Prova 01 - resolvida

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Universidade de Brasília, Faculdade do Gama-FGA 
Transferência de Calor, Prof. Fábio Alfaia da Cunha. 
Matrícula. DATA 13/07/2022. 
Aluno: GABARITO 
 
Q1 Considere uma panela de aço usada para ferver água em um 
fogão elétrico. A seção inferior da panela tem espessura L=0,5cm e 
diâmetro D=20cm. Uma boca do fogão consome 1000W de potência 
durante seu uso, 85% do calor gerado é transferido uniformemente 
para a panela. A transferência de calor da superfície superior do 
fundo da panela para a água ocorre por convecção, com coeficiente 
de transferência de calor h. Considerando que a condutividade 
térmica é constante e a transferência de calor é unidimensional, 
expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições 
de contorno) desse problema de condução de calor durante operação 
permanente. Não resolva o problema. 
 
 
Solução: 
 
Pode-se admitir que a condução de calor ocorre de forma 
unidimensional (em um espaço semelhante a uma parede plana) e 
em regime permanente. Além disso, a condutividade térmica é 
constante e não existem fontes de calor, deste modo tem-se: 
tan
, pois não
, pois o existe geração
regime é permanente
geração p
cons te
Nulo
Nulo
T T
k g c
x x t

   
+ = 
   
 
Então a equação de transferência de calor pode ser simplificada: 
0
d dT
dx dx
 
= 
 
 
As condições de contorno são apresentadas a seguir. 
 
Existe transferência de calor por convecção em x=L: 
( ) [ ( ) ]
dT
k L h T L T
dx
− = − 
Já em x=0 existe fluxo de calor uniforme. 
( )0 s
dT
k q
dx
− = 
Em que: 2
2
1000 0,85
27056,34 /
0,2 / 4
s
s
s
Q
q W m
A 

= = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q2 A partir do balanço de energia em um elemento de volume 
retangular, derive a equação de condução de calor unidimensional 
transiente para uma parede plana com condutividade térmica 
constante e sem geração de calor. 
Solução: 
Na ausência de geração de calor, o balanço de calor em um elemento 
de parede que tem massa específica  , calor específico 
pc , 
espessura x , área normal a direção da transferência de calor A , 
no intervalo de tempo t pode ser expresso como: 
elemento
x x x
E
Q Q
t
+

− =

 
Onde: ( ) ( )elemento t t t p t t t p t t t
V V
E E E m c T T A xc T T

+ + + = − = − =  − 
Prosseguindo com as devidas substituições: 
( )t t t
x x x p
T T
Q Q c A x
t
 +
+
−
− = 

 
Dividindo tudo por A x : 
( )x x x t t t
p
Q Q T T
c
A x t
+ +− −
− =
 
 
Tomando os limites 0x → e 0t → , tem-se: 
1
p
Q T
c
A x t

 
− =
 
, 
pois:
0
lim x x x
x
Q Q Q
x x
+
 →
− 
=
 
 e 
0
lim t t t
t
T T T
t t
+
 →
− 
=
 
 
Da Lei de Fourier sabemos que:
T
Q kA
x

= −

 , o que resulta em: 
1
p
T T
kA c
A x x t

   
− − = 
   
 
Como a área “A” e a condutividade térmica “k” constantes, tem-se 
a equação procurada: 
2
2
1T T
tx 
 
=

 
com a difusividade térmica dada por
p
k
c


= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q3 Um longo fio de resistência homogênea, raio 0,6or cm= e 
condutividade térmica 15,2W/m Kk =  está sendo usado para 
ferver água em pressão atmosférica pela passagem da corrente 
elétrica. Calor é gerado no fio uniformemente como resultado do 
aquecimento da resistência a uma taxa de 316,4W/cm . O calor 
gerado é transferido para a água a 100ºC por convecção, e o 
coeficiente médio de transferência de calor é 23200W/m Kh =  . 
Considerando transferência de calor permanente unidimensional, (a) 
expresse a equação diferencial e as condições de contorno para 
condução de calor através do fio, (b) obtenha a relação para a 
variação de temperatura no fio, resolvendo a equação diferencial, e 
(c) determine a temperatura na linha central do fio. 
 
