Multivix: Qualidade Educacional

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TOPOGRAFIA
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do 
Estado do Espírito Santo, com unidades presenciais 
em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, 
Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória, 
e com a Educação a Distância presente 
em todo estado do Espírito Santo, e com 
polos distribuídos por todo o país. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, 
destacando-se pela oferta de cursos de 
graduação, técnico, pós-graduação e 
extensão, com qualidade nas quatro 
áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, 
Humanas e Saúde, sempre primando 
pela qualidade de seu ensino e pela 
formação de profissionais com consciência 
cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de 
Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 
instituições avaliadas no Brasil, apenas 
15% conquistaram notas 4 e 5, que são 
consideradas conceitos de excelência em 
ensino. Estes resultados acadêmicos 
colocam todas as unidades da Multivix 
entre as melhores do Estado do Espírito 
Santo e entre as 50 melhores do país.
 MISSÃO
Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.
 VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida 
nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
R E I TO R
GRUPO
MULTIVIX
R E I
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MULTIVIX EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
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BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
Débora Martins Paixão
Gênese, Morfologia e Classificação dos Solos / PAIXÃO, DÉBORA M.. - Multivix, 
2022
Catalogação: Biblioteca Central Multivix 
 2022 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. 
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LISTA DE QUADROS
UNIDADE 1
 Tabela 1 – Conversões/transformações de azimutes em rumos 30
 Tabela 2 – Conversões/transformações de rumos em azimutes 30
UNIDADE 4
 Tabela 1 – Prazos para realização do Georreferenciamento 76
 Tabela 2 – Prazos para realização do georreferenciamento 76
UNIDADE 6
 Quadro 1 – Tipos de imagens 123
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 1
 Figura 1 – Modelo geoidal 14
 Figura 2 – Modelo elipsoide de revolução 15
 Figura 3 – Modelo esferoidal 15
 Figura 4 – Modelo de representação de terreno em curvas de nível 
levantamento planialtimétrico 18
 Figura 5 – Acurácia e precisão em medidas topográficas 20
 Figura 6 – Trena de aço usada em levantamentos diretos de distâncias 21
 Figura 7 – Quero o desenho/iustraçao de uma estaca e um piquete 22
 Figura 8 – Baliza com refletor e um nível de cantoneira acoplado a 
uma baliza 22
 Figura 9 –Teodolito digital 23
 Figura 10 – Representação das medidas de distância 25
 Figura 11 – Representação de ângulos horizontais internos e externos 27
 Figura 12 – Representação da orientação azimutal 28
 Figura 13 - Desenhar um esquema feito esse que esta na figura 29
 Figura 14 – Pano cartesiano dividido em quadrantes para facilitar a 
determinação do azimute e do rumo 30
 Figura 15– Determinação de distância com trena a lance único 31
 Figura 16 – Determinação de distância com trena a vários lances 31
UNIDADE 2
 Figura 1 – Poligonal Fechada 36
 Figura 2 – Poligonal Aberta 36
 Figura 3 – Poligonal Enquadrada 36
 Figura 4 – Por interseção de ângulos 37
 Figura 5 – Levantamento por Irradiação 38
 Figura 6 – Tipos de demarcações de pontos 39
 Figura 7 – Monografia de Marcos 40
 Figura 8 – Estação Total e Teodolito. 41
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 Figura 9 – Nível de cantoneira 41
 Figura 10 – Balizas 42
 Figura 11 –Tripés e Bipés 42
 Figura 12 – Prisma 43
 Figura 13 – Nivelamento Trigonométrico 45
 Figura 14 – Diferentes modelos de miras. 46
 Figura 15 – Produto de um levantamento planialtimétrico. 47
 Figura 16 – Pontos cotados 48
 Figura 17 – Curvas de nível mestras e secundárias 49
 Figura 18 – Seção Transversal de um Rio. 49
 Figura 19 – Software AUTOCAD 50
UNIDADE 3
 Figura 1 – Seção em corte 54
 Figura 2 – Seção de Aterro 54
 Figura 3 – Seção Mista 55
 Figura 4 – Distancia geométrica ou inclinada 57
 Figura 5 – Remoção da camada superficial do solo 59
 Figura 6 – Planímetro utilizado para medir área 61
 Figura 7 – Uso de CAD no desenho de poligonais para obter as áreas 
de seções transversais 62
 Figura 8 – Triângulo subdivido em outros para facilitar o cálculo da área 62
 Figura 9 – Esquema de compensação 67
 Figura 10 – Esquema de compensação lateral 68
UNIDADE 4
 Figura 1 – Site BDG-IBGE 78
 Figura 2 – Exemplo de posicionamento relativo 79
 Figura 3 – Exemplo de posicionamento relativo 82
 Figura 4 – RTK convencional 83
 Figura 5 – RTK em rede 84
 Figura 6 – Modelos de marcos de concreto e ferro 89
 Figura 7 – Modelo da chapa 90
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UNIDADE 5
 Figura 1 – Modelo de representação raster ou matricial 99
 Figura 2 – Modelo de representação estrutural no formato de vetor 100
 Figura 3 – Modelo de representação raster ou matricial (A) modelo 
de representação vetorial (B) 101
 Figura 4 – Aspectos de fontes de dados em geoprocessamento 102
 Figura 5 – Levantamento de medidas de campo como pontos de 
controle 103
 Figura 6 – Coordenadas cartesianas 105
 Figura 7 – Aplicação de classificação de imagens por máxima 
verossimilhança, área de treinamento (A) e amostra classificada 
por categoria (B) 109
 Figura 8 – Fluxograma de classificação supervisionada e não 
supervisionada 110
 Figura 9 – Imagem RGB 112
UNIDADE 6
 Figura 1 – Sensor e os olhos de uma pessoa 116
 Figura 2 – Diversidade de cores 117
 Figura 3 – Fotos 120
 Figura 4 – Controle remoto de TV 121
 Figura 5 – Esquema de geração de imagens 122
 Figura 6 – Formatos de imagens 124
 Figura 7 – Captação de imagens por formatos 125
 Figura 8 – Dados podem ter sua demora no tráfego 128
 Figura 9 – Conversão de uma imagem 128
 Figura 10 – Software de ajuste 129
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SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 10
1 INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA 13
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 13
1.1 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS DA TOPOGRÁFICA 13
1.2 GRANDEZAS MEDIDAS EM LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 24
2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO E GEORREFERENCIAMENTO 35
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 35
2.1 PLANIMÉTRICOS E EQUIPAMENTOS DE MEDIÇÃO 35
2.2 ALTIMÉTRICOS E EQUIPAMENTOS DE MEDIÇÃO 43
2.3 PLANIALTIMÉTRICOS E EQUIPAMENTOS DE MEDIÇÃO 47
2.4 PONTOS COTADOS E CURVAS DE NÍVEL 47
2.5 OPERAÇÕES DE ESCRITÓRIO 50
3 TERRAPLANAGEM 53
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 53
3.1 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM 53
3.2 MÉTODOS DE CÁLCULO DE VOLUME DE CORTES E ATERROS 63
4 GEORREFERENCIAMENTO DE IMÓVEIS 73
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 73
4.1 SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO E SISTEMA DE REFERÊNCIA 73
4.2 TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO 78
4.3 MANUAL TÉCNICO DE LIMITES E CONFRONTAÇÕES DO INCRA 88
5 NOÇÕES DE GEOPROCESSAMENTO PARA TOPOGRAFIA 93
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 93
5.1 CONCEITUANDO GEOPROCESSAMENTO 94
5.2 OPERAÇÕES COM GEOPROCESSAMENTO 104
6 SENSORIAMENTO REMOTO E APLICAÇÕES NA TOPOGRAFIA 115
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 115
6.1 FUNDAMENTOS E HISTÓRICO DO SENSORIAMENTO REMOTO 115
6.2 APLICAÇÕES DO SENSORIAMENTO REMOTO E A TOPOGRAFIA 125
1UNIDADE
2UNIDADE3UNIDADE
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
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ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
ICONOGRAFIA
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TOPOGRAFIA
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
A topografia é a parte da geodésia responsável pelo estudo da representação 
da superfície da Terra. Topografia é uma palavra de origem grega, em que 
“topos” significa lugar, e “graphen”, descrição ou escrita. Nesse sentido, po-
demos dizer que a topografia consiste na ciência capaz de representar ou de 
descrever um local ou uma região. Essa ciência tem como objetivos principais 
a alocação de construções em geral e a observância dos movimentos de solo, 
para a execução de projeto, entre tantos outros. A topografia permite-nos rea-
lizar os levantamentos da superfície da Terra e representar, no plano bidimen-
sional, as características da região. Essa representação leva em consideração 
características presentes na NBR 13133/2021, que instrui quanto à escala a ser 
utilizada, às normas de representação, à alocação de pontos e aos principais 
métodos que podem ser utilizados.
Os levantamentos topográficos são ditos planimétricos quando se preocu-
pam com as medidas de distâncias e com os ângulos horizontais, enquanto 
o levantamento altimétrico diz respeito à quantificação de ângulos e de 
alturas. Assim, levantamento planialtimétrico é a união do levantamento 
planimétrico com o levantamento altimétrico. Cada levantamento utiliza-
-se de equipamentos diferentes. De modo geral, são utilizados, entre outros: 
fita métrica, teodolito, estação total, mira, nível, além do Global Navigation 
Satellite System (GNSS).
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TOPOGRAFIA
UNIDADE 1
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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TOPOGRAFIA
> Ampliar os conceitos 
sobre a topografia e os 
instrumentos utilizados. 
