Cinemática e dinamica da particula 6

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CINEMÁTICA E 
DINÂMICA DA 
PARTÍCULA
Alessandra de Castro Machado
Forças conservativas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o que é uma força conservativa.
 � Aplicar o conceito de força conservativa onde o trabalho resultante 
é igual a zero.
 � Calcular forças conservativas como integrantes da energia mecânica 
de valor constante.
Introdução
O estudo da causa dos movimentos revolucionou a ciência. As leis de 
Newton, que descrevem o movimento de sistemas mecânicos, promove-
ram o maior controle e a maior eficiência desses sistemas. A compreensão 
do conceito de força, da sua origem, dos diferentes tipos de força e, 
principalmente, do controle da sua intensidade, da sua direção e do seu 
sentido possibilitou um entendimento profundo dos movimentos e, 
como consequência, eles se tornaram mais efetivos.
Entender como cada tipo de força atua em um objeto em movimento 
é o primeiro passo para buscar eficiência. Para que possamos analisar a 
relação da eficiência desse movimento com a força, é preciso considerar 
a força aplicada e o trabalho realizado por ela. Dessa forma, poderemos 
avaliar se essa força é conservativa ou não conservativa. 
Neste capítulo, você vai compreender o que é uma força conservativa 
e como aplicá-la em diferentes sistemas mecânicos. Você também vai 
estudar casos especiais em que o trabalho resultante é nulo e a energia 
mecânica total se conserva.
1 Conceito
Quando fazemos a análise de um movimento, identificamos todas as suas 
características físicas e de estado. Essa análise é chamada de cinemática. 
Para uma análise da causa desse movimento, devemos observar qual ação está 
sendo realizada para que esse movimento ocorra, quem é o agente causador 
dessa interação que possibilita o movimento e qual é a sua intensidade, a sua 
direção e o seu sentido. 
Chamamos essa ação de força. De acordo com Knight (2009), força é 
uma grandeza vetorial que representa uma ação sobre um objeto (empurrão 
ou puxão, por exemplo) que pode interagir com a partícula por contato ou 
à distância. Essas forças podem ser a favor ou contra o movimento — isso 
depende do arranjo do sistema. Observe na Figura 1 algumas situações em 
que aplicamos forças de contato para realizar um movimento de translação.
Figura 1. (a) Uma pessoa exercendo uma força para deslocar sua mala. (b) Uma criança 
puxando uma corda para elevar um balde em um poço.
Fonte: (a) Phoebe Yu/Shutterstock.com; (b) Aleshart16/Shutterstock.com.
(a) (b)
Forças conservativas2
As três leis de Newton descrevem a dinâmica do movimento. Matemati-
camente, utilizamos a segunda lei de Newton para descrever a dinâmica do 
movimento: 
A força resultante ( ) é o somatório vetorial de todas as forças que estão 
agindo sobre o objeto durante o movimento observado. Ela é igual ao produto 
da massa do objeto pela sua aceleração.
Para uma análise completa do movimento, podemos fazer um diagrama 
de corpo livre, em que identificamos todas as forças que estão agindo na 
partícula. Vamos observar na Figura 2 um exemplo de diagrama de corpo livre 
de uma partícula de massa m que está subindo um plano inclinado puxada 
por uma corda.
Figura 2. Diagrama de corpo livre de uma partícula que se mo-
vimenta pela ação de uma corda que está puxando-a para cima 
no plano inclinado. As forças identificadas são: força de tensão 
(T⃗ ), força normal (N⃗), força de atrito ( ), força gravitacional (FG)
→
e suas componentes em x( ) e em y ( ).
Na Figura 2, identificamos alguns tipos de força atuando no movimento 
de subida da partícula: a força de tensão (T⃗ ), que puxa a partícula para cima; 
a força gravitacional (F→G) e as suas componentes em x e y; a força normal (N⃗); 
e a força de atrito ( ) entre a partícula e a superfície. A resultante dessas 
forças é aplicada na segunda lei de Newton para a análise do sistema. Cada tipo 
de força aplicada na partícula faz parte do movimento, pois é a sua resultante 
que pode ser capaz de mudar seu estado, gerando uma aceleração. 
