prova 01

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Universidade de Brasília, Faculdade do Gama - FGA 
 Transferência de Calor, Prof. Fábio Alfaia da Cunha. 
 Matrícula: DATA:11/10/2023. 
 Aluno: GABARITO 
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Q  01 Uma esfera metálica de raio r0 é aquecida em um forno a 
uma temperatura Ti, retirada e colocada para resfriar a uma 
temperatura ambiente T por convecção e radiação. A 
emissividade da superfície externa da esfera é , e a temperatura 
das superfícies ao redor é Tcir. O coeficiente médio de 
transferência de calor por convecção é h. Considerando uma 
condutividade térmica variável e uma transferência de calor 
unidimensional transiente, expresse a formulação matemática 
(equação diferencial e condições de inicial e de contorno) desse 
problema de condução de calor. Não resolva o problema. 
 
Solução: 
Suposições: 1 A transferência de calor é transiente 
unidimensional; 2 A condutividade térmica é variável; 3 Não há 
geração de calor no meio; 4 A superfície externa em r = r0 é 
submetida a convecção e radiação. 
Observando que há simetria térmica sobre o centro da esfera, 
convecção e radiação na superfície externa e expressando todas as 
temperaturas em K, a equação diferencial e as condições de 
contorno para esse problema de condução de calor podem ser 
expressas como: 
 
 
 
 
 
 
 
Q  02 A partir do balanço de energia 
em um elemento de volume de casca 
esférica, derive a equação de 
condução de calor unidimensional 
transiente para uma esfera com 
condutividade térmica constante e 
sem geração de calor. 
 
Solução: 
Consideramos um elemento de casca esférica fina Δr de uma 
esfera (conforme a figura da questão). A massa específica da 
esfera é ρ, o calor específico é C e o comprimento é L. A área da 
esfera normal à direção da transferência de calor em qualquer 
local é A=4πr2, onde R é o valor do raio naquela localização. 
 
Quando não há geração de calor, um balanço energético nesse fino 
elemento de casca esférica de espessura Δr durante um pequeno 
intervalo de tempo Δt pode ser expresso como: 
 
Onde:
 
Substituindo, 
 
Dividindo a equação acima por AΔR rende: 
 
Tomando os limites Δr → 0 e Δt → 0: 
 
A expressão acima foi estabelecida depois que foi reconhecida a 
definição de derivada e a Lei de Fourier da condução de calor: 
 
 
Observando que a área de transferência de calor é dada por A=4πr2 
e a condutividade térmica k é constante, a equação unidimensional 
de condução de calor transiente em uma esfera se torna: 
 
onde α = k / (ρC) é a difusividade térmica do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q  03 O vapor de água em um sistema de aquecimento flui 
através de tubos cujo diâmetro externo é de 5 cm e cujas paredes 
são mantidas a uma temperatura de 180ºC. Aletas circulares de 
liga de alumínio 2024-T6(k=186W/mK) de diâmetro externo de 
6 cm e de espessura constante de 1mm são fixadas ao tubo. O 
espaço entre as aletas é 3mm, portanto há 250 aletas por metro de 
comprimento do tubo. O calor é transferido para o ar circundante 
a T=25ºC, com coeficiente de transferência de calor de 
40W/m2K. Determine o aumento da transferência de calor a partir 
do tubo por metro de seu comprimento, como resultado da adição 
de aletas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
clc,clear all 
h=40; % 
k=186;% 
L=1; % 
D1=0.05; % 
D2=0.06; % 
r1=D1/2; % 
r2=D2/2;% 
t=0.001; % 
s=0.003; % 
n=250; % 
Tb=180;% 
T_inf=25;% 
 
% Gráf. Fig 3-43, com L=0.005 e Zeta=0.081 
Lg=(D2-D1)/2 %L=0.005 
Zeta=((Lg+t/2))*(h/(k*t))^0.5 %Zeta=0.081 
curva=(r2+t/2)/r1 %curva =1.22 
% neta0.98 
 
 
%Taxa de transf. calor sem de aletas - saleta 
Asaleta=pi*D1*L 
Asaleta = 1.5708e-01 m^2 
Qsaleta=h*Asaleta*(Tb-T_inf) 
Qsaleta = 9.7389e+02 W 
 
%Taxas de transf. considerando aletas 
%1. Taxa da parte aletada - aleta 
Aaleta=2*pi*(r2^2-r1^2)+2*pi*r2*t 
Aaleta = 1.9164e-03 m^2 
Qaletamax=h*Aaleta*(Tb-T_inf) 
Qaletamax = 11.882 W 
Qaleta=neta*Qaletamax 
Qaleta = 11.644 W 
%2. Taxa da parte não aletada - naleta 
Analeta=pi*D1*s 
Analeta = 4.7124e-04 m^2 
Qnaleta=h*Analeta*(Tb-T_inf) 
Qnaleta = 2.9217 W 
 
