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Lista de Exercícios: Vetores - Produto escalar e Produto Vetorial Prof: Regina 
1) Determine o ângulo entre os vetores: 
a) ( ) ( )3,4 e 5,12a b= = 
b) ( ) ( )3,1 e 0,5a b= = 
c) ( ) ( )1,2,3 e 4,0, 1a b= = − 
d) e 2 3a j k b i j k= + = + − 
 
2) Encontre o vetor unitário que forma um ângulo 
2
3

 = com o eixo x positivo. 
 
3) Seja o triângulo de vértices ( ) ( ) ( )1, 2,4 , 4, 2,0 e 3, 2,1A B C− − − − − . Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. 
 
4) Dados os pontos ( ) ( ) ( )1,2,3 , 6, 2,3 e 1,2,1A B C− − , determinar o versor do vetor 3 2BA BC− . 
 
 
5) Se 2 3a i j k= + − e 4 7b i k= + , expresse o vetor 2 3a b+ nos termos de , ei j k 
 
 
6) Dados os pontos ( ) ( )1,2,3 e 4, 2,0A B− − , determinar o ponto P tal que 3AP AB= .¨ 
 
 
7) Dados os pontos ( ) ( )2, 3,1 e 4,5, 2A B− − , determinar o ponto P tal que AP PB= . 
 
 
8) Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois: 
 
a) ( ) ( )5,3,7 e 6, 8,2a b= − = − 
b) ( ) ( )4,6 e 3,2a b= = − 
c) 2 5 e 3 4a i j k b i j k= − + + = + − 
d) 2 6 4 e 3 9 6a i j k b i j k= + − = − − + 
 
9) Determine o valor de x de modo que os vetores ( ) ( )3 ,2 e 4,x x x− sejam ortogonais. 
 
 
10) Prove que os pontos ( ) ( ) ( )5,1,5 , 4,3,2 e 3, 2,1A B C − − são vértices de um triângulo 
retângulo. 
 
11) Encontre u v e mostre que ele é ortogonal a ambos eu v . 
a) ( ) ( )12, 3,0 e 2,5,0u v= − = − 
b) 6 e 2u j k v i j k= + = − + 
c) 
1 3 1
3 2 3 e
2 4 10
u i j k v i j k= − + − = − + 
Lista de Exercícios: Vetores - Produto escalar e Produto Vetorial Prof: Regina 
 
12) Se eu v são os vetores mostrados na figura, determine u v e u v . O sentido do 
vetor u v é entrando ou saindo do papel? 
 
 
13) Determinar o vetor projeção do vetor ( )1,2, 3u = − na direção de ( )2,1, 2v = − . 
 
 
 
Respostas: 
1) 
1 63
)cos 14
65
a −  
 
 
 )60b 1 1
)cos 86
238
c −  
 
 
 1 1
)cos 101
2 7
d −  
−  
 
 
2) 
1 3
,
2 2
 
−  
 
 
3) 45º 
4) (1,1,1) 
5) 14 4 15i j k+ + 
6) ( )14, 10, 6P − − 
7) 
1
3,1,
2
P
 
− 
 
 
8) a) nenhum b) ortogonal c) ortogonal d) paralelo 
9) 0 e 6 
10) //// 
11) //// 
12) 3 2u v = e 3 2u v = , fora da página 
13) ( )
10
2,1, 1
9
−