logaritmos live em branco compacto

Prévia do material em texto

Domine as Exatas 
Prof. Osnildo Carvalho Prof. Osnildo Carvalho 
Prof. Osnildo Carvalho 
Nunca Desista dos Seus Sonhos! @domineasexatas 
Domine as Exatas 
Prof. Osnildo Carvalho 
5. Logaritmos 
Aplicações de logaritmos em informática: 
Algoritmos de busca: Alguns algoritmos de busca, como 
o algoritmo de busca binária, usam logaritmos para 
determinar o número mínimo de comparações necessárias 
para encontrar um item em uma lista ordenada. 
Criptografia: A criptografia é usada para proteger 
informações confidenciais em sistemas de segurança. 
Alguns algoritmos de criptografia, como o RSA, usam 
logaritmos para criptografar e descriptografar as 
informações. 
Modelagem de crescimento de dados: A modelagem de 
crescimento de dados é importante em bancos de dados e 
análises de desempenho. Os logaritmos são usados para 
modelar o crescimento exponencial dos dados e prever 
quando serão necessárias atualizações de hardware ou 
software. 
Escalas de medição: Algumas grandezas em informática, 
como a intensidade de um sinal de rede ou o tamanho de 
um arquivo, são medidas em escalas logarítmicas para 
melhor representar a variação dos valores. 
Análise de complexidade de algoritmos: A análise de 
complexidade de algoritmos é usada para determinar a 
quantidade de recursos (como tempo e memória) 
necessários para executar um algoritmo. Os logaritmos 
são frequentemente usados para descrever a 
complexidade de algoritmos eficientes, como o algoritmo 
de ordenação quicksort. 
 
Entenda o logaritmo de um número, com os exemplos: 
 
a)2@=8, qual o valor de @? 
 
A que número se deve elevar o 2 para se obter o 8? 
 
Esse resultado é o logaritmo de 8 na base 2, sendo 
representado como log 2 8 = 3 
 
b)5*=1, qual o valor de *? 
 
 
c)4∆ =0,25, qual o valor de ∆? 
 
 
5.1 Definição logaritmo 
 
Dado os números reais positivos A e B (A > 0 e B>0), 
com B ≠ 1, o logaritmo de A na base B é denotado como 
 
log B A =x, se e somente se, Bx = A 
 
Exemplos: 
(a) log 3 81 = 4, pois 34 = 81 
 
(b) log (1/2) 32 = -5, pois (1/2)-5 = 32 
 
Logaritmos - Exercícios: agora é com você! 
Encontre o valor dos logaritmos: 
a) log 2 8 = 
 
 
b)log 6 6 = 
 
c) log 3 1 = 
 
 
d)log 5 25 = 
 
 
e)log 2 1024 = 
 
 
f)log 5 1/25 = 
 
 
 
g)log 2 128 
 
 
 
h) log 4 0,125 = 
 
 
i) log 3 81 = 
 
 
j)log (1/2) 32 = 
 
Propriedades decorrentes da definição: 
 
 
 
 
 
Domine as Exatas 
Prof. Osnildo Carvalho Prof. Osnildo Carvalho 
Prof. Osnildo Carvalho 
Nunca Desista dos Seus Sonhos! @domineasexatas 
❑ O logaritmo de 1 em qualquer base é 0. 
 
❑ O logaritmo de A na base A é igual a 1. 
 
 
❑ Dois logaritmos em uma mesma base são iguais, 
se e somente se, os logaritmandos são iguais. 
 
 
❑ A potência de base B e expoente log B A é igual a 
A. 
 
 
Exemplos: 
a)log 8 8 = 
 
b)log 348 348 = 
 
c)log 3 1 = 
 
d)log 1000 1 = 
 
e)log 10 10 = 
 
f)log e e = 
 
g) 4log4 5 = 
 
h) 7log7 √2= 
 
i) 16log2 7 = 
 
 
 
 
Logaritmo decimal – aquele que a base é 10. 
log 10 X = log X 
 
log 100 = 
 
log 1000 = 
 
log 100 = 
 
log 1000 = 
 
log 10.000 = 
 
log 1.000.000.000.000.000 = 
 
log 0,1 = 
 
log 0,01 = 
 
log 0,00000001= 
 
log 2 = 
 
 
 
Logaritmo Natural – aquele que a base é e ≈ 
2,7182818284... 
log e X = ln X 
 
 
O número de Euler, tem sua origem no conceito de taxa 
de juros. 
 