 
(a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno 
para condução de calor através do fio, 
Partimos da equação de transferência de calor unidimensional: 
1
p
T T
rk g c
r r r t

   
+ = 
   
 
Considerando transferência de calor unidimensional, regime 
permanente e condutividade térmica constante, o que rende: 
1
0
d dT g
r
r dr dr k
 
+ = 
 
 
Considerando geração de calor uniforme no fio e a existência de 
simetria da distribuição de temperatura em relação ao eixo do 
cilindro, assim, as condições de contorno podem ser dadas como: 
( )0 0[ ( ) ]
dT
k r h T r T
dr
− = − convecção para superfície externa. 
( )0 0
dT
dr
= simetria do campo de temperatura em relação ao eixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Obtenha a relação para a variação de temperatura no fio, 
resolvendo a equação diferencial 
Com a equação do caso e as condições de contorno pode-se 
estabelecer a distribuição de temperaturas. Primeiro multiplica-se a 
equação de transferência de calor pelo raio: 
d dT g
r r
dr dr k
 
= − 
 
 
Depois integra-se com relação ao raio: 
2
1
2
dT g r
r C
dr k
= − + 
Considerando a condição de contorno de simetria, pode-se 
estabelecer o valor da constante 
1C : 
2
1 1
0
0 (0) 0
2
dT g
C C
dr k
= − +  = 
Então: 
2
2
dT g r
r
dr k
= − . Dividindo tal equação pelo raio: 
2
dT g r
dr k
= − , e depois integrando com relação ao raio: 
2
2( )
4
g r
T r C
k
= − + 
Considerando a segunda condição de contorno determina-se 2C . 
Em 0r r= : ( )
2
0
0 20
0
0 0
( )
4( )
2
[ ( ) ]
rg
T r CrdT g
kr
dr k
dT
k r h T r T
dr

=− +
=−
− = − , 
ou seja: 
2
0 0
2
2 4
gr gr
C T
h k
= + + 
A equação final: 
( )2 20
0( )
2 4
gr g
T r T r r
h k
= + + − 
 
(c) Determine a temperatura na linha central do fio. 
Parte-se da equação de distribuição de temperatura do caso 
considerando 0r = : 
( )20
0(0) 0
2 4
gr g
T T r
h k
= + + − 
( )216,4 0,6 16,4
(0) 100 0,6 0
2 0,32 4 0,152
(0) 125,086ºC
T
T

= + + −
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q4 Um reservatório esférico de aço inoxidável ( 15W/m K)k =  de 
5m de diâmetro interno e 1,5cm de espessura é usado para armazenar 
água com gelo a 0ºC. O reservatório está situado em uma sala cuja 
temperatura é de 30ºC. As paredes da sala estão também a 30ºC. A 
superfície externa do tanque é preta (emissividade 1 = ), e a 
transferência de calor entre a superfície externa do tanque e os 
arredores é por convecção natural e por radiação. Os coeficientes de 
transferência de calor por convecção nas superfícies interna e 
externa do tanque são 280W/m K e 210W/m K , respectivamente. 
Determine (a) a taxa de transferência de calor para a água gelada no 
tanque e (b) a quantidade de gelo a 0ºC que derrete durante o período 
de 24 horas. O calor de fusão da água na pressão atmosférica é 
333,7kJ/kgifh = 
Solução: Devido ao formato do 
domínio e as condições da água, 
pode-se admitir transferência de 
calor unidimensional e regime 
permanente. Também pode-se 
admitir simetria da distribuição de 
temperatura com relação ao 
centro reservatório. 
 
 
 
(a) Taxa de transferência de calor para a água no tanque 
O circuito térmico do problema é o seguinte: 
 
As resistências térmicas são calculadas a seguir: 
q
1 2 1 1 2
1
,
,
e ,
(
1
) / (4 )
(2,515 2,5) / [4 (15)(2,515)(2,5)] 0,00001
1/ ( ) 1/ (80 78,54) 0,000159
/ ( ) 1/ [(5,57)(79,54)]=0
1
1/ ( ) 1/ (10 79,49) 0,00
0
R 1
27
1
, 0226
1
/
26
/conv o ra
v
conv i i i
rad r
o
ad
con o o
R
R r r kr r
R
h A
R
R
R
R
A
A
h
h


