumentos adicionais de velocidade do gás a partir 
de uma diminuição de área da seção transversal, o que é uma informação importante para a 
avaliação da geometria deste dispositivo. 
A dedução matemática das equações que regem o escoamento de fluidos compressíveis 
requer a aplicação da “Equação da Continuidade” e da “Equação da Quantidade de Movimento”, 
cujas apresentações fogem do escopo de uma disciplina de “Termodinâmica” e, certamente, são 
mais convenientemente analisadas em um curso de “Mecânica dos Fluidos”. A partir destas 
equações, pode-se demonstrar que: 
𝑐 = √
1
𝑀𝑀
𝐶𝑝
𝐶𝑣
(
𝑑𝑃
𝑑𝜌′
)
𝑇
 (9) 
Onde 𝑀𝑀 denota a massa molar do composto. 𝐶𝑝, 𝐶𝑣 e as capacidades caloríficas do fluido nas 
condições termodinâmicas em que ele se encontra. 𝜌′ = 1/𝑉 é a densidade molar do fluido. Esta 
expressão aponta que a velocidade do som em qualquer meio pode ser expressa em termos de suas 
propriedades termodinâmicas, o que certamente é um resultado impressionante! Em outras 
palavras, a velocidade do som depende de como a pressão e a densidade molar do meio estão 
relacionadas. A derivação da Equação (9) pode ser feita rapidamente para um gás com 
comportamento ideal, visto que 𝑃 = 𝜌′𝑅𝑇. Assim, teríamos: 
𝑑𝑃
𝑑𝜌′
= 𝑅𝑇 e, portanto: 
𝑐 = √ 𝑅𝑇
𝑀𝑀
𝐶𝑝
𝑔𝑖
𝐶𝑣
𝑔𝑖 (10) 
Como as capacidades caloríficas de um gás ideal são 𝑓(𝑇) somente, a Equação (10) indica que a 
velocidade de propagação do som em um gás ideal depende apenas da sua temperatura. Dados 
experimentais de velocidade do som no ar em condições de baixa pressão confirmam esta previsão 
teórica. Para gases reais, pode-se utilizar a Equação (10) substituindo-se os valores de 𝐶𝑝
𝑔𝑖
 e 𝐶𝑣
𝑔𝑖
 
pelos valores de 𝐶𝑝
𝑟𝑒𝑎𝑙 e 𝐶𝑣
𝑟𝑒𝑎𝑙, os quais dependem da temperatura e da pressão em que o gás se