> Conhecer as noções 
básicas da topografia e 
as principais grandezas 
medidas em um 
levantamento topográfico.
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TOPOGRAFIA
1 INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará importantes aspectos das principais grandezas medi-
das em um levantamento topográfico, assim como os objetivos da topografia 
e os instrumentos utilizados para a medição.
A topografia é uma ciência que trata, especificamente, da representação 
dos detalhes da superfície terrestre, contudo essa porção terrestre é limita-
da, para que tenhamos uma riqueza maior de detalhes. De acordo com a 
NBR13133/2021, os levantamentos topográficos podem ser definidos como 
um conjunto de operações, compreendendo as etapas de campo e de escri-
tório, por meio das quais são utilizados métodos e instrumentos adequados à 
finalidade do trabalho. Esse levantamento tem como destinação a aquisição 
de elementos necessários para a representação de determinado terreno com 
suas distâncias horizontais, ângulos verticais e horizontas e cotas ou altitudes, 
assim como a orientação.
Para falarmos sobre a introdução à topografia, precisamos ter conhecimento 
a respeito de alguns termos técnicos utilizados neste estudo, sendo funda-
mentais para que possamos nos situar no contexto de aprendizagem.
1.1 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS DA TOPOGRÁFICA
A topografia é uma ciência que estuda a descrição da superfície terrestre, 
tendo objetivos bem definidos. Diante disso, precisamos conhecer um pouco 
mais acerca do tema. 
1.1.1 REPRESENTAÇÃO DA SUPERFÍCIE
A topografia consiste na ciência que estuda o levantamento da superfície ter-
restre, para diversas finalidades. Essa ciência baseia-se na aplicação de con-
ceitos matemáticos como trigonometria e geometria, para que possamos 
calcular áreas, distâncias e ângulos internos e externos da superfície terrestre.
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TOPOGRAFIA
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Em qualquer projeto ou obra envolvendo as engenharias, é imprescindível o 
levantamento topográfico da área onde se deseja implantar o empreendimen-
to. Nesse sentido, é possível notar a relevância da topográfica para as diversas 
áreas, seja engenharia civil, arquitetura, agronomia, agrimensura, geoprocessa-
mento dentre outras. Todas essas profissões necessitam de levantamentos ou 
mesmo de medição, os quais deverão ser utilizados para adaptar o terreno às 
condições ideais da obra/empreendimento, tais como: obras hidrelétricas; aero-
portos; sistemas de irrigação; construção de estradas; construção de prédios e 
casas; loteamentos; planejamento viário; telecomunicações entre outros.
Para representar a superfície terrestre dentro da topografia, precisamos co-
nhecer a forma de dimensões da Terra. Pode-se considerar, basicamente, 
quatro formas de representar a Terra, sendo elas: baseada no modelo real; 
baseada no modelo geoidal; baseada no modelo elipsoidal; e baseada no mo-
delo esférico. 
Modelo real da Terra
O modelo real é aquele em que se permite representar a Terra em 
seu formato original, sem as deformações que observamos em 
outros modelos. Contudo, esse modelo real não possui aplicações 
matemáticas, dificultando seu uso na topografia para representar a 
superfície terrestre.
Modelo geoidal
Esse modelo permite que a superfície 
terrestre seja representada de forma 
fictícia, podendo ser definido como um 
prolongamento do nível médio dos mares, 
em repouso sobre os continentes. Assim, 
tem-se uma deformação em relação às 
características reais quando se representa 
a Terra.
Figura 1 – Modelo geoidal
Fonte: Wikimedia Commons (2015).
#ParaTodosVerem: montagem com cinco representações gráficas da superfície terrestre, 
denotando a rotação da Terra.
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TOPOGRAFIA
Modelo elipsoidal
Consiste no modelo de representação 
da Terra mais usual dentro da topografia, 
visto que representa a superfície terrestre 
a partir de um elipsoide de referência, com 
parâmetros matemáticos bem definidos. 
A superfície do elipsoide é diferente da 
superfície da esfera, podendo ser descrita 
como a superfície obtida por meio da 
rotação de uma semielipse e que, em 
função disso, é conhecida como elipsoide 
de revolução. Podemos dizer, ainda, que os 
semieixos da elipse são conhecidos como a 
e b. O círculo que evidencia o Equador tem 
raio de curvatura a (semieixo maior). Todos 
os meridianos têm forma de elipses, com o 
semieixo maior contido no plano do Equador, 
e o semieixo menor b contido na linha PN – 
PS (TULLER, 2016; SAVIETTO, 2017).
Figura 2 – Modelo elipsoide de revolução 
Fonte: Tuler; Saraiva (2016, p. 24).
#ParaTodosVerem: representação do modelo elipsoidal.
Modelo esferoidal
É considerado o modelo mais simples de 
todos, utilizado, na maioria dos casos, como 
uma ferramenta didática ilustrativa. Esse 
modelo representa a Terra como se fosse 
uma esfera perfeita, sendo considerado o 
modelo mais distante da realidade.
Figura 3 – Modelo esferoidal
Fonte: Plataforma Deduca (2022).
#ParaTodosVerem: modelo da esfera terrestre com a identificação dos países, tendo o 
continente africano à frente.
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TOPOGRAFIA
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Cabe, ainda, salientar que, para o correto levantamento, é necessária a locali-
zação geográfica dada pelas coordenadas dos pontos levantados. As coorde-
nadas podem ser geográficas, representadas pela unidade sexagesimal, pelo 
grau, pelo minuto e pelo segundo; oupodem ser planas, ou seja, representa-
das por meio de coordenadas planas. 
Quando falamos em coordenadas, devemos nos atentar ao fato de que, para 
representar determinada coordenada, precisamos de um ponto de referên-
cia que, na topografia, é conhecido como Datum. O Brasil já utilizou diversos 
Datuns em suas cartas topográficas, tais como Chua, Corrego Alegre, SAD69. 
Contudo, desde 2015, passou a ser obrigatória a utilização para referência das 
coordenadas o Datum SIRGAS 200, que tem como característica o fato de ser 
geocêntrico, ou seja, seu centro de massa coincide com o centro de massa da 
Terra, além de ser compatível com o sistema de Datum presente no GPS, que 
é conhecido como WGS84 (TULLER, 2016; SAVIETTO, 2017).
Os parâmetros matemáticos são: a = semieixo 
maior; b = semieixo menor; f = achatamento.
Geoide: pode ser definido como a superfície de 
nível dos mares, considerada única, em condição 
de repouso em sua altura média, sendo esta 
prolongada sobre os continentes.
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TOPOGRAFIA
1.1.2 DIVISÕES DA TOPOGRAFIA E TIPOS DE 
ERROS EM MEDIDAS
A topografia é subdividida, classicamente, em topometria e topologia. A topo-
logia consiste no estudo das formas externas ao terreno e do arcabouço legal 
que rege o seu modelado.
Já a topometria consiste, basicamente, no estudo da medição de grandezas 
angulares e lineares. As grandezas lineares são as medidas de distâncias hori-
zontais, inclinadas, e a diferença de altura, ou seja, os desníveis. Já as grande-
Astro Datum Chuá: possui semieixo maior a = 
6.378.388 m, semieixo menor b = 6.378.160 m e 
achatamento f = 1/297000
Datum Córrego Alegre ou elipsoide Internacional 
de Hayford, de 1924: apresenta semieixo maior a = 
6.378.388 m, semieixo menor b = 6.366.991,95 m e 
achatamento f = 1/297000745015.
Datum Sul Americano de 1969 (South American 
Datum - SAD 69): apresenta semieixo maior a = 
6.378.160,000 m, semieixo menor b = 6.356.774,72 m 
e achatamento (1/298,247167427) aproximado para 
o valor f = 1/298,25.
Sistema de Referência Geocêntrico para a América 
do Sul – SIRGAS 2000: utiliza como parâmetros 
o raio equatorial da Terra a = 6.378.137m, semieixo 
menor (raio polar) b = 6.356.752,3141 m e fator de 
achatamento = 1/298,25722210.
WGS 84 (World Geodetic System 1984): tem como 
características básicas o semieixo maior a = 6.378.137, 
o semieixo menor b = 6.356.752,31425 e um fator de 
achatamento = 1/298,25722356. 
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TOPOGRAFIA
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zas angulares são os ângulos medidos nos levantamentos, sejam eles ângulos 
horizontais, verticais, internos e externos, cujos objetivos consistem na deter-
minação relativa dos pontos. Essa topometria pode ser dividida em dois con-
ceitos: planimetria e altimetria. Cabe, ainda, destacar que o estudo de ambos, 
em conjunto, recebe o nome de planialtimetria (TULLER, 2016; SAVIETTO, 2017).
FIGURA 4 – MODELO DE REPRESENTAÇÃO DE TERRENO EM CURVAS DE NÍVEL 
LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO
Fonte: Tuler; Saraiva (2016, p. 213).
#ParaTodosVerem: representação de terreno com curvas de nível em levantamento 
planialtimétrico.
O levantamento planimétrico ocorre quando se 
determina a posição planimétrica dos pontos, 
ou seja, no plano coordenadas X e Y; já nos 
levantamentos altimétricos, tem-se por objetivo 
quantificar as cotas ou altitudes dos pontos, ou seja, 
a coordenada Z. 
Quando realizamos, de forma simultânea, os dois 
levantamentos, temos o chamado levantamento 
planialtimétrico, coordenadas X; Y e Z.