= =  =
=
=
= +
= 
−
=
=
− =
=
=
( ) ( )
total , 1
o
e
l
q
eq
t tal
tot
2 2 2 2 2
a
2
R = +R
R =0,0001
o
59 0,0000127
0
Em que :
5 78,54 e 5,03 79,49
O c ef. de rad. foi cálculado como: 
1 1/ 0,00126 1/ 0,
1
0,000809
R =0 0
00226
R 0,00 8
(
09
, 0
0
98
d
i
c
i o o
rad
onv i
A D m A D m
h T
R R
   

= +
=
+
= = = = = =
+
+
=
22 2
2 2
W
2m K
)( )
5,57 , para 1, 30º C ! e 5ºC( )estimado !!
cir cir
rad cir
T T T
h T T

+ +
= = = =
 
A taxa de transferência de calor permanente é dada por: 
1 2( ) / (30 0) / 0,000 0981 3 581totalQ Q WT T R = − = − = 
 
(b) Quant. de gelo a 0ºC que derrete durante o período de 24 horas 
A quantidade de calor é calculada pela aproximação: 
930581 24 3600 2.642 10Q Q t J=  =   =  
 A massa de água pode ser calculada como: 
9 3/ 2.642 10 / 333,7 10 7917kgágua ifm Q h= =   = 
Verificação de 2 sT T= estimado para o cálculo de radh : 
( )1
1
, o que rende:
/ ( )
30 30581/ [(10 5,57)79,54
 5,31ºC ( ) ,   !
conv rad o s
s conv rad o
s
s Ou seja o valor estimado era a
Q h A T T
T T Q h A
T
dequ dT a o
+ 
 +
= −
= −
= − +
=
 
 
 
 
 
Q5 Considere uma janela de vidro de 1,2m de altura e 2,0m de 
largura, cuja espessura é de 3mm e a condutividade térmica é 
0,78W/m Kk =  , separada por uma camada de 12mm de ar 
estagnado ( 0,026W/m K)k =  . Determine a taxa de transferência 
de calor permanente através dessa janela de vidro duplo e a 
temperatura da superfície interna quando o quarto é mantido a 24ºC, 
enquanto a temperatura externa é -5ºC. Considere os coeficientes de 
transferência de calor por convecção sobre as superfícies interna e 
externa da janela iguais a 2
1 10W/(m K)h =  e 2
2 25W/(m K)h =  . 
Ignore qualquer transferência de calor por radiação. 
Solução: 
Pode-se admitir transferência de 
calor unidimensional, regime 
permanente e pode-se negligenciar 
as trocas de calor por radiação. 
Assim, o circuito térmico do 
problema 
 
O circuito térmico do problema é o seguinte: 
 
As resistências térmicas são calculadas a seguir: 
2
,1 1
1 3 1 1
2 2 2
,2 2
total ,1 1 2 ,2
t
1,2 2 2,4
1/ ( ) 1/ (10 2,4) 0,0417
/ ( ) 0,003 / (0,78 2,4) 0,0016
/ ( ) 0,012 / (0,026 2,4) 0,192
1/ ( ) 1/ (25 2,4) 0,0167
R = 2 + +
R
i conv
vidro
ar
o conv
conv conv
A m
R R h A
R R R L k A
R R L k A
R R h A
R R R R
=  =
= = =  =
= = = =  =
= = =  =
= = =  =
+
total
otal
R 0,2536
=0,0417 2(0,0016) 0,192 0,0167+ + +
=
 
 
A taxa de transferência de calor permanente é dada por: 
1 2( ) / (24 ( 5)) / 0,2536
114,35
totalQ T T R
Q W
 = − = − −
=
 
 
A temperatura da superfície interna quando o quarto é 
mantido a 24ºC: 
1 1 ,1
1 1 ,1
1
1
( ) / , o que rende: 
24 114,35 0,0417
19,23º
conv
conv
Q T T R
T T QR
T
T C


= −
= −
= − 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q6 Um eixo cilíndrico longo de aço inoxidável* de 35cm de 
diâmetro deixa uma estufa a uma temperatura uniforme de 400ºC. O 
eixo é, então, esfriado lentamente em uma câmara a 150ºC com 
coeficiente médio de transferência de calor por convecção 
260W/(m K)h =  . Determine a temperatura no centro do eixo 20 
minutos após o início do processo de resfriamento. Além disso, 
determine a transferência de calor por unidade de comprimento do 
eixo durante esse período. 
2
3
kg -6W J m
m K kg Km
*aço inox: 14,9 , =7900 , 477 , =3,95 10p s
k c 
 
= =  
Solução: 
 
Determinação da temperatura no centro do eixo 20 minutos 
após o início do processo de resfriamento. 
 
