faculdade matematica-i

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**Resposta:** A solução geral é \( y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação diferencial linear de segunda ordem. 
 
145. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \ln x \) e o eixo \( x 
\) no intervalo \( [1, e] \). 
 **Resposta:** A área é \( 1 \) unidade quadrada. 
 **Explicação:** Calculamos a área sob a curva utilizando integração. 
 
146. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = 
e^x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p(x) = \frac{1}{2}xe^x \). 
 **Explicação:** Utilizamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma 
solução particular. 
 
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. **Problema:** Determine o valor de \( \cot 30^\circ \). 
 **Resposta:** \( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \). 
 **Explicação:** \( \cot 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \sqrt{3} \). 
 
148. **Problema:** Encontre a equação da circunferência com centro \( (-2, 4) \) e que 
passa pelo ponto \( (2, 8) \). 
 **Resposta:** A equação é \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 20 \). 
 **Explicação:** Utilizamos a fórmula da equação da circunferência. 
 
149. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( -\sqrt{1 - x^2} + C \). 
 **Explicação:** Utilizamos a substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
150. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' + y = \sin 
2x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p(x) = \frac{\sin 2x}{2} \). 
 **Explicação:** Utilizamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma 
solução particular. 
 
151. **Problema:** Determine o valor de \( \sec^2 15^\circ \). 
 **Resposta:** \( \sec^2 15^\circ = 8 - 4\sqrt{3} \). 
 **Explicação:** \( \sec 15^\circ = \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} \), então \( \sec^2 15^\circ 
= 8 - 4\sqrt{3} \). 
 
152. **Problema:** Encontre a equação da circunferência com centro \( (-3, 1) \) e que 
passa pelo ponto \( (1, 5) \). 
 **Resposta:** A equação é \( (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25 \). 
 **Explicação:** Utilizamos a fórmula da equação da circunferência. 
 
153. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C 
\). 
 **Explicação:** Utilizamos a substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
154. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = e^{-
x} \). 
 **Resposta:** A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação diferencial linear de segunda ordem. 
 
155. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \sin x \) e o eixo \( 
x \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 **Resposta:** A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 **Explicação:** Calculamos a área sob a curva utilizando integração. 
 
156. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' + y' - 2y = 
e^x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p(x) = -\frac{x e^x}{3} \). 
 **Explicação:** Utilizamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma 
solução particular.