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TOPOGRAFIA
Nos levantamentos topográficos, sejam eles planimétricos, altimétricos ou 
planialtimétricos, que servem de base para representar a superfície da Terra, 
são usadas medições em grande escala, tais como direções, distâncias e incli-
nações. Essas observações serão, invariavelmente, prejudicadas por erros. As 
fontes de erro podem incluir: condições do ambiente, instrumentos utilizados 
e os observadores/manuseadores.
• Condições ambientais: causadas por mudanças nas condições ambientais, 
como vento, temperatura etc. Um bom exemplo desse tipo de erro diz respeito 
ao comprimento de uma trena, que pode variar, dependendo da temperatura.
• Instrumentais: ajuste por problemas como a imperfeição na construção de 
equipamento. A maior parte dos erros pode derivar da seleção/retificação 
de técnicas, das técnicas de avaliação de instrumentos particulares e 
da classificação. Esses erros são causados por problemas como falhas 
na construção ou no ajuste do equipamento. A maioria dos erros de 
instrumentação pode ser reduzida empregando-se técnicas como 
verificação/retificação, calibração e classificação, bem como técnicas 
específicas de observação.
• Pessoais: causado por falha humana, ou seja, falta de atenção do ser humano 
nas medições e nas anotações ao realizar um procedimento. 
Essas três fontes de erros podem ser classificadas como: grosseiras; sistemá-
ticas e aleatórias.
Erros grosseiros
São aqueles decorrentes de enganos em medições e leituras erradas 
nos instrumentos.
Erros sistemáticos
Estão relacionados às leis da física ou da matemática. São assim 
conhecidos porque podem ser corrigidos facilmente.
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Erros aleatórios
Geralmente, considera-se erros aleatórios ou acidentais aqueles 
que permanecem mesmo após corrigidos os erros grosseiros e os 
sistemáticos.
Quando falamos na teoria dos erros, precisamos entender sobre precisão e 
acurácia, uma vez que esses dois termos estão intimamente relacionados à 
qualidade dos dados obtidos nos levantamentos topográficos.
É importante ressaltar que a precisão está atrelada à repetição de medidas con-
tínuas, em condições semelhantes, vinculadas aos efeitos aleatórios. Já a acu-
rácia tem relação com a aderência, levando-se em conta os dados observados 
e o seu valor real, tendo ligação direta com os efeitos aleatórios e sistemáticos.
FIGURA 5 – ACURÁCIA E PRECISÃO EM MEDIDAS TOPOGRÁFICAS
+++++
+++
+++++
+++
+ +
+
++
Preciso e
não acurado
Preciso
e Acurado
Não preciso
e não acurado
Fonte: Elabora pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: ilustração de três alvos, sendo o primeiro com vários sinais de adição 
no topo e, abaixo, escrito “preciso e não acurado”; o segundo com vários sinais de adição 
ao centro e, abaixo, escrito “preciso e acurado”; e o terceiro com vários pontos de adição 
espalhados na faixa mais afastada do centro e, abaixo, escrito “não preciso e não acurado”.
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TOPOGRAFIA
1.1.3 INSTRUMENTAÇÃO: PRINCIPAIS 
EQUIPAMENTOS
Para quantificar as medidas na topografia, sejam elas medidas diretas, indi-
retas, de distâncias e os ângulos, precisamos de instrumentos e de equipa-
mentos para auxiliar no processo. Para tanto, temos, à nossa disposição, várias 
opções de ferramentas.
O primeiro instrumento é a trena. Existem vários modelos e tamanhos de 
trenas utilizados no levantamento topográfico, desde trenas de aço às de fi-
bra de vidro. Atualmente, as trenas de fibra de vidro são as mais comuns, vis-
to que sofrem menos deformação, devido às condições do ambiente. Essas 
trenas podem ser com invólucro, que variam de 20 a 50 m, e sem invólucro, 
variando de 50 a 100 m.
FIGURA 6 – TRENA DE AÇO USADA EM LEVANTAMENTOS DIRETOS DE DISTÂNCIAS
Fonte: Wikimedia Commons.
#ParaTodosVerem: Trena de aço utilizada em levantamentos.
Para auxiliar nas medições com trenas, podemos contar com dois equipa-
mentos auxiliares: o piquete e as estacas testemunhas. Os piquetes são utili-
zados para demarcação dos extremos do alinhamento que será medido. Essa 
ferramenta, geralmente, é de madeira, em formatoquadrado, com a base 
superior plana, e a inferior, em formato pontiagudo, para facilitar a fixação 
no solo. As estacas testemunhas são do mesmo material dos piquetes, sendo 
usadas para auxiliar na localização e na posição do piquete. A distância deve 
variar de 30 a 50 cm.
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FIGURA 7 – QUERO O DESENHO/IUSTRAÇAO DE UMA ESTACA E UM PIQUETE
50cm
Piquete Estaca
testemunha
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: a imagem mostra os equipamentos acessórios estaca testemunha e 
piquete.
As balizas são instrumentos, normalmente, necessários para manter o alinha-
mento, quando na realização da medição dos pontos.
O nível de cantoneira servirá para ajudar a deixar a baliza sempre nivelada, na 
posição horizontal. Essa ferramenta é dotada de um nível de bolha, que serve 
de base para auxiliar na hora de segurar a trena e efetuar a leitura.
FIGURA 8 – BALIZA COM REFLETOR E UM NÍVEL DE CANTONEIRA ACOPLADO A UMA BALIZA
Fonte: Wikimedia Commons.
#ParaTodosVerem: a imagem mostra os equipamentos auxiliares baliza e nível de 
cantoneira.
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TOPOGRAFIA
Para a medida indireta de distâncias e a quantificação de ângulos na topo-
grafia, utilizamos equipamentos como teodolito, estação total, nível óptico, 
GPS, entre outros. O teodolito é construído de tal forma que seus eixos, em 
um sistema, seguem um conjunto denominado regras. Quando  uma  des-
sas condições não é atendida, os valores angulares resultantes são, obviamen-
te, incorretos.
FIGURA 9 –TEODOLITO DIGITAL
Fonte: Daibert (2015, p. 44).
#ParaTodosVerem: foto de um teodolito, em preto e branco, com display digital.
Os teodolitos podem ser classificados quanto à finalidade, à forma e à precisão. 
• Quanto à finalidade: podem ser geodésicos, astronômicos ou topográficos.
• Quanto à forma: mecânicos ou ópticos e eletrônicos.
• Quanto à precisão: de baixa, média ou alta precisão.
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A estação total consiste em um equipamento eletrônico, muito utilizado para 
medidas de ângulos e, indiretamente, para determinação de distâncias nos 
levantamentos topográficos. Alguns autores classificam como taqueômetro, 
quando se trata da estação total, a união de dois instrumentos: o teodolito 
e o distanciômetro. A estação total e o teodolito precisam de equipamento 
auxiliar, como a mira. No mercado, existem diferentes modelos de miras. Co-
mumente, são fabricadas de madeira, fiberglass ou alumínio, as últimas po-
dendo ser retráteis ou dobráveis.
Além de todas as ferramentas que vimos até o momento, há um importante 
equipamento, acessório ou auxiliar, chamado tripé, que serve de base para a 
instalação dos equipamentos.
O nível óptico ou nível topográfico serve para realizar o nivelamento topo-
gráfico em terrenos, oferecendo elevada precisão e qualidade dos dados, o 
que reflete na precisão da medida.
1.2 GRANDEZAS MEDIDAS EM LEVANTAMENTOS 
TOPOGRÁFICOS
Nos levantamentos topográficos, precisamos entender que temos várias 
grandezas a serem medidas. Dentre elas, destacamos as grandezas lineares 
e as grandezas angulares.
1.2.1 GRANDEZAS LINEARES E GRANDEZAS 
ANGULARES
Nos levantamentos topográficos, realizam-se medidas de grandezas lineares 
e angulares.
Os teodolitos possuem um sistema de eixo chamado: 
eixo VV: considerado o eixo principal, o eixo vertical; 
eixo HH: eixo secundário ou eixo horizontal; eixo ZZ: 
denominado eixo óptico da luneta ou eixo pontaria; 
eixo LL: eixo do nível da alidade.
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TOPOGRAFIA
As grandezas lineares são conhecidas como distâncias horizontais, distâncias 
verticais e distâncias inclinadas. Quando falamos em distâncias horizontais, 
estamos nos referindo à medida de distância entre dois pontos, que estão no 
mesmo plano horizontal.
A distância vertical ou, como chamamos comumente, diferença de nível, ba-
sicamente, é a distância entre pontos em um plano vertical.
Já a distância inclinada consiste na distância entre dois pontos que seguem a 
inclinação topográfica do terreno. 
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DAS MEDIDAS DE DISTÂNCIA 
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: imagem de um retângulo de linha azul, tendo escrito, ao longo da sua 
borda, no sentido horário, as letras indicativas: DH, B, B’, A’ DV, A. Ao centro do retângulo, 
está escrito: DI. Uma linha laranja corta o retângulo na diagonal, ligando o canto superior 
esquerdo, denominado A, ao canto inferior direito, denominado B’. No mesmo sentido, 
existe, sobrepondo a linha laranja, uma linha azul senoidal, com centro passando pelo 
ponto denominado DI.
DH = Distância Horizontal;
DI = Distância Inclinada;
DV = Distância Vertical ou diferença de nível ou 
diferença de cota.
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As grandezas lineares são medidas de distância, geralmente, dadas em me-
tros, quilômetros ou centímetros. Elas podem ser medidas de duas formas: 
direta ou indireta.
