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Universidade de Brasília, Faculdade do Gama - FGA Transferência de Calor, Prof. Fábio Alfaia da Cunha. Matrícula: ---------- DATA: 07/12/2022. Aluno: GABARITO Q1 Considere um contêiner esférico de raio interno 1r , raio externo 2r e condutividade térmica k . Expresse a condição de contorno na superfície interna do contêiner para condução unidimensional permanente nos seguintes casos: (a) temperatura especificada de 60ºC , (b) fluxo de calor especificado de 265 /W m em direção ao centro e (c) convecção para um meio em temperatura T com coeficiente de transferência de calor h . Solução da Questão 1: A condição de contorno na superfície interna do recipiente para condução unidimensional estacionária é expressa a seguir: (a) Temperatura especificada de 60°C: T(r1) = 60°C (b) Fluxo de calor especificado de 65W/m2 em direção ao centro: 2 1 direção contráriaposição ao sist. coord.da C.C.por definição ( ) 65W/m− = − dT k r dr , Simplificando a expressão: 21( ) 65W/m= dT r k dr (c) Convecção para um meio em T∞ com coeficiente de transferência de calor h: 1 1 posição definição do fluxo da C. C.definição do de convecção fluxo de difusão ( ) [ ( )]− = − dT k r h T T r dr Simplificando a expressão: 1 1( ) [ ( ) ]= − dT k r h T r T dr Q2 Bolas de aço de 8mm de diâmetro são recozidas por aquecimento a 900ºC em um forno e, depois, esfriadas lentamente até 100ºC no ar ambiente a 35ºC. Se o coeficiente médio de transferência de calor é de 275W/m K , determine o tempo de demora do processo de recozimento. Considerando que 2500 bolas devem ser recozidas por horas, determine a taxa global de transferência de calor a partir das bolas para o ar ambiente. 2 3 kg -6W J m m K kg Km Aço: 54 , =7833 , 465 e =1,474 10 = = p s k c Solução da Questão 2: O comprimento característico das bolas e o número de Biot são: 3 2 / 6 8 3 = = =0,0013 6 6 − = =c V D D E L A D 75 (0,0013) Bi= 0,0018519 54 = =chL k Como Bi é menor que 0,1 a aproximação de sistema aglomerado é aplicável. Assim, o tempo para o processo de recozimento é determinado da seguinte forma: ( ) bt i T t T e T T − − = − , em que p hA b Vc = , -1 1/ 1 75 0,015443s 7833 465 0,0013 = = = = c p p c L h A h b c V c L 0,015443( ) 100 35 900 35 167s, ou 2,8min − − − − = = − − = bt t i T t T e e T T t A massa de uma bola é dada por: 3 30,008 7833 0,0021 6 6 = = = = D m V kg A quantidade de calor transferido para uma única bola é: ( ) 0,0021(465)(900 100) 781,2J(por bola)= − = − =p f iQ mc T T A taxa total de transferência de calor das bolas para o ar ambiente torna-se: (2500 / 3600)(781) 542,5W= = =bolasQ n Q Q3 Considere uma tubulação de vapor de comprimento 8=L m , raio interno 1 4=r cm , raio externo 2 5=r cm e condutividade térmica 12 /=k W mK . O vapor flui pelo tubo a uma temperatura média de 150ºC , e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na superfície interna é 275 /=h W m K . Considerando que a temperatura média na superfície externa da tubulação é 2 80º=T C , (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da tubulação, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a taxa de perda de calor do vapor através da tubulação. Solução da Questão 3: (a) A equação diferencial do caso e obtida a partir da equação unidimensional de transferência de calor para sistema coordenado cilíndrico: 1 + = p T T rk g c r r r t Considerando condutividade térmica constante, nenhuma geração de calor e regime permanente: 0 = d dT r dr dr , As condições de contorno dadas por: Em r1: 1 1( ) [ ( )]− = − dT k r h T T r dr Em r2: 2 2( ) =T r T (b) Relação para a variação da temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial: Integrando a equação do caso com respeito a r: 1= dT r C dr ou 1= CdT dr r Separando as variáveis e integrando: 1 1= = dr dr dT C dT C r r , resulta em: 1 2( ) ln( )= +T r C r C Em que 1C e 2C são constantes arbitrárias. Aplicando as condições de contorno: 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1ln( ) / ( ) Em r : [ ( ) ] { [ ln( ) ]} + − = − − = − + C r C C r dT r C k h T T r k h T C r C dr r 2 2 1 2 2Em r : ( ) ln( )= +T r C r C Determinando 1C e 2C simultaneamente: 2 1 2 1 1ln( / ) / ( ) − = + T T C r r k r h e 2 1 2 2 2 1 1 ln( ) ln( / ) / ( ) − = − + T T C T r r r k r h Substituindo as constantes 1C e 2C na equação de T(r): 2 2 2 2 1 1 ( ) ln( / ) ln( / ) / ( ) − = + + T T T r r r T r r k r h (c) avaliação da taxa de perda de calor do vapor através da tubulação: 1 1 2 2 1 1 (2 ) (2 ) 2 ln( / ) / ( ) 1,88 = − = − = − − = + = CdT Q kA k rL k L C dr r T T Q Lk r r k r h Q W Q4 Considere uma janela de vidro de 1,2m de altura e 2,0m de largura, cuja espessura é de 3mm e a condutividade térmica é 0,78W/m K= k , separada por uma camada de 12mm de ar estagnado ( 0,026W/m K)= k . Determine a taxa de transferência de calor permanente através dessa janela de vidro duplo e a temperatura da superfície interna quando o quarto é mantido a 24ºC, enquanto a temperatura externa é -5ºC. Considere os coeficientes de transferência de calor por convecção sobre as superfícies interna e externa da janela iguais a 2 1 10W/m K= h e 2 2 25W/m K= h . Ignorar a transferência de calor por radiação. Solução da Questão 4: Pode-se admitir transferência de calor unidimensional e regime permanente. Pode-se também negligenciar as trocas de calor por radiação. O circuito térmico do problema é o seguinte: As resistências térmicas são calculadas a seguir: 2 ,1 1 1 3 1 1 2 2 2 ,2 2 total ,1 1 2 ,2 t 1,2 2 2,4 1/ ( ) 1/ (10 2,4) 0,0417 / ( ) 0,003 / (0,78 2,4) 0,0016 / ( ) 0,012 / (0,026 2,4) 0,192 1/ ( ) 1/ (25 2,4) 0,0167 R = 2 + + R = = = = = = = = = = = = = = = = = = = + i conv vidro ar o conv conv conv A m R R h A R R R L k A R R L k A R R h A R R R R total otal R 0,2536 =0,0417 2(0,0016) 0,192 0,0167+ + + = A taxa de transferência de calor permanente é dada por: 1 2( ) / (24 ( 5)) / 0,2536 114,35 = − = − − = totalQ T T R Q W A temperatura da superfície interna quando o quarto é mantido a 24ºC: 1 1 ,1 1 1 ,1 1 1 ( ) / , o que rende: 24 114,35 0,0417 19,23º = − = − = − = conv conv Q T T R T T QR T T C Q5 A resistência de um aquecedor de 2,2kW usado para ferver água é um fio com condutividade térmica k=25W/m-K, diâmetro D=5mm e comprimento L=1m. Considerando que a temperatura da superfície externa do fio da resistência é Ts=230ºC, determine a temperatura no centro do fio. Solução da Questão 5: Premissas 1 A transferência de calor é constante, pois não há variação com o tempo. 2 A transferência de calor é unidimensional, pois há simetria térmica em torno da linha central e nenhuma mudança na direção axial. 3 A condutividade térmica é constante. 