3Forças conservativas
Nos sistemas que estamos estudando, o objeto em movimento é tratado como par-
tícula — ou seja, as suas dimensões são desprezíveis. 
Essas forças que estão agindo sobre a partícula em movimento podem ser 
classificadas como conservativas ou não conservativas. Essa classificação 
envolve o conceito de energia e trabalho; por isso, antes de entendermos o 
que é uma força conservativa, vamos recordar o que é energia e trabalho em 
um sistema mecânico. 
Energia
A energia é uma grandeza tão importante em nossas vidas que estamos sem-
pre trabalhando na busca do uso eficiente de energia em tudo à nossa volta. 
De acordo com Halliday, Resnick e Walker (2016), a energia de uma partícula 
é a medida do estado em que ela se encontra, e podemos descrevê-la de acordo 
com o tipo de energia que estamos analisando, como energia elétrica, térmica, 
química ou mecânica. Podemos dividir a energia mecânica envolvida no 
estudo dos movimentos em energia cinética, energia potencial gravitacional 
e energia potencial elástica.
De forma sucinta, podemos dizer que a energia cinética está relacionada 
ao estado de movimento da partícula. A energia potencial gravitacional está 
associada à posição da partícula. Por último, a energia potencial elástica está 
associada à deformação de um elemento elástico. Com isso, a energia mecâ-
nica total de um sistema em movimento é o somatório das energias cinética, 
potencial gravitacional e potencial elástica. Essas energias estão descritas 
matematicamente no Quadro 1.
Forças conservativas4
Energia Símbolos Equação
Energia cinética
EC, T ou K
 
Energia potencial 
gravitacional
EPG, UG EPG = mgh
Energia potencial 
elástica EPEL, UEL
 
Energia mecânica total EM EM = EC + EPG + EPEL
Obs.: nas equações, m é a massa da partícula, v é a velocidade, g é a gravidade, h é a altura da 
partícula, k é a constante elástica do elemento elástico, e x é a deformação do elemento elástico.
Quadro 1. Equações da energia mecânica
Trabalho
A energia de uma partícula pode ser transferida e transformada, e esse é o 
grande objetivo dos estudos que fazemos de sistemas. É também o motivo 
principal que nos leva a estudar profundamente um sistema mecânico em movi-
mento: queremos usar de forma conveniente sua energia. Um dos mecanismos 
de transferência de energia é o trabalho. De acordo com Halliday, Resnick e 
Walker (2016), trabalho (W) é a energia transferida para um objeto ou de um 
objeto por meio de uma força. Matematicamente, descrevemos trabalho como:
Para uma partícula em movimento, o trabalho realizado é proporcional 
à força aplicada e ao deslocamento da partícula entre as posições x0 e x1. 
Se uma força é aplicada sobre um objeto e não temos um deslocamento como 
consequência, não há trabalho realizado. Por exemplo, se você tentar empur-
rar uma parede, provavelmente ela não será deslocada. Você pode cansar de 
empurrá-la, porém, seu trabalho será nulo.
5Forças conservativas
Forças conservativas 
Agora, com um olhar mais abrangente do sistema que estamos estudando, 
podemos observar que aplicamos uma força para transferir energia em forma 
de trabalho sobre uma partícula, e é essa força que fará a partícula se deslocar 
da posição x0 até a posição x1. Vamos analisar o movimento de um sistema 
massa-mola.
Considere um sistema massa-mola com uma partícula esférica de massa 
m e uma mola de constante elástica k. A partir do seu ponto de equilíbrio, 
foi aplicada uma força sobre a mola, contraindo-a até a posição x1. Este será 
o ponto inicial de análise do movimento. A partir daí, a partícula vai até a 
posição x2 e, em seguida, até a posição x3. Observe a Figura 3.
Figura 3. Diagrama de um sistema massa-mola. O movimento começa na posição x1, 
vai para a posição x2 e termina na posição x3. A figura também mostra o cálculo do trabalho 
realizado pela força elástica entre as posições x1 e x2 e entre as posições x2 e x3. Além disso, 
temos o trabalhototal realizado pela força elástica.
Forças conservativas6
Observe na Figura 3 o cálculo do trabalho realizado pela força elástica. 
Foi calculado separadamente o trabalho do primeiro deslocamento (x1 → x2), 
denotado por W1→2, e do segundo deslocamento (x2 → x3), denotado por W2→3. 