• Medida direta: quando se utilizam trenas, uma vez que as trenas possuem 
medidas conhecidas que se correlacionam com as áreas reais medidas em 
um terreno.
• Medida indireta: na medição das grandezas lineares, utilizamos instrumentos 
que, indiretamente, medem essas distâncias, como os teodolitos, os níveis, 
as trenas eletrônicas, os GPS ou mesmo fotogrametria. Essas Medidas 
Eletrônicas de Distância – MED utilizam feixes de luzes para quantificar as 
distâncias.
As grandezas angulares, dentro da topografia, são classificadas em horizon-
tais e verticais. 
É considerado um ângulo horizontal aquele constituído por dois planos verti-
cais, que contêm os comandos formados pelo ponto ocupado e os pontos vi-
sados, sejam eles de vante ou ré. Os ângulos horizontais são sempre medidos 
na horizontal, razão pela qual o teodolito deve estar, rigorosamente, nivelado.
Vante = visada ou ponto medido no sentido do 
caminhamento.
Ré = visada ou ponto medido no sentido contrário 
ao caminhamento.
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Além dos ângulos horizontais, há, ainda, os ângulos internos e os ângulos ex-
ternos ao levantamento. 
FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO DE ÂNGULOS HORIZONTAIS INTERNOS E EXTERNOS
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: figura composta por dois triângulos retângulos com bordas vermelhas; 
à esquerda, ele possui um arco interno na aresta do ângulo reto com o texto “interno”, 
enquanto o da direita possui um arco externo ao ângulo reto com o texto “externo”.
A determinação de ângulos verticais nos aparelhos pode ser de dois tipos: 
com origem no horizonte e com origem no zênite ou nadir.
Os ângulos com origem no horizonte variam de 0° a 90° e recebem o nome 
de ângulos verticais na direção ascendentes (por cima do horizonte) ou des-
cendentes (embaixo do horizonte). 
Os ângulos verticais podem receber a denominação zenital ou nadiral, varian-
do de 0° a 360°. Atualmente, esses ângulos já vêm configurados para a maio-
ria dos equipamentos utilizados nos levantamentos topográficos. 
1.2.2 DIREÇÃO DAS GRANDEZAS ANGULARES 
E CONVERSÃO
As grandezas angulares precisam de uma orientação que, na topografia, cha-
mamos de direções. 
Quando analisamos o planeta Terra, podemos compará-lo a um imã. Isso 
ocorre em função da corrente elétrica, que cria um campo magnético em 
volta da Terra. Esse campo magnético desempenha uma força de atração so-
bre a agulha da bússola, fazendo com que a agulha entre em movimento e 
estabilize sua ponta quando estiver apontando para o polo norte magnético.
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Na sua rotação, diariamente, a Terra gira em torno de um eixo, sendo os pon-
tos de encontro desse eixo denominados Polo Norte e Polo Sul verdadeiros/
geográficos. A diferença existente entre a indicação presente no Polo Norte 
magnético, medido com a agulha da bússola, e a posição do Polo Norte geo-
gráfico é conhecida como declinação magnética. Essa declinação varia de 0° 
a 20°. Quanto à direção das grandezas angulares, foram criados dois conceitos 
importantes: azimute e rumo.
De acordo com Tuller (2016) e Savietto (2017), o azimute consiste na direção, 
ou seja, é o ângulo formado entre a meridiana de origem, que contém os 
polos, magnéticos ou geográficos, e a direção considerada ou ponto medido. 
O azimute sempre será quantificado a partir do Polo Norte e lido do sentido 
horário, variando de 0 a 360°.
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO DA ORIENTAÇÃO AZIMUTAL
0º
40º
109º
90º
180º
206º
270º
338º
Norte
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: ilustração de um plano cartesiano com o Norte acima, marcado como 
ângulo 0º; a partir dele, há segmentos no sentido horário, com marcações de ângulos, na 
sequência: 40º, 90º, 109º, 180º, 206º, 270º e 338º.
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Já o rumo consiste no menor ângulo formado pela meridiana de origem, 
que materializa o alinhamento entre o Polo Norte Sul e a direção conside-
rada ou o ponto medido. Inicia nos Polos Norte ou Sul, em sentido Leste ou 
Oeste, variando de 0 a 90°, e, geralmente, expressa o ângulo no qual se en-
contra no quadrante. 
FIGURA 13 - DESENHAR UM ESQUEMA FEITO ESSE QUE ESTA NA FIGURA
70º
60º
30º
45º 2
1
N
S3
W
4
E
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: ilustração de um plano cartesiano com o Norte (N), Sul (S), Leste (E), 
Oeste (W). Entre N e o segmento 1, aparece a marcação 70º, e, abaixo, um arco. Entre 
o último segmento e E, aparece o segmento 2, entre este e S, aparece a marcação 45º, 
e, acima, um arco. Entre o último segmento e S aparece o segmento 2, entre este e S, 
aparece a marcação 45º, e, acima, um arco. Entre o último segmento e W, aparece o 
segmento 3, entre este e S, aparece a marcação 30º, e, acima, um arco. Entre o último 
segmento e W, aparece o segmento 4, entre ele e N, aparece a marcação de 60º, e, abaixo, 
um arco. 
Quando analisamos essas direções, sempre que possível, recomenda-se a con-
versão ou a transformação dos rumos em azimutes e vice-versa. Essa conversão 
é recomendada para se ter maior praticidade em cálculos, como as coordena-
das, assim como para a orientação de estruturas em levantamentos de campo.
O rumo deve conter o valor numérico do ângulo e 
acrescentar uma sigla (NE, SE, SW, NW). A primeira 
letra representa o local por onde se alcança a 
contagem, e a segunda adverte a direção do giro 
ou quadrante.
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FIGURA 14 – PANO CARTESIANO DIVIDIDO EM QUADRANTES PARA FACILITAR A 
DETERMINAÇÃO DO AZIMUTE E DO RUMO
2
1
N
S
3
W
4
E
4QNW 1QNE
2QSE3QSW
R1 = Az1
R2 = 180º - Az2R3 = Az3 - 180º
R4 = 360º - Az4
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
#ParaTodosVerem: plano cartesiano dividido em 8 pares: no quadrante e no sentido horário 
temos: quadrante 1: 1QNE e R1 = Az1; quadrante 2: R2 = 180º - Az2 e 2QSE; quadrante 3: 
3QSW e R3 = Az3 - 180º; quadrante 4: R4 = 360º- Az4 e 4QNW.
De posse dessas informações de Tuller (2016) e de Savietto (2017), podemos 
adaptar uma sequência de equações para conversão. 
TABELA 1 – CONVERSÕES/TRANSFORMAÇÕES DE AZIMUTES EM RUMOS
Quadrante do azimute Azimute à direita do Norte Azimute à esquerda do Norte
Quadrante Nordeste Rumo = Azimute Rumo = 360º - Azimute
Quadrante Sudeste Rumo = 180º - Azimute Rumo = Azimute - 180º
Quadrante Sudoeste Rumo = Azimute - 180º Rumo = 180º - Azimute
Quadrante Noroeste Rumo = 360º - Azimute Rumo = Azimute
Fonte: Adaptada de Tuller (2016) e Savietto (2017).
TABELA 2 – CONVERSÕES/TRANSFORMAÇÕES DE RUMOS EM AZIMUTES
Quadrante do Azimute Azimute à Direita do Norte Azimute à Esquerda do Norte
Quadrante Nordeste Azimute = 360º - Rumo
Quadrante Sudeste Azimute = 180º - Rumo Azimute = - 180º + Rumo
Quadrante Sudoeste Azimute = - 180º + Rumo Azimute = 180º - Rumo
Quadrante Noroeste Azimute = 360º - Rumo Azimute = Rumo
Fonte: Adaptada de Tuller (2016) e Savietto (2017).
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1.2.3 MEDIDAS DE GRANDEZAS ANGULARES E 
LINEARES
As medidas de distâncias ou grandezas lineares podem ser feitas com medições, 
na horizontal, entre os pontos, sejam eles ponto A e B. Procura-se, nesta grande-
za, medir a projeção das distâncias de AB no plano topográfico horizontal HH’. 
Isso resulta na medição de A’B’, paralela à AB, conhecida como lance único. 
FIGURA 15– DETERMINAÇÃO DE DISTÂNCIA COM TRENA A LANCE ÚNICO
Baliza
Baliza
Trena
B
A
H
A’ B’
H’
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
Existe, também, as medidas de vários lances. Nessa medida, o balizeiro, na 
posição ou ponto a ré (posicionado em A), orienta o balizeiro do ponto inter-
mediário, cuja posição coincide com o final da trena ou do diastímetro, para 
que este se mantenha no alinhamento de forma correta.
FIGURA 16 – DETERMINAÇÃO DE DISTÂNCIA COM TRENA A VÁRIOS LANCES
Ré
Intermediária
17m Vante
DH
A
B
DH = (4 x 20 + 17) = 97m
Fonte: Elaborada pela autora (2022).
Essas distâncias, quando não feitas com atenção, podem gerar erros, dentre 
os quais podemos citar: erros em função do comprimento da trena; erro de 
catenária; e erro de falta de verticalidade da baliza.
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As medidas angulares de distâncias surgem da necessidade de se atender aos 
objetivos básicos da planimetria e da altimetria. A partir daí, torna-se necessá-
rio efetuarem-se medições angulares nos planos horizontais, assim como nos 
verticais. Com isso, surgem os significados de ângulos horizontais e verticais.