Admitindo condução de calor unidimensional, simetria da 
distribuição de temperatura em relação ao centro do cilindro e 
propriedades térmicas constantes. 
A primeira medida é a determinação do número de Biot: 
60 0,175
Bi= 0,705
14,9
ohr
k

= = 
Assim o sistema não pode ser admitido aglomerado. Deve utilizar a 
abordagem para sistemas termicamente espessos. 
O número de Fourier é dado por 
2 6 2
0/ (3,95 10 )(20 60) / 0,175
0,1548
t r 

−= =  
=
 
Para este valor de  uma boa precisão de solução não é obtida 
com um único termo, mas para uma situação de prova é aceitável. 
A solução baseada em termo único é dada como: 
2
10
0, 1cil
i
T T
A e
T T
  −

−
= =
−
 
Determina-se 
1 e 
1A a partir do número de Biot com a tabela 4-2 
(cilindro): 
1 1,0935 = e 
1 1,1558A = . 
Substituindo os valores conhecidos na equação de 
0,cil : 
( )
21,0935 0,15480
0
0
150
1,1558 150 400 150 0,9605
400 150
390,12º
T
e T
T C
− −
=  = + −
−
=
 
 
Determinação da transferência de calor por unidade de 
comprimento do eixo durante esse período. 
0 1 1
max 1
2 2
0
6
max
 calor é calculado com a seguinte equação:
( )
1 2
 : 7900 0,175 (1) 760 (por metro)
e ( ) 760 477 (400 150) 90,63 10
i
p i
O
T T JQ
Q T T
Em que m V r L kg
Q mc T T J


  



 −
= −  
− 
= = = =
= − =   − = 
 
A função de Bessel foi determinada com a tabela 4-3 em função de 
1 1,0935 = : 1(1,0935) 0,4689J = . 
Então: 
max
6
390,12 150 0,4689
1 2
400 150 1,0935
0,1763
90,63 10
16MJ
Q
Q
Q
Q
− 
= − = 
− 
=

=
 
 
 
 
 
 
Q7 Em uma instalação de produção, placas grandes de bronze* de 
3cm de espessura, que estão inicialmente a uma temperatura 
uniforme de 25ºC, são aquecidas pela passagem no forno mantido a 
700ºC. As placas permanecem no forno durante 10 minutos. 
Considerando o coeficiente de transferência de calor por convecção 
280W/(m K)h =  , determine a temperatura da superfície das placas 
quando saem do forno. 
2
3
kg -6W J m
m K kg Km
*bronze: 110 , =8530 , 350 e =33,9 10p s
k c 
 
= =  
 
Solução: 
Admitindo condução de calor unidimensional, parede plana e 
simetria da distribuição de temperatura em relação ao centro da 
placa ( / 2cL L= ). A primeira medida é a determinação do número 
de Biot: 
80 (0,03 / 2)
Bi= 0,01091
110
chL
k

= = 
Assim o sistema pode ser admitido aglomerado. 
 
Para um sistema aglomerado: 
( ) bt
i
T t T
e
T T
−

−
=
−
, em que 
p
hA
b
Vc
= 
 
Usando as propriedades térmicas dadas: 
80
0,0017864
( ) 8530 0,015 350c p p c
hA h
b
L A c c L 
= = = =
 
 
0,0017864 600 0,0017864 600( ) 700
700 (25 700)
25 700
468,84ºC
T t
e T e
T
−  − −
=  = + −
−
=
 
 
 
Ou admitindo-se: 
6
6
110
3,245 10
33,9 10
p
k
c
 −
= = = 

 
6
/
80
0,001644
( ) ( / ) 3,245 10 0,015c p p c c
k
hA h h
b
L A c c L k L

  
= = = = =
 
 
0,001644 600 0,001644 600( ) 700
700 (25 700)
25 700
448,28ºC
T t
e T e
T
−  − −
=  = + −
−
=