Dessa forma, foi possível calcular o trabalho total WT, fazendo a soma dos 
trabalhos de cada trecho. O resultado do trabalho total realizado pela força 
elástica é muito importante:
Repare que o trabalho total desse movimento depende apenas da posição 
inicial e da posição final da partícula. Podemos concluir, a partir desse re-
sultado, que, na aplicação de uma força elástica, o trabalho não depende da 
trajetória da partícula — depende apenas das posições inicial e final. Esse é 
o conceito de uma força conservativa. Quando o trabalho realizado por uma 
força independe do caminho, podemos chamar essa força de força conservativa.
Observe a ilustração da Figura 4. Uma força conservativa F impulsiona a 
partícula, tirando-a do repouso na posição x1, e ela se desloca até a posição x2. 
A partícula tem três opções de trajetória (A, B ou C). Como a força que está 
realizando o trabalho sobre a partícula é conservativa, não importa a trajetória, 
o trabalho será sempre o mesmo, pois ele só depende das posições inicial e final. 
Figura 4. Movimento de uma partícula impulsionada por uma força conservativa que começa 
na posição x1 e vai para a posição x2. A figura mostra três opções de trajetórias: A, B e C. Porém, 
o trabalho realizado pela força conservativa é o mesmo, independentemente do caminho.
7Forças conservativas
Uma análise desse conceito em relação à energia envolve suas transforma-
ções. No exemplo do movimento do sistema massa-mola (Figura 3), temos um 
balanço entre a energia cinética da partícula e a energia potencial elástica da 
mola. Essas transformações ocorrem sem perdas na ida e na volta; com isso, 
a energia mecânica total se conserva. Daí vem o termo força conservativa, 
pois ela conserva a energia durante o movimento. 
De acordo com Nussenzveig (2013), forças, como a força gravitacional 
e a força elástica, sob a ação das quais existe uma energia mecânica que se 
conserva durante o movimento da partícula, são chamadas de forças conser-
vativas. Consequentemente, podemos definir forças não conservativas como 
forças em que a trajetória da partícula influencia o trabalho realizado por 
ela. Essas forças também são chamadas dissipativas. Durante a ação dessas 
forças, a energia mecânica não se conserva — por exemplo, a força de atrito, 
que, durante o movimento, transforma energia mecânica em energia térmica. 
Outros exemplos de forças não conservativas são a força de resistência do ar 
e a força de amortecimento.
Também podemos definir forças conservativas por meio da análise do 
trabalho realizado em um caminho fechado. Essa análise nos fornece um novo 
olhar sobre as forças conservativas.
2 Forças conservativas em um caminho fechado
Existe outra forma de avaliar se uma força é ou não conservativa. Essa nova 
análise é feita sobre um caminho fechado — ou seja, após percorrer uma 
trajetória do ponto inicial até um ponto qualquer, a partícula retorna ao ponto 
de partida. Vamos analisar um movimento de lançamento de uma partícula.
Considere uma partícula de massa m e que uma força é aplicada sobre 
ela, fazendo com que ela seja lançada para cima. Após um certo tempo, essa 
partícula chega na altura máxima e retorna ao porto inicial. Observe a Figura 5. 
A partícula sai do ponto inicial y1, passa por y2 e chega à sua altura máxima. 
A partir daí, começa a descer, passando por y3, y4 e retorna ao ponto y1. 
Um percurso que sai de um ponto inicial e retorna para o mesmo ponto é 
chamado de caminho fechado. Vamos fazer o cálculo do trabalho realizado 
pela força gravitacional FG.
Forças conservativas8
Figura 5. Movimento de uma partícula impulsionada por uma força que a lança para cima. 
O movimento começa na posição y1 e vai para a posição y2, passa por y3, y4 e retorna para 
y1. A figura ainda mostra o trabalho realizado pela força gravitacional, que é conservativa. 
O trabalho total em um caminho fechado é nulo.
A figura mostra o cálculo do trabalho realizado pela força gravitacional 
para cada deslocamento, (y1→y2), (y2→y3), (y3→y4) e (y4→y1), separadamente. 
O trabalho total é o somatório dos trabalhos realizados em cada trecho. 