A partir de dois alinhos, definem-se dois planos verticais, que acontecem pe-
las extremidades desses alinhamentos. Um ângulo horizontal é um ângulo 
diedro entre esses dois planos verticais. Formalmente, o sentido horário é 
adotado como positivo. Existem diversas maneiras de se medir ângulos hori-
zontais, cada uma delas com aplicações e precisões finais desiguais, a escolha 
depende da finalidade de cada levantamento.
As medidas de ângulos são feitas com teodolitos, estação total e bússola, po-
dendo ser os teodolitos analógicos ou digitais. Com a bússola, além de medir a 
direção e conhecer a orientação, podemos determinar os ângulos de inclinação. 
CONCLUSÃO
Esta unidade teve como objetivo apresentar a definição de topografia, sua 
representação e suas divisões, os tipos de erros e os principais instrumentos 
utilizados nos levantamentos topográficos. 
Além disso, foi possível, ainda, o conhecer as medidas e as grandezas angula-
res e lineares, a direção das grandezas e o processo utilizado nas conversões 
de grandezas. Cabe salientar que, para determinar essas grandezas, precisa-
mos de equipamentos como trenas, teodolitos, miras, balizas, estacas, pique-
tas, nível, estação total, GPS entre outros. Dentro da topografia, esses são os 
conhecimentos iniciais para que seja possível seguir as etapas básicas para 
um levantamento topográfico, seja para a construção de um prédio, de um 
loteamento, de uma estrada, de barragens e tantas outras possibilidades.
Erro de catenária: consiste em um erro advindo da 
formação de uma curva na trena, ao medir d4 em 
vez de d.
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UNIDADE 2
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamosque 
possa:
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> Fazer o levantamento 
topográfico e 
georreferenciamento.
> Compreender os 
métodos.
> Ser capaz de identificar 
as operações.
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2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO E 
GEORREFERENCIAMENTO
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Seja bem-vindo ao estudo de mais unidade sobre Topografia. Nesta unidade, 
avançaremos o aprendizado em mais algumas etapas. Vamos juntos nessa 
construção do conhecimento.
2.1 PLANIMÉTRICOS E EQUIPAMENTOS DE 
MEDIÇÃO
Os levantamentos planimétricos são diversos procedimentos topográficos, 
que não levam em conta o relevo e tem o intuito de representar graficamen-
te uma área do terreno através da obtenção de ângulos horizontais, ângulos 
verticais, distâncias horizontais, localização geodésica/geográfica e posição 
ou orientação. O levantamento planimétrico é dividido em vários métodos, 
sendo eles visto nos próximos tópicos.
2.1.1 TRIANGULAÇÃO
Consiste no método que se baseia em uma série de interseções sucessivas ou 
encadeadas, onde mede-se uma única distância e os ângulos dos triângulos 
formados.
2.1.2 CAMINHAMENTO (OU POLIGONAÇÃO)
Considerado uma das técnicas mais empregadas para a determinação de co-
ordenadas de pontos em Topografia, especialmente no que diz respeito à de-
terminação de pontos de apoio planimétricos. É compreendida como a me-
dição de ângulos e distâncias que resulta em uma sucessão de alinhamentos. 
A poligonação pode partir de um ponto, retornando a este mesmo ponto, o 
que se denomina-se poligonal fechada ou partir de um ponto e retornar a 
outro ponto, o que denomina-se poligonal aberta.
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FIGURA 1 – POLIGONAL FECHADA
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: traz a representação de uma figura geométrica.
FIGURA 2 – POLIGONAL ABERTA
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: traz a representação de uma figura geométrica.
Ainda, por questões de precisão e verificação de erro de fechamento angular 
e linear, também há a poligonal enquadrada, está partindo de dois pontos 
de coordenadas conhecidas e chegando a outros dois pontos também com 
coordenadas conhecidas.
FIGURA 3 – POLIGONAL ENQUADRADA
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: traz a representação de uma figura geométrica.
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2.1.3 INTERSEÇÃO (ÂNGULOS E DISTÂNCIAS)
Este método é usualmente utilizado em situações que haja apenas três ele-
mentos de um triângulo e os outros três a determinar. Como por exemplo, 
tendo duas distâncias e um ângulos medidos em campo e os demais ângulos 
e distância a determinar. Geralmente é utilizado para pontos inacessíveis. 
Para ângulos, dada a situação de que tenha os dados da distância de um lado 
da poligonal e de outros dois ângulos, então se aplica a lei dos senos:
FIGURA 4 – POR INTERSEÇÃO DE ÂNGULOS.
Fonte: Machado (2014).
#PraTodosVerem: traz a representação de uma figura geométrica.
Para distância, dada a situação de que tenha os dados da distância de dois 
lados da poligonal e apenas um ângulo, então se aplica a lei dos cossenos:
Existem também os métodos secundários, que são aplicados eventualmente 
para levantar os aspectos naturais e artificiais do terreno, amarrando estas 
informações à poligonal principal. São eles:
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2.1.4 IRRADIAÇÃO
São determinadas a partir de um ângulo e uma distância a partir de um pon-
to da poligonal principal. 
FIGURA 5 – LEVANTAMENTO POR IRRADIAÇÃO
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: representação do planejamento do solo.
2.1.5 COORDENADAS RETANGULARES
A posição do ponto P é definida por duas perpendiculares a partir de um pon-
to da poligonal.
2.1.6 POLIGONAL TOPOGRÁFICA
De acordo com a NBR 13133, que é a norma técnica brasileira que dispõe e 
orienta acerca de levantamentos topográficos no Brasil, as poligonais podem 
ser classificadas em: 
• Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico 
de primeira ordem. 
• Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, 
determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem. 
• Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio, tem seus 
vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja 
possível coletar, de forma direta ou indireta, por irradiação, por interseção 
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ou ordenadas sobre uma linha de base, os pontos de detalhes que se 
julgarem importantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou nível de 
detalhamento do levantamento.
Todos os pontos da poligonal topográfica (sejam principais, secundários ou 
irradiados) são denominados pontos topográficos. Esses pontos definem a 
área levantada topograficamente, podendo ser: 
a. Naturais: são pontos que já existem no terreno e foram objetos de levan-
tamento (torre de igreja, árvores, postes, pontes, prédios etc.) 
b. Artificiais: são pontos implantados ou assinalados no terreno especifica-
mente para execução do levantamento topográfico (piquetes, marcas de 
tinta, marcos geodésicos, referencias de nível (RNs) etc.). 
Na demarcação desses pontos há: 
a. Piquetes: geralmente fabricados de madeira, são utilizados para demar-
car o ponto topográfico. 
b. Estacas testemunhas: também de madeira, geralmente são colocadas 
ao lado do piquete, para auxiliar a localização e na identificação do ponto 
topográfico, ou em obras de terraplenagem, com as indicações de altu-
ras de corte/aterro. 
c. Marcos: têm função similar à dos piquetes, mas são mais resistentes às 
intempéries. A instrução técnica NS. DGC-N. 29/88 do IBGE apresenta a 
padronização dos marcos geodésicos. 
FIGURA 6 – TIPOS DE DEMARCAÇÕES DE PONTOS
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: representação da marcação do solo.
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Em alguns pontos de apoio, no caso de usos futuros, constrói-se a “monogra-
fia do ponto”, a qual apresenta algumas informações: coordenadas do ponto, 
croqui de localização, data do levantamento, foto do ponto etc.
FIGURA 7 – MONOGRAFIA DE MARCOS 
Fonte: Elaborado pela autora (2022).
#PraTodosVerem: Esquema de uma Monografia de Marcos, com dados gerais, croqui, foto e 
itinerário.
Para implantação da poligonal topográfica, além dos instrumentos principais 
necessários à avaliação de ângulos e distâncias (teodolitos e trena ou estação 
total), são utilizados alguns acessórios, definidos a seguir. 
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FIGURA 8 – ESTAÇÃO TOTAL E TEODOLITO. 
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: foto e esquema dos componentes de uma estação total e Teodolito.
a. a) Nível de cantoneira: acessório no formato de cantoneira e que dispõe 
de bolha circular que permite a verticalidade da baliza ou do prisma. 
Pode ser conjugado ou livre, à baliza ou bastão. 
FIGURA 9 – NÍVEL DE CANTONEIRA. 
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: demonstra o nível da cantoneira.
b. Balizas: hastes de aço (metalon, por exemplo) ou de madeira (pouco 
usual), de comprimento igual a 2 metros. Geralmente são arredondadas 
e pintadas com cores contrastantes (vermelho e branco, a cada 0,5 me-
tros) para visualização nos meios urbano e rural. Têm uma ponteira (ge-
ralmente de aço) para apoiar no ponto topográfico. Para garantir a verti-calidade, pode-se fazer uso do nível de cantoneira. 
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São utilizadas para materialização vertical do ponto topográfico. 
FIGURA 10 – BALIZAS
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: duas linhas de balizas.
c. Bastões: hastes de aço com a função de fixar o prisma refletor da estação 
total. Há no mercado alturas distintas destes bastões (entre 2,60 a 4,70 
metros, ou até maiores). Pode-se conjugar ao bastão o nível de cantonei-
ra. Para sua perfeita verticalidade, pode-se utilizar um bipé ou tripé. 
d. Tripés (e bipés): podendo ser de madeira ou de aço (metalon) e que per-
mite a fixação dos instrumentos como níveis, teodolitos, estações totais, 
etc. Dotados de parafusos de fixação universal para todos os equipamen-
tos citados. 