Propriedades logaritmos: 
1) log B M∙N = log B M + log B N 
 
 
2) log B M/N = log B M - log B N 
 
 
3) log B MN = N∙log B M 
 
 
Dados os logaritmos: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. 
Encontre: 
a)log 6 = 
 
b)log 30 = 
 
c)log 8 = 
 
d)log 5 = 
 
 
Mudança de base: log𝐵 𝐴 para base C: 
log𝐶 𝐴
log𝐶𝐵
 
 
e)log 3 2 
 
 
exemplo de mudança de base: 
 
 
 
 
 
Domine as Exatas 
Prof. Osnildo Carvalho Prof. Osnildo Carvalho 
Prof. Osnildo Carvalho 
Nunca Desista dos Seus Sonhos! @domineasexatas 
log 3 2 mudar para base 7 
 
 
 
Consequências da mudança de base 
 
❑ Permutação do logaritmo com a base 
 
 
❑ Expoente na base 
 
 
 
Expoente na base e no logaritmando 
 
 
Exemplos: 
 
a)Calcule log 9 27 
 
 
b)Calcule log 1/8 32 
 
 
c)Calcule log
√8 √32
4
 
 
 
d)Calcule X = log7 25 ∙ log5 9 ∙ log27 49 
 
 
Método domine as exatas 
 
 
 
 
Questões de vestibulares e concursos 
 
1)(CESGRANRIO) Um fungo está se alastrando na 
parede, e a área contaminada pelo fungo varia no tempo 
de acordo com a função A: [0,∞) → ℝ, dada por A(t) = 
A0 . bt , em que b ∈ ℝ é uma constante maior que 1; A0 é 
a área da parede contaminada no instante inicial; e A(t) é 
a área contaminada após t dias. 
De acordo com esse modelo, depois de quantos dias a área 
contaminada estará triplicada? 
A b√3 
B 3√b 
C logb 3 
D log3 b 
E logb (1/3) 
 
 
2)(CESGRANRIO) A receita bruta de uma empresa 
apresentou uma taxa de crescimento anual constante, no 
período de 2020 a 2022, conforme mostrado na Tabela a 
seguir. 
 
 
Suponha que essa taxa de crescimento anual se mantenha 
constante nos próximos anos, e que a meta da empresa 
seja atingir uma receita bruta acumulada, a partir de 2020 
(soma das receitas dos anos a partir de 2020, inclusive), 
de cinco bilhões de reais, em algum ano entre 2020 e 
2040. 
Dentre as alternativas, o primeiro ano, a partir do qual a 
meta será atingida, nas condições apresentadas, será 
Dado: log 21 = 1,322; log 12 = 1,079 
A 2032 
B 2034 
C 2036 
D 2038 
E 2040 
 
3)(CESGRANRIO) Em 2021, uma empresa lançou o 
produto P, até então o único de sua categoria no mercado. 
No início do ano seguinte, uma outra empresa lançou um 
forte concorrente desse produto. O lançamento desse 
produto concorrente implicou, em 2022, uma redução de 
4% nas vendas do produto P, em comparação com 2021. 
Supondo-se que essa taxa de redução anual nas vendas se 
mantenha, o número aproximado de anos, depois de 2021, 
em que as vendas do produto P serão apenas 30% das 
vendas alcançadas no ano do seu lançamento é dado por 
 
 
 
 
 
Domine as Exatas 
Prof. Osnildo Carvalho Prof. Osnildo Carvalho 
Prof. Osnildo Carvalho 
Nunca Desista dos Seus Sonhos! @domineasexatas 
 
 
 
 
4)(CESGRANRIO) Um banco montou um índice de 
desempenho (L) para um de seus serviços. O índice se 
refere a um atributo numérico, representado por A, 
sempre positivo. Por conta de o atributo A assumir 
valores muito altos, o índice L montado pelo setor técnico 
do banco foi concebido por L = log10 (A). Há uma meta 
de que, nos próximos 5 anos, o índice L aumente em duas 
unidades. A meta, portanto, indica que é esperado que, 
nos próximos 5 anos, o atributo A seja igual 
Alternativas 
Aao atributo A atual aumentado em 2 unidades. 
Bao atributo A atual aumentado em 100 unidades. 
Ca 2 vezes o atributo A atual. 
Da 10 vezes o atributo A atual. 
Ea 100 vezes o atributo A atual. 
 
 
 
5)(CESGRANRIO) J modelou um problema de 
matemática por uma função exponencial do tipo 
a(x)=1000ekx, e L, trabalhando no mesmo problema, 
chegou à modelagem b(x)=102x+3. 
Considerando-se que ambos modelaram o problema 
corretamente, e que ln x = loge x, qual o valor de k? 
Alternativas 
A ln 2 
B ln 3 
C ln 10 
D ln 30 
E ln 100 
 
 
 
6)(CESGRANRIO) Se x e y são números reais, tais que 2 
log(x-2y) = logx + logy, qual o valor de x/y ? 
Alternativas 
A 1 
B 2 
C 3 
D 4 
E 5 
 
 
 
 
7)(CESGRANRIO) Um estudo indicou que a população 
P(t) de uma determinada espécie, dada em milhares de 
indivíduos, pode ser modelada pela seguinte função: 
 
Considerando esse modelo, o valor mais próximo do 
número de décadas, contadas a partir do início do estudo, 
necessário para que essa população atinja a metade de sua 
capacidade de suporte é igual a 
Dado ln 2 = 0,693 
A 3,1 
B 3,4 
C 3,9 
D 4,2 
E 4,88)(CESGRANRIO) Os valores a e b que atendem ao 
sistema 
 
são também raízes da equação do segundo grau x² - Sx + 
P = 0. 
O produto S ∙ P é igual a 
A) -12√2 
B) -18√2 
C) -24√2 
D) -30√2 
E) -36√2 
 
 
 
 
Gabarito – Logaritmos 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 - C C A E E D B C 
1