4 A geração de calor no aquecedor é uniforme. A taxa de geração de calor por unidade de volume do fio é 8 3 2 2 2200 1,12×10 W/m (0.0025 )(1) = = = = gen gen fio o Q Q g V r L A temperatura central do fio é então determinada a partir da equação: 2 0 4 = + o s gr T T k , O que resulta em: 8 2 0 1,12 10 (0.0025 ) 230 237ºC 4(25) = + =T Q6 Um eixo cilíndrico longo de aço inoxidável de 40cm de diâmetro deixa uma estufa a uma temperatura uniforme de 400ºC. O eixo é, então, esfriado lentamente em uma câmara a 150ºC com coeficiente médio de transferência de calor por convecção 260W/m K= h . Determine a temperatura no centro do eixo 35 minutos após o início do processo de resfriamento. Além disso, determine a transferência de calor por unidade de comprimento do eixo durante esse período. 2 3 kg -6W J m m K kg Km Aço inox: 15 , =7900 , 477 e =4 10 = = p s k c Solução da Questão 6: Determine a temperatura no centro do eixo 35 minutos após o início do processo de resfriamento: Admitindo condução de calor unidimensional, simetria da distribuição de temperatura em relação ao centro do cilindro e propriedades térmicas constantes. A primeira medida é a determinação do número de Biot: 60 0, 2 Bi= 0,8 15 = =ohr k Assim o sistema não pode ser admitido aglomerado. Deve utilizar a abordagem para sistemas termicamente espessos. O número de Fourier é dado por 2 6 2 0/ (4 10 )(3 15 60) / 2 00 ,2, −= = = t r Para este valor de 0,21 = uma boa precisão de solução é obtida com um único termo. A solução baseada em termo único é dada como: 2 10 0, 1 − − = = − cil i T T A e T T Determina-se 1 e 1A a partir do número de Biot com a tabela 4-2 (cilindro): 1 1,1490 = e 1 1,1724=A . Substituindo os valores conhecidos na equação de 0, cil : ( ) 20,1490 0,210 0 0 150 1,1724 150 400 150 0.8885 400 150 372,13º − − = = + − − = T e T T C Determinação da transferência de calor por unidade de comprimento do eixo durante esse período. 0 1 1 max 1 2 2 0 6 max calor é calculado com a seguinte equação: ( ) 1 2 : 7900 0,2 (1) 992,743 / e ( ) 992,74 477 (400 150) 118,4 10 − = − − = = = = = − = − = i p i O T T JQ Q T T Em que m V r L kg m Q mc T T J A função de Bessel foi determinada com a tabela 4-3 em função de 1 1,1490 = : 1(1,1490) 0,4846=J . Então: max 6 372,13 150 0,4846 1 2 400 150 1,1490 0,2505 118,4 10 29,66MJ − = − = − = = Q Q Q Q Q7 A partir do balanço de energia em um elemento de volume retangular, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e sem geração de calor. Solução da Questão 7: Na ausência de geração de calor, o balanço de calor em um elemento de parede que tem massa específica , calor específico pc , espessura x , área normal a direção da transferência de calor A , no intervalo de tempo t pode ser expresso como: + − = elemento x x x E Q Q t Onde: ( ) ( ) + + + = − = − = −elemento t t t p t t t p t t t V V E E E m c T T A xc T T Prosseguindo com as devidas substituições: ( ) + + − − = t t t x x x p T T Q Q c A x t Dividindo tudo por A x : ( ) + +− − − = x x x t t t p Q Q T T c A x t Tomando os limites 0 →x e 0 →t , tem-se: 1 − = p Q T c A x t , pois: 0 lim + → − = x x x x Q Q Q x x e 0 lim + → − = t t t t T T T t t Da Lei de Fourier sabemos que: = − T Q kA x , o que resulta em: 1 − − = p T T kA c A x x t Como a área “A” e a condutividade térmica “k” constantes, tem- se a equação procurada: 2 2 1 = T T tx com a difusividade térmica dada por = p k c .