FIGURA 11 –TRIPÉS E BIPÉS
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: imagens de diferentes tripés e bipés.
e. Prisma: conjunto de espelhos que, acoplado na extremidade do bastão, 
permite o retorno do sinal da estação total. O modelo geralmente acom-
panha as especificações do modelo da estação total. 
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FIGURA 12 – PRISMA
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: equipamento de prisma.
f. Miras: réguas graduadas em centímetros, com tamanho de 2 a 4 metros. 
Podem ser de madeira ou aço (mais comuns) e auxiliam principalmen-
te nas práticas de nivelamento (medição de alturas relativas entre esses 
pontos) e de estadimetria (obtenção de distâncias horizontais e verticais). 
2.2 ALTIMÉTRICOS E EQUIPAMENTOS DE 
MEDIÇÃO 
Determinar cotas e/ou altitudes de um ponto qualquer é uma atividade es-
sencial em engenharia. Projetos de redes de esgoto, de estradas, planejamen-
to urbano, entre outros, são exemplos de aplicabilidades que se utilizam des-
tas informações. Esta determinação baseia-se em métodos que permitem 
obter o desnível entre pontos. Conhecendo-se um valor de referência inicial é 
possível calcular as demais cotas ou altitudes. Estes métodos são denomina-
dos de nivelamento. 
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2.3.1 CONCEITOS IMPORTANTES
Para saber mais sobre levantamento topográfico altimétrico é necessário ter 
conhecimento de alguns conceitos importantes:
Altitude: É a distância vertical entre um ponto do terreno e a superfície de 
nível médio dos mares. A altitude pode ser geométrica (h), em que vai da 
superfície do elipsoide até a superfície física da terra, ao longo da normal. E 
também pode ser altitude ortométrica (H), que vai da superfície do geoide 
até a superfície física da terra, ao longo da vertical.
Cota: É a distância vertical entre um ponto no terreno e a superfície de refe-
rência arbitrária. 
O referencial altimétrico é o datum vertical, que é a superfície de referência ado-
tada como origem altimétrica. No Brasil é definido a partir do NMM (Nível Médio 
dos Mares), medidos por equipamentos denominados marégrafos. O Datum al-
timétrico está localizado no litoral de Santa Catarina, na cidade de Imbituba.
O apoio geodésico altimétrico é o conjunto de marcos de concreto, denomi-
nados de Referências de Nível (RN), que são materializados no terreno e que 
propiciam o controle altimétrico dos levantamentos topográficos.
Desnível: É obtida pela diferença de cotas ou altitudes entre dois pontos.
2.3.2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
ALTIMÉTRICO
O levantamento topográfico altimétrico ou nivelamento é definido por: um 
levantamento que tem o intuito, exclusivo, determinar as alturas relativas a 
uma superfície de referência dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhe, 
pressupondo-se o conhecimento de suas posições planimétricas, visando a 
representação altimétrica da superfície levantada.
Os equipamentos utilizados para esses 
levantamentos são: Teodolito, Níveis e Estações 
Totais. Existem, basicamente, três principais 
métodos de nivelamento, são eles: Geométrico, 
Trigonométrico e Taqueométrico..
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2.3.2.1 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
É baseado na resolução de um triângulo retângulo. Para isto, é necessário cole-
tar em campo, informações relativas à distância (horizontal ou inclinada), ângu-
los (verticais, zenitais ou nadirais), além da altura do instrumento e do refletor. 
Esse nivelamento é obtido por instrumentos como teodolitos e estações totais.
FIGURA 13 – NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: traz a representação de uma figura geométrica.
2.3.2.2 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Operação que tem o intuito de determinar o desnível entre dois pontos a par-
tir da leitura em miras (estádias ou em código de barras) que são efetuadas 
com níveis ópticos ou digitais. Este pode ser executado para fins geodésicos 
ou topográficos. A diferença entre ambos está na precisão (maior no caso do 
nivelamento para fins geodésicos) e na instrumentação utilizada.
Os níveis são instrumentos que permitem definir com precisão um plano ho-
rizontal ortogonal à vertical definida pelo eixo principal do equipamento. As 
principais partes de um nível são: 
• Luneta; 
• Nível de bolha; 
• Sistemas de compensação (para equipamentos automáticos); 
• Dispositivos de calagem e centragem.
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FIGURA 14 – DIFERENTES MODELOS DE MIRAS.
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: traz a representação de diferentes miras.
2.3.2.3 NIVELAMENTO TAQUEOMÉTRICO
É um tipo de nivelamento em que as distâncias são obtidas de forma taqueo-
métrica e a altura do sinal visado é obtida pela visada do fio médio do retículo 
da luneta do teodolito sobre uma mira colocada verticalmente no ponto cuja 
diferença de nível em relação à estação do teodolito e objeto de determinação.
Realizado através de Teodolitos ou Estações totais (que possua os três fios do 
retículo) com visadas com qualquer inclinação. 
O levantamento taqueométrico é usado 
geralmente para definição planialtimétrica de 
parcelas do terreno, realizado através de poligonais 
e de irradiações a partir dos vértices das poligonais.
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2.3 PLANIALTIMÉTRICOS E EQUIPAMENTOS DE 
MEDIÇÃO 
Como vimos nos tópicos anteriores, o levantamento topográfico pode ser di-
vidido em duas partes: o levantamento planimétrico, onde se procura deter-
minar a posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o levantamen-
to altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude de um ponto 
(coordenada Z).
A realização simultânea dos dois levantamentos, seja ele planimétrico ou alti-
métrico, origina o chamado levantamento planialtimétrico. A figura a seguir 
ilustra o resultado de um levantamento planialtimétrico de uma área.
FIGURA 15 – PRODUTO DE UM LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO.
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: imagem aérea e (ao lado) levantamento planialtimétrico.
2.4 PONTOS COTADOS E CURVAS DE NÍVEL
Na Topografia, alguns conceitos são muito importantes na hora de determi-
nar e representar o relevo, sendo estes os pontos cotados, curvas de nível, 
perfil ou seção transversal, entre outras.
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2.4.1 PONTOS COTADOS
São pontos que são distribuídos de forma espacial num plano e que são re-
presentados graficamente, tendo as suas altitudes ou cotas, levantados em 
um determinado terreno.
FIGURA 16 – PONTOS COTADOS
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: esquema que demonstra pontos cotados.
2.4.2 CURVAS DE NÍVELSão linhas imaginárias de mesma cota/altitude, e que são equidistantes entre 
si, e tem o intuito de representar o relevo de um determinado local. As curvas 
de nível cruzam cursos d’água em forma de “V”, com o vértice apontando 
para a nascente. É obrigatoriamente fechada.
Podem ser distinguidas entre curvas mestras ou principais e secundárias. As 
mestras são representadas com traços diferentes das demais (mais espessos, 
por exemplo), sendo todas numeradas. As curvas secundárias complemen-
tam as informações.
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FIGURA 17 – CURVAS DE NÍVEL MESTRAS E SECUNDÁRIAS
 
Fonte: Veiga; Zanetti e Faggion (2012).
#PraTodosVerem: traz a representação de uma figura geométrica.
2.4.3 SEÇÃO TRANSVERSAL
As seções transversais são formas de representação do relevo, através de vis-
tas frontais, perpendiculares ao perfil longitudinal de um determinado local. 
A seção transversal, quando se trata do plano, ou perfil transversal (quando 
se trata de vetores), corresponde a um corte efetuado paralelamente ao eixo 
principal do projeto relacionado a um rio, estrada, ponte etc.
FIGURA 18 – SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM RIO.
Fonte: Machado (2014).
#PraTodosVerem: divisão entre terra e água (rio) em seção transversal.
2.4.4 LOCAÇÃO DE CURVAS DE NÍVEL
Procedimento inicial em toda e qualquer obra. É feita com o intuito de im-
plantar os diversos pontos necessários à execução da obra no terreno, sendo 
também denominada como a própria implantação da obra. Por meio dela é 
possível demarcar as posições de quaisquer pontos, em quaisquer obras: edi-
ficações, rodovias, portos, hidrelétricas, saneamento, entre outros. 
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2.5 OPERAÇÕES DE ESCRITÓRIO
As operações de escritório são feitas antes e depois de qualquer serviço de 
topografia. Antes de ir a campo, é importante conhecer a área visualizando-
-a por meio de softwares como o Google Earth Pro ou Maps, onde se há a 
noção espacial da região. Após o levantamento topográfico, o topógrafo ou 
engenheiro irá ao escritório realizar o projeto, criando as mudanças futuras 
necessárias no terreno, para a implantação de obras na área.
Atualmente é possível conjugar o uso de um programa para cálculo topo-
gráfico e um programa CAD. Alguns programas de Topografia têm seu CAD 
próprio, outros trabalham em conjunto com um CAD específico, como o AU-
TOCAD. Basicamente o que estes programas fazem é calcular as coordenadas 
dos pontos e lançá-las no editor gráfico para a realização do desenho. Além 
disto, apresentam uma série de facilidades e utilitários para o desenho, como 
traçado de curvas de nível utilizando Modelos Digitais de Terreno (MDT) ou 
Modelos Digitais de Elevação (MDE), criação automática de malha de coor-
denadas, elaboração de perfis do terreno, inserção automática de folhas de 
desenho, rotulação de linhas com azimutes e distâncias etc. A figura a seguir 
exemplifica um destes softwares para se realizar estas operações.
FIGURA 19 – SOFTWARE AUTOCAD
Fonte: o autor (2022).
#PraTodosVerem: tela de computador com representação no AUTOCAD.
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CONCLUSÃO
Chegamos ao fim desta unidade, que objetivou trazer como conhecimento 
e esclarecer as etapas de levantamento topográfico e georreferenciamento. 