%Taxa total, para as “n” aletas 
Qtotalfin=n*(Qaleta+Qnaleta) 
Qtotalaleta = 3641.4 W 
 
%Aumento de taxa de transf. Pedido: 
Qaumento= Qtotalaleta - Qsaleta 
Qaumento = 2667.5W 
 
 
Q  04 Um tarugo de madeira cilíndrico (k = 0,17 W/mK e  = 
1,2810-7m2/s) tem 10 cm de diâmetro e está inicialmente na 
temperatura uniforme de 10 ºC. É exposto a gases quentes a 500ºC 
na lareira com coeficiente de transferência de calor na superfície 
de 13,6W/m2K. Considerando que a temperatura de ignição da 
madeira é 420 ºC, determine quanto tempo demora antes que o 
tarugo inflame. 
 
Solução 
% Dados: 
k=0.17 
r0=(10e-2)/2 
h=13.6 
alfa=1.28e-7 
Bi=h*r0/k % Bi = 4, logo sistema não aglomerado 
% Da tabela 4-2, para Bi=4 tem-se: Lamb1 e A1: 
Lamb1=1.9081 
A1=1.4698 
% Da tabela 4-3: J0(Lamb1*r0/r0)=0.27711 
J0=0.27711 
 
%Cálculo de tal=> 
%(T_r0t-T_inf)/(Ti-T_inf)=A1*exp(-tal*Lmab1^2)*J0 
%Conhecidos: 
T_r0t=420 
T_inf=500 
Ti=10 
 
teta=(T_r0t-T_inf)/(Ti-T_inf) 
tal=log(teta/(A1*J0))/(-Lamb1^2) 
tempo=(tal*r0^2)/alfa 
t_minutos=tempo/60 
% teta = 0.16327 
% tal = 0.2511 
% tempo = 4904s 
% t_minutos = 81.734minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q  05 Em uma instalação de produção, placas de Bronze de 3cm 
de espessura, que estão inicialmente a uma temperatura uniforme 
de 25ºC, são aquecidas pela passagem no forno mantido a 700ºC. 
As placas permanecem no forno por 10 minutos. Considerando o 
coeficiente de transferência de calor 280W/m Kh   , determine 
a temperatura da superfície das placas quando saem do forno. 
3
-6 2
110W/m K
=8530kg/m
350J/kg K
=33,9 10 m /s
p
Bronze
k
c


 
 

 
 
 
Solução 
clc,clear all , format short e 
% Dados do problema: 
t=60*10 
% Tempo em segundos 
ro=8530 % Massa específica em kg/m^3 
cp=350 % Calor específico a pressão const. em 
J/(kg*K) 
k=110; 
% Condutividade térmica, em W/(m* 
Lc=0.015 % Metade da espessura da placa em 
metros 
Ti=25 
% Temperatura inicial em ºC 
Tinf=700 % Temperatura do meio ambiente em ºC 
h=80 
% Coeficiente convectivo em W/(m^2* 
VporA=Lc ; % Razão entre volume e área da placa 
V=A*L, logo: L=V/A 
% número de Biot 
Bi=h*Lc /k % Bi=0.01091 
%Como Bi <0.1, o sistema é aglomerado! 
 
%O coeficiente da exponencial é dado por: 
b=h/(ro*Lc*cp ) % b=1.7864e-03/s 
%Deste modo: 
T=Tinf +(Ti-Tinf)*exp(-b*t) % T = 468.90ºC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q  06 A parede de uma geladeira é constituída de isolante de 
fibra de vidro (k=0,035W/mK) colado entre duas camadas de 
1mm de espessura de placa de metal (k=15,1W/mK). O espaço 
refrigerado é mantido a 2ºC, e os coeficientes médios de 
transferência de calor nas superfícies interna e externa da parede 
são 4W/m2K e 9W/m2K, respectivamente. A temperatura média 
da cozinha é 24ºC. Observa-se que ocorre condensação sobre a 
superfície externa da geladeira quando a temperatura da superfície 
externa cai para 20ºC. Determine a espessura mínima de 
isolamento de fibra de vidro que deve ser utilizada na parede a fim 
de evitar a condensação na superfície externa. 
 
Solução: 
Modelo matemático: 
 
Dados: 
Troom=24% 
Trefri=20% 
ho=9% 
hi=4% 
A=1%um m2 de área 
Q=ho*A*(Troom-Trefri) 
k_ins=0.035% 
Trefri=2% 
QsA=Q% 
L_metal=0.001% 
k_metal=15.1% 
 
Solução equação: 
 
L_ins=k_ins*((Troom-Trefri)/QsA-(1/ho+2*L_metal/k_metal+1/hi)) 
 
% Troom = 24 
% Trefri = 20 
% ho = 9 
% hi = 4 
% A = 1 
% Q = 36 
% k_ins = 0.035000000000000 
% Trefri = 2 
% QsA = 36 
% L_metal = 1e-03 
% k_metal = 15.1 
% L_ins = 0.0087454mm