Prévia do material em texto

Resposta: \( f'(x) = e^{2x} (2\sin x + \cos x) \). 
 Explicação: Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função. 
 
139. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = \sqrt{x} y \). 
 Resposta: \( y = Cx^{\frac{{3}}{{2}}} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial separável. 
 
140. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada 
pela curva \( y = 2x \) de \( x = 0 \) a \( x = 2 \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( 16 \pi \). 
 Explicação: Usamos o método dos discos cilíndricos para calcular o volume. 
 
141. Problema: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\ln(1 + x^2)}}{{\sin x}} \)? 
 Resposta: O limite é \( 2 \). 
 Explicação: Usamos a expansão de Taylor de \( \ln(1 + x^2) \) e \( \sin x \) para calcular 
este limite. 
 
142. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-2x} \). 
 Resposta: \( y = Ce^{-2x} - \frac{{1}}{{2}}e^{-2x} \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial linear não homogênea. 
 
143. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \tan x \), o eixo \( x 
\), e os pontos \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \ln(\sqrt{2}) \). 
 Explicação: Calculamos a integral da função \( \tan x \) de 0 a \( \frac{\pi}{4} \). 
 
144. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = x^2 \sin(3x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2x \sin(3x) + 3x^2 \cos(3x) \). 
 Explicação: Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função. 
 
145. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = y \cos x \). 
 Resposta: \( y = Ce^{\sin x} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial separável. 
 
146. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada 
pela curva \( y = \ln x \) de \( x = 1 \) a \( x = e \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( e - 1 \). 
 Explicação: Usamos o método dos discos cilíndricos para calcular o volume. 
 
147. Problema: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 - \cos(2x)}}{{x^2}} \)? 
 Resposta: O limite é \( 2 \). 
 Explicação: Usamos a expansão de Taylor de \( \cos(2x) \) para calcular este limite. 
 
148. Problema: Encontre a solução geral da equação difer 
 
encial \( y' - 3y = e^{-3x} \). 
 Resposta: \( y = Ce^{-3x} - \frac{{1}}{{3}}e^{-3x} \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial linear não homogênea. 
 
149. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \ln x \), o eixo \( x \), 
e os pontos \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: A área é \( 1 \). 
 Explicação: Calculamos a integral da função \( \ln x \) de 1 a \( e \). 
 
150. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\cos x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\tan x \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar a função composta. 
 
151. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = y \cos x \). 
 Resposta: \( y = Ce^{\sin x} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial separável.