Assim como os compreender os métodos e identificação das operações. Boa 
sorte na aplicação dos seus conhecimentos.
UNIDADE 3
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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> Entender o que é 
terraplanagem suas 
aplicações.
> Conhecer os 
procedimentos de 
cálculo de cortes e 
aterros.
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3 TERRAPLANAGEM
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
A terraplanagem, como o próprio nome indica, consiste na alocação ou remo-
ção de terreno para criar uma superfície plana, resolvendo uma série de pro-
blemas que podem impedir a construção, uma parte mais alta do terreno e 
depositada em uma parte mais baixa, nivelando o terreno, isso é feito usando 
equipamentos especializados e um cálculo preciso da quantidade/volume de 
solo é necessário ser removida (corte) ou depositado (aterro) (SAVIETTO, 2017).
De acordo com Savietto (2017), é importante entender que é comum gran-
de volume de solo seja movimentado em obras de rodovias, ferrovias, canais, 
fundações de grandes edifícios, oleodutos e outras obras. Os levantamentos 
topográficos estão diretamente envolvidos na determinação das quantida-
des ou volumes de solas movimentadas, ou seja, utilizando a terraplanagem. 
Essas avaliações são responsáveis não só por determinar essas quantidades, 
mas também por determinar a localização das estações de nivelamento ne-
cessárias para realizar a movimentação do terreno necessária para moldar o 
terreno às inclinações e cotas especificadas no projeto.
3.1 NOÇÕES DE TERRAPLANAGEM
Para entender sobre terraplanagem é fundamental conhecer as definições 
importantes sobre o tema a fim de compreender como acontece o processo 
de cortes e aterros na terraplanagem.
3.1.1 DEFINIÇÕES IMPORTANTES
De acordo com Savietto (2017), Tuler e Saraiva (2016) e Daibert (2015) para en-
tender melhor a terraplanagem ou o processo de corte e aterro dentro da 
topografia, é necessário definir alguns termos-chave que são: 
Cortes: São segmentos onde a instalação das geometrias planejadas exige a 
escavação dos materiais constituintes do solo. 
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FIGURA 1 – SEÇÃO EM CORTE
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
#PraTodosVerem: área de terreno com seção de corte
Aterro: consiste em colocar uma camada de solo para revestir uma determi-
nada área que se encontra com diferença de altura/cotas da base de nivela-
mento. Preparar o terreno a fim de obter uma configuração desejada, através 
da deposição de terra. 
FIGURA 2 – SEÇÃO DE ATERRO
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
#PraTodosVerem: área de terreno preparada para aterro
Seção mista: consiste em uma combinação de corte e aterro. O compacto 
também é necessário e, em pequenas áreas aterradas, pode ser feito manual-
mente com sapos, que são ferramentas rudimentares que podem ser feitas a 
partir de obras ou mecanizadas.
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FIGURA 3 – SEÇÃO MISTA
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
#PraTodosVerem: Área de terreno preparada com seção de corte e aterro, mista.
O termo “operações de corte” refere -se à escavação propriamente dita, bem 
como a carga, transporte, descarga e colocação de materiais em seu destino 
final (aterro, bota-fora ou depósito).
As cotas presentes nos processos de terraplanagem podem ser: vermelhas 
positiva, vermelhas negativas, vermelho nulas e pontos de passagem. As co-
tas vermelhas consistem nas distâncias verticais entre um ponto da grade 
e o respectivo ponto correspondente no terreno. Cota vermelha positiva (+) 
ocorre quando o ponto da grade estiver acima do ponto correspondente no 
terreno, ou seja, está acima da cota correspondente necessitando de alocação 
de terra/solo para aterrar. Cota vermelha negativa (-) significa dizer que se o 
ponto da grade estiver abaixo do ponto correspondente no terreno, será ne-
cessário cortar o excesso. 
Uma outra definição que é preciso entender é o ponto de passagem, que 
consiste no ponto de transição entre corte e aterro. Quando o ponto da grade 
coincide com o ponto do terreno, não há corte nem aterro, tendo, portanto, 
cota vermelha nula, significar dizer que o terreno está nivelado.
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Seção de corte: O cálculo dos volumes de corte e aterro tem três compo-
nentes básicos: uma cota de corte, um polígono definindo a área de cálculo 
e uma unidade básica de cálculo. Vermelhas positivas, vermelhas, vermelhas 
nulas e pontos de passagem são exemplos dessas cotas que encontramos 
em um polígono.
A célula da grade regular também é um termo que precisamos nos familia-
rizar ela consiste na unidade básica sobre a qual se efetuam os cálculos dos 
volumes de corte e aterros necessários, sendo que o volume total é a soma do 
volume de cada unidade (SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015). 
Cabe destacar que perfil de um terreno consiste da intersecção da superfície 
do solo com o plano vertical que passa pelo alinhamento que define aquela 
direção. Se o perfil se refere ao eixo do caminhamento, denomina-se como 
Perfil Longitudinal; no entanto se em direção que atravessa o eixo de cami-
nhamento, esse perfil é denominado de Transversal (DAIBERT, 2015).
Um termo chave na terraplanagem são as células da grade regular, que é a 
unidade básica sobre a qual se efetua o cálculo dos volumes, sendo que o vo-
lume total é a soma do volume (SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015).
Os aterros, quando necessários, deverão ser 
acompanhados da compactação do solo, para que 
esse fique firme, ou seja, passar repetidas vezes os 
equipamentos nos locais aterrados.
Greide ou “Grade” é a linha que une dois a dois, um 
certo número de pontos dados num perfil.
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3.1.2 INCLINAÇÕES E ESTACAS DOS TALUDES
Conforme Savietto (2017); Tuler e Saraiva (2016) e Daibert (2015), as inclinações 
das rampas laterais (ou, mais precisamente, os taludes) são, muitas vezes, ba-
seadas nos tipos de materiais utilizados durante o trabalho com cálculos de 
cortes e aterros para projetos. A inclinação é dada como razão por haver tan-
tas unidades horizontais para tantas unidades verticais. 
FIGURA 4 – DISTANCIA GEOMÉTRICA OU INCLINADA
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
#PraTodosVerem: ilustração mostrando a distância natural, distacia horizontal/reduzida e 
distância geométrica=distância inclinada.
A inclinação do terreno pode ser conhecida como 
distância inclinada ou mesmo distância geométrica 
que consiste na distância entre o ponto A e B em 
linha reta, desconsiderando a distância natural da 
área com base no relevo.
Por exemplo, a inclinação 2 para 1 (ou 2:1) significa que o 
aterro em questão avança 2 metros horizontalmente 
para cada avanço vertical de 1 metro.
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Ao se proceder com o levantamento da área a exemplo de uma estrada, após 
terem sido estabelecidas as inclinações dos taludes, definindo-se os volumes 
de cortes e aterros, faz-se necessário estaquear a área de estudo levantada 
(SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015).
O corte ou o aterro a ser executado em uma dada seção transversal ao longo 
do eixo de uma estrada por exemplo, deve ser igual às diferenças entre a cota 
do terreno existente e a cota final da linha da grade. Sempre que for necessá-
ria a realização e corte ou aterro deve-se estaquear a linha de eixo da estrada 
e colocar as estacas de taludes (ou de offset) na interseção da linha de terreno 
natural com o talude, seja de corte ou de aterro.
As estacas denominadas de offset são normalmente cravadas, para fora da 
área nos aterros e para dentro, nos cortes. Os números das estacas são nor-
malmente escritos no lado de fora das estacas, e os cortes e os aterros são 
marcados no lado interno, frequentemente com a distância ao eixo da estra-
da (SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015).
Segundo Daibert (2015), cabe salientar que nos trechos a serem construídos 
em terrenos virgens, ou seja, em áreas sem desmatamento, é necessário que 
se faça a remoção, antes de qualquer operação, de todas as espécies vegetais 
e também da camada superior do terreno, ou seja, de características geotéc-
nicas inadequadas para os locais de implantação dos projetos. Como as ope-
rações de limpeza removem a porção superior do terreno natural.
Algumas vezes, após ser determinada a posição 
correta da estaca de talude, elas são afastadas de 
0,5 a 1,5 m na tentativa de preservá-la durante as 
operações de terraplanagem.
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FIGURA 5 – REMOÇÃO DA CAMADA SUPERFICIAL DO SOLO
Fonte: FreePik (2022)
#PraTodosVerem: trator fazendo a remoção da camada superficial em área de corte e 
aterro.
Nessa situação a seção de corte efetiva e, por conseguinte, o volume que é 
obtido pela diferença entre a área total resultante da remoção da camada su-
perior do solo é quantificada matematicamente conforme equação:
Seção de aterro efetiva = seção de aterro total + seção da camada superior retirada
Já para a seção em condição e aterro, ocorre o processo inverso, retira-se a ca-
mada vegetal antes de ser realizado. Desse modo o volume de solo necessário 
é maior quando se compara o volume necessário nos levantamentos expedi-
tos, esse volume é quantificado de acordo com equação abaixo:
Seção de corte efetiva = Seção de corte total - Seção da camada superior retirada
Quando falamos em levantamentos expeditos 
do terreno em estudo, significar que tem como 
finalidade o reconhecimento da área sem muita 
precisão.
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A camada vegetal pode ser desprezada em casos de estudos preliminares, no 
entanto, em fase de projeto efetivo deve ser avaliada em cada seção a neces-
sidade de remoção. Essa necessidade é calculada pela multiplicação da dis-
tância que separa os “off-sets” pela espessura média do solo vegetado, obtida 
por meio das sondagens (SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015).
