Problemas de Cálculo e Integral

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26. **Problema:** Encontre \( \int \frac{x}{\sqrt{4x + 1}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = \sqrt{4x + 1} \). 
 
27. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( x = 3 \sin(\theta) \). 
 
28. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Complete o quadrado no denominador e utilize a 
substituição trigonométrica. 
 
29. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{2x}{x^2 - 2x + 2} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Fatorize o denominador e utilize a decomposição em 
frações parciais. 
 
30. **Problema:** Determine \( \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** A integral de \( \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \) é \( 
\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 
31. **Problema:** Calcule \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = x^2 \). 
 
32. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = \cos(x) \). 
 
33. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^3}{(x^2 + 1)^2} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = x^2 + 1 \). 
 
34. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 1 + x^2 \). 
 
35. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{1}{\sqrt 
Entendi! Vou gerar 100 problemas matemáticos universitários com respostas e 
explicações. Aqui estão: 
 
1. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \). 
 Resposta: \( f'(x) = 6x - 2 \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da potência para derivar cada termo da função. 
 
2. Problema: Resolva a equação \( 2x + 5 = 17 \). 
 Resposta: \( x = 6 \). 
 Explicação: Subtraímos 5 de ambos os lados e depois dividimos por 2 para isolar x. 
 
3. Problema: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 2}} \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}} \)? 
 Resposta: O limite é 4. 
 Explicação: Fatoramos o numerador e simplificamos para encontrar o limite. 
 
4. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 \). 
 Resposta: \( y = x^3 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Integramos ambos os lados em relação a \( x \) para encontrar \( y \). 
 
5. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a inequação \( 2x + 3 > 7 \). 
 Resposta: \( x > 2 \). 
 Explicação: Subtraímos 3 de ambos os lados e depois dividimos por 2 para resolver a 
inequação. 
 
6. Problema: Qual é a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - x^2 \)? 
 Resposta: A área é \( \frac{32}{3} \). 
 Explicação: Encontramos os pontos de interseção das duas curvas e calculamos a 
integral da diferença das funções. 
 
7. Problema: Encontre a derivada segunda da função \( f(x) = e^x \). 
 Resposta: \( f''(x) = e^x \). 
 Explicação: A derivada segunda de \( e^x \) é ela mesma.