Cálculos de Limite, Integral e Derivada

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57. **Problema:** Determine \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
Utilizamos a definição do limite fundamental para a função seno. 
 
58. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral \( \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \, dx = -\cot(x) + C 
\). Aplicamos a fórmula de integração da função cotangente. 
 
59. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \frac{e^x}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = \frac{e^x(2 - x)}{x^3} \). 
Aplicamos a regra do quociente e a derivada da exponencial. 
 
60. **Problema:** Determine \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). Utilizamos 
a definição do limite fundamental para a função tangente. 
 
61. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{\pi}{4} 
\). Aplicamos a fórmula da integral do arco tangente. 
 
62. **Problema:** Encontre a derivada de \( h(x) = \ln(1 + 2x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( h(x) \) é \( h'(x) = \frac{2}{1 + 2x} \). 
Aplicamos a regra da derivada do logaritmo natural. 
 
63. **Problema:** Determine \( \lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} 
\). Utilizamos a expansão em série de Taylor para aproximar \( e^x \). 
 
64. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral \( \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx = 2\pi - 4 \). 
Usamos integração por partes para resolver a integral. 
 
65. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sec(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \tan(x) \). Aplicamos a regra 
da derivada do logaritmo natural. 
 
66. **Problema:** Determine \( \lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = 2 \). 
Utilizamos a definição do limite fundamental para o cosseno. 
 
67. **Problema:** Calcule \( \int e^x \sin(x) \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral \( \int e^x \sin(x) \, dx = \frac{e^x(\sin(x) - 
\cos(x))}{2} + C \). Aplicamos integração por partes para resolver a integral. 
 
68. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = -\frac{\sin(x)}{x} - 
\frac{\cos(x)}{x^2} \). Aplicamos a regra do quociente e a derivada do cosseno. 
 
69. **Problema:** Determine \( \lim_{{x \to 0}} \frac{e^{3x} 
 
 - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{{x \to 0}} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \). 
Utilizamos a definição do limite fundamental para a função exponencial. 
 
70. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx = 
\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \). Aplicamos a fórmula de substituição 
para resolver a integral. 
 
71. **Problema:** Encontre a derivada de \( h(x) = \ln(3x^2 + 1) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( h(x) \) é \( h'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1} \). 
Aplicamos a regra da derivada do logaritmo natural. 
 
72. **Problema:** Determine \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
Utilizamos a definição do limite fundamental para a função tangente.