3.1.3 DETERMINAÇÕES DE ÁREAS
Segundo Savietto (2017); Tuler e Saraiva (2016) e Daibert (2015), visando quan-
tificar os volumes de solo, para os cálculos de corte e aterro, antes de iniciar os 
cálculos de corte e aterro especificamente, é necessário determinar as áreas 
das seções transversais. Desse modo as áreas das sessões transversais podem 
ser obtidas por diferentes métodos sendo eles: Os processos denominados 
de expeditos esse consiste em deduzir expressões analíticas, que fornecem o 
valor relativos as áreas das seções transversais, esse método é em função de 
parâmetros como: cota vermelha, declividade em cada seção do terreno. 
No método expedito tem-se equações de corte ou aterro pleno; seção mista 
para corte e para aterro, conforme equações abaixo:
Cortes ou aterros plenos
Seções mistas de aterro
Seções mistas de corte
Onde: h consiste na cota vermelha, medida no perfil do anteprojeto geomé-
trico. T consiste na declividade transversal média do terreno, definida na plan-
ta do anteprojeto geométrico, contando-se o número de curvas de nível (des-
nível) no âmbito de cada seção transversal. 2l reflete a largura da plataforma 
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de terraplenagem. Constante para um dado trecho e definida em função da 
classe da rodovia. i, i’: são as declividades dos taludes de aterro e de corte, de-
finidas pelo setor de geotécnica e constantes para um dado trecho estudado.
Cabe salientar ainda que uma forma mais simples de se quantificar as áreas 
é considerar sempre horizontal a linha do terreno, desse modo realizam-se os 
cálculos das áreas de cortes ou aterros como uma função específica da cota 
vermelha conforme equação abaixo:
É possível calcular área pelo método mecânico, onde se utiliza de um equipa-
mento conhecido como planímetro, o qual possui um dispositivo que possi-
bilita percorrer todo o entono da seção transversaldesenhada em carta topo-
gráfica e se determina a área da seção.
FIGURA 6 – PLANÍMETRO UTILIZADO PARA MEDIR ÁREA
Fonte: Savietto (2017).
#PraTodosVerem: equipamento utilizado para determinação de área, conhecido como 
planímetro.
Apesar de obter-se bons resultados com esse método quando se tem cartas 
topográficas em escala de 1:200, o principal entrave ao seu uso é a obrigato-
riedade de ter um desenho e a gabaritagem da seção transversal.
Em praticamente todos os casos, a área da seção transversal pode ser de-
terminada pelo uso de planímetro, a precisão é aceitável. Contudo na era da 
informática e dos programas computacionais o uso desse método tem redu-
zido de forma considerável.
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O método atual mais utilizado para determinação de áreas de seções trans-
versais são os métodos computacionais que apresentam elevada precisão, e 
rotinas de cálculos adequadas, desde que o operador disponha do computa-
dor com o programa computacional instalado e saiba manusear. O programa 
mais comum utilizado tem como base a ferramenta CAM, que consiste no 
desenho assistido por computador e o programa mais conhecido mundial-
mente é o Autocad®.
FIGURA 7 – USO DE CAD NO DESENHO DE POLIGONAIS PARA OBTER AS ÁREAS DE 
SEÇÕES TRANSVERSAIS
Fonte: Savietto (2017).
#PraTodosVerem: uso de ferramentas computacionais para determinar área.
Existe também um método conhecido como método gráfico em que a área 
da seção transversal de uma poligonal é obtida por meio de desenhos e figu-
ras geométricas e essas são subdivididos em figuras menores como triângu-
los, quadrados e outras, a área final da poligonal é obtida pela somatória de 
todas as áreas das figuras geométricas.
FIGURA 8 – TRIÂNGULO SUBDIVIDO EM OUTROS PARA FACILITAR O CÁLCULO DA ÁREA
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
#PraTodosVerem: subdivisão de um triângulo em triângulos menores visando facilitar o 
cálculo de áreas.
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A determinação de áreas é fundamental dentro da topografia, e como visto 
até agora existem diversos métodos de quantificação, cada um com sua pe-
culiaridade. A área é essencial para que alocar dentro da terraplanagem o vo-
lume de solo correto para aterro, ou o volume de solo correto para ser cotado.
3.2 MÉTODOS DE CÁLCULO DE VOLUME DE 
CORTES E ATERROS
Para compreender os cálculos de volume de cortes e aterros é essencial que 
se conheça os principais métodos, dentre os quais citam-se métodos de cál-
culo de volume baseado em empréstimos; método da área média; método 
das seções transversais (prisma); método das superfícies equidistantes (áreas 
extremas); método das alturas ponderadas ou malhas cotadas; método do 
volume pela Fórmula Prismoidal; Método do diagrama de massa ou curva de 
massa dentre outros (SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015).
3.2.1 PRINCIPAIS MÉTODOS DE CÁLCULO
São diversos os métodos de cálculos para se determinar os volumes de corte 
assim como aterro, dentre os quais podemos destacar: Métodos de cálculo de 
volume baseado em empréstimos; método da área média; método das se-
ções transversais (prisma); método das superfícies equidistantes (áreas extre-
mas); método das alturas ponderadas ou malhas cotadas; método do volume 
pela Fórmula Prismoidal; Método do diagrama de massa ou curva de massa 
dentre outros.
Métodos de cálculo de volume baseado em empréstimos
De acordo com Tuler e Saraiva (2016), durante a elaboração ou execução de 
projetos que envolvam cálculos de movimento de terra, na grande maioria 
das vezes é necessário escavações em áreas vizinhas, a fim de construir os 
aterros. Essas escavações são denominadas de  empréstimos. O volume de 
material coletado para o empréstimo normalmente é calculado com base no 
número de quilômetros percorridos do empréstimo até a obra. 
Cabe destacar que, as áreas contíguas, das quais os empréstimos são retira-
dos, repetidamente pertencem a terceiros, que são também pagas de acordo 
com a quantidade de material retirado. 
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Ao utilizar o método do empréstimo para quantificar os dados imprescindí-
veis para os cálculos do volume é necessária a obtenção das cotas em certos 
pontos, antes e após a remoção do material. Para isso, são constituídas uma 
ou mais linhas de base e duas ou mais referências de nível em localizações 
adequados e protegidas. 
Ao finalizar as escavações nas áreas de empréstimos, procedem-se os nivela-
mentos por algum método. No método de empréstimos os volumes de solo 
podem ser calculados, multiplicando o corte médio pela área do polígono. 
Quando há grandes áreas, esse método apresenta desvantagem, pois demo-
ra muito tempo. A vantagem é que existem alguns programas computacio-
nais como o MATLAB que conseguem replicar a metodologia inclusive com 
maior resolução.
Um dos métodos para se calcular volumes de corte e aterros é conhecido 
como método das áreas médias. Nesse método o volume de solo entre duas 
ou mais seções transversais é igualado a área média das seções transversais 
das duas extremidades multiplicado pela distância existente entre elas, assim 
o volume em metros cúbicos pode ser quantificado segundo a equação (TU-
LER; SARAIVA, 2016). 
Onde: V consiste no volume em m3; A1 e A2 são as áreas das extremidades, em 
m2, e L consiste na distância entre as seções transversais, m. 
Caso as estacas sejam instaladas a cada 20 m de distância entre elas, a expres-
são anterior pode ser reescrita conforme equação abaixo.
Geralmente é construído um sistema de grades 
regular, ou seja, um quadrado que varia de 20 a 50m, 
sendo que as cotas são quantificadas em cada um 
dos vértices. Nos levantamentos, esse procedimento 
é realizado com o uso de estação total. 
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É considerado um dos métodos mais simples, não é muito preciso, a não ser 
que as duas extremidades sejam iguais, mas os erros normalmente não são 
significativos. Caso uma dessas áreas extremas se aproxime de zero, como em 
um declive em que a seção transversal está mudando de corte para aterro, o 
erro será bastante expressivo. Para essa situação, a alternativa melhor é calcu-
lar o volume como uma pirâmide, assim, tem-se um terço do produto da área 
da base em função da altura. O método conhecido como cálculo de volumes 
por meio de seções transversais (prisma) incide em computar a área através 
de aproximação com uma figura geométrica conhecida e multiplicar pela 
profundidade unificada (SAVIETTO, 2017; DAIBERT, 2015).
Em alguns casos compara-se esse método à somatória de áreas infinitesi-
mais, ou seja, integração de áreas. A aplicação desta equação julga seções 
planas paralelas entre si, espaçadas de uma distância “d”. Pode-se utilizar a 
equação abaixo para quantificar o volume: 
Onde: Vi= volume de solo (m3); Si e Si +1 = duas seções planas, paralelas e ver-
ticais, de corte ou aterro; d – espaçamento horizontal entre as seções e igual 
a 20,00 m. 
Em condições em que o valor relativo a (d) seja constante e igual a 20 m, valor 
este usual para condição de projeto, a equação anterior passa a assumir o um 
formato diferente, conforme equação:
Ainda é possível utilizar uma metodologia chamada de cálculo de Superfícies 
Equidistantes. Esse método segue o mesmo princípio do cálculo do método 
das seções transversais, no entanto, ao invés de se trabalhar com seções ver-
ticais, usa-se seções horizontais. Nesse admite-se seções planas, paralelas, de 
áreas (si) espaçadas em uma mesma distância (d), conforme equação: 
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Onde: V é o volume em m3; S são as seções planas horizontais e d é a espaça-
mento