O resultado nos mostra que o trabalho total realizado pela força gravitacional 
é zero.
Esse resultado nos mostra outro conceito a respeito das forças conservativas 
quando elas são aplicadas em um caminho fechado. Bauer, Westfall e Dias 
(2012) definem força conservativa como qualquer força para a qual o trabalho 
realizado sobre um caminho fechado é nulo. E é isso que acontece em nosso 
exemplo. Podemos concluir que a força gravitacional é uma força conservativa, 
logo, independe da trajetória. 
Forças conservativas não dependem da trajetória, dependem apenas dos 
pontos inicial e final do movimento. Em um caminho fechado, os pontos inicial 
e final são o mesmo ponto. Com esse raciocínio, também podemos concluir 
que, em um caminho fechado, o trabalho total será nulo. Observe a Figura 6. 
Nela, fazemos essa análise para uma força conservativa F qualquer. Essa força 
impulsiona a partícula, que sai do ponto x1, vai até o ponto x2 e retorna para 
o ponto x1 — ou seja, percorre um caminho fechado.
9Forças conservativas
Figura 6. Movimento de uma partícula impulsionada por uma força conservativa que 
começa na posição x1, vai para a posição x2 e retorna para x1. A figura ainda mostra o tra-
balho realizado pela força conservativa. O trabalho total em um caminho fechado é nulo.
Sendo essa força conservativa, o trabalho realizado por ela no deslocamento 
da posição x1 para a posição x2 na trajetória verde ou na azul é o mesmo. Para 
transformarmos a trajetória azul em um caminho de retorno, gerando, assim, 
um caminho fechado, devemos inverter o sinal do trabalho. Dessa forma, temos 
um caminho de ida e um de volta. Assim, temos que o trabalho realizado na 
trajetória de ida é igual ao trabalho realizado na trajetória de volta negativo. 
Com isso, o somatório dos trabalhos é igual a zero (como mostra a Figura 6) 
e está de acordo com o conceito de força conservativa em um caminho fechado.
O conceito de força conservativa vai muito além da sua relação com o 
trabalho realizado. Um movimento que tem esse tipo de força agindo garante 
que não haverá perda de energia; em muitos sistemas, essa característica é de 
extrema importância. Vamos entender agora um pouco dessa relação entre a 
força conservativa e a energia do movimento.
O ioiô é um brinquedo que faz um movimento de descida e subida, enrolando-se e 
desenrolando-se em uma corda (Figura 7). Calcule o trabalho da força gravitacional 
no movimento de um ioiô em uma jogada única de descida e subida. 
Forças conservativas10
Figura 7. Movimento de um ioiô.
Fonte: kao/Shutterstock.com. 
O trabalho na descida será:
O trabalho na subida será:
O trabalho total será:
WT = W1→2 + W2→1
WT = –mgy2 + mgy1 – mgy1 + mgy2
WT = 0
Esse resultado é o esperado, pois o movimento é realizado em um caminho fechado 
por uma força conservativa (FG) — logo, o trabalho total deve ser nulo.
11Forças conservativas
3 Forças conservativas e a energia mecânica
A característica principal de uma força conservativa é a independência da 
trajetória — ela depende apenas das posições inicial e final do movimento. 
Dois exemplos de forças conservativas que dependem exclusivamente da 
posição são as forças gravitacional e elástica. Vamos recordar as equações 
do trabalho realizado por essas forças.
Trabalho realizado pela força gravitacional:
Trabalho realizado pela força elástica:
Essas equações são referentes à energia potencial gravitacional e à energia 
potencial elástica (Quadro 1), respectivamente. Essa é mais uma característica 
das forças conservativas: elas têm uma energia potencial associada. De acordocom Nussenzveig (2013), qualquer força que só dependa da posição da partícula 
é conservativa e tem uma energia potencial correspondente.
Vamos analisar, na Figura 8, o movimento de um esqueitista descendo 
uma rampa. Considere o esqueitista como uma partícula e que o movimento 
parte do ponto y1, passa por y2 e chega até o ponto y3.
Figura 8. Movimento de um esqueitista descendo uma rampa.
Forças conservativas12
O trabalho realizado pela força gravitacional será:
Sabemos que a energia potencial gravitacional da partícula em movimento é:
∆EPG = EPGf – EPGi = mg(y3 – y1)
Logo, podemos relacionar: 
WT = –∆EPG = –mg(y3 – y1)
Nesse ponto, é importante lembrarmos de um dos teoremas mais impor-
tantes da dinâmica do movimento de uma partícula: o teorema do trabalho-
-energia cinética. Hewitt (2015) define o teorema trabalho-energia mostrando 
que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado. Dessa forma:
∆EC = W
Esse teorema amplia muito nosso estudo de forças conservativas, pois agora 
podemos relacionar a energia cinética com a energia potencial gravitacional, 
a partir do trabalho realizado no movimento:
∆EC = –∆EPG
ECf – ECi = –[EPGf – EPGi]
ECi + EPGi = ECf + EPGf
13Forças conservativas
Essa última equação diz que a soma da energia cinética inicial com a 
energia potencial gravitacional inicial é igual à soma da energia cinética final 
com a energia potencial gravitacional final. Isso significa que toda a energia 
mecânica envolvida no início do movimento se conserva até o final do mo-
vimento. Temos aqui o princípio da conservação da energia mecânica em 
movimentos realizados a partir de forças conservativas. Matematicamente, 
descrevemos isso como: 
EMi = EMf
Observe na Figura 9 o esboço do gráfico que apresenta o comportamento 
da energia mecânica total, da energia cinética do esqueitista e da sua energia 
potencial gravitacional. No início do movimento, temos energia gravitacional 
(UG) máxima e energia cinética (K) mínima, e essa relação varia, mantendo a 
energia mecânica total (EM) constante até o final do movimento. Lembre-se de 
que a energia mecânica total é igual à soma das energias cinética e potencial 
envolvidas (Quadro 1).
Figura 9. Esboço do comportamento das energias mecânica total 
(EM), cinética (K) e potencial gravitacional (UG) para o movimento 
do esqueitista.
Forças conservativas14
Entenda mais sobre o conceito de conservação da energia mecânica no artigo “Corrida 
de bolinhas — reflexão sobre o uso do conceito de movimento e de conservação de 
energia mecânica”, publicado no Caderno Brasileiro de Ensino de Física em 2018.
Cálculo da força conservativa a partir 
da energia potencial
Com base no conceito recém-apresentado, que aponta que uma força con-
servativa sempre tem uma energia potencial associada a ela, em um sistema 
conservativo, podemos encontrar a força que impulsiona o movimento a partir 
da energia potencial. Para um movimento em que temos energia potencial 
gravitacional envolvida, temos que:
Utilizando a equação da energia potencial gravitacional do Quadro 1, temos:
Encontramos, assim, a equação da força gravitacional, que é o produto da 
massa pela aceleração da gravidade.
Para um movimento em que temos energia potencial elástica envolvida, 
temos que:
15Forças conservativas
Utilizando a equação da energia potencial elástica do Quadro 1, temos:
Encontramos, assim, a equação da força elástica, que é o produto da cons-
tante elástica pela deformação do elemento elástico.
Concluímos, assim, que se conhecermos a energia potencial em função da 
posição, podemos calcular a força conservativa envolvida por uma simples 
derivação:
Estudar forças conservativas e, como consequência, sistemas conservativos, 
no final das contas, é compreender como podemos armazenar energia para 
usá-la de forma conveniente. Quando dizemos que, em um caminho fechado, 
o trabalho de uma força conservativa é nulo, devemos enxergar que, se isso 
é possível, não tivemos perda de energia durante o processo. A partir disso, 
podemos evoluir para controlar o processo e gerar e armazenar cada vez mais 
energia. Este sempre é nosso objetivo: seja em sistemas mecânicos, termodinâ-
micos ou eletromagnéticos, seguimos em busca da maior eficiência energética.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: mecânica. 5. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 
2013. v. 1.
Forças conservativas16
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cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
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sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Leitura recomendada
TRAVAIN, S. A. A. A.; CINDRA, J. L. Corrida de bolinhas: reflexão sobre o uso do conceito 
de movimento e de conservação de energia mecânica. Caderno Brasileiro de Ensino de 
Física, v. 35, n. 2, p. 518–531, 2018. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/
fisica/article/view/2175-7941.2018v35n2p518. Acesso em: 25 ago. 2020.
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