Elementos da Geometria Espacial

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08/09/2021
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Geometria Espacial
Elementos Básicos da Geometria Espacial
Prof. Dra. Debora C. B. Kirnev
• Unidade de Ensino: 1
• Competência da Unidade: Conhecer sobre os elementos primitivos
aplicados na geometria espacial; relações entre pontos, retas e
planos.
• Resumo: Nesta aula exploramos os conceitos básicos relacionados
com a Geometria espacial baseado o estudo do ponto, da reta e
do plano contido no espaço.
• Palavras-chave: Conceitos primitivos. Paralelismo.
Ortogonalidade.
• Título da Teleaula: Elementos Básicos da Geometria Espacial
• Teleaula nº: 1
Contextualização
 Que elementos da GEOMETRIA ESPACIAL podemos
perceber no cotidiano?
Aplicações da geometria espacial
• Disponível em:
https://image.shutterstock.com
/image-photo/factory-female-
mechanical-engineer-designs-
260nw-1335833930.jpg .
Acesso em ago.2021.
Aplicações da geometria espacial
Projeto arquitetônico: é aplicada no processo de criação
da forma e espaço.
• Disponível em:
https://image.shutterstock.com
/image-photo/factory-female-
mechanical-engineer-designs-
260nw-1335833930.jpg .
Acesso em ago.2021.
Aplicações da geometria espacial
Construção civil: são desenvolvidas técnicas para
construção de formas espaciais.
• Disponível em:
https://image.shutterstock.com
/image-photo/engineer-
technician-working-on-
personal-260nw-
782843011.jpg. Acesso em
ago.2021.
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O QUE É GEOMETRIA ESPACIAL?
Em GEOMETRIA abordamos sobre as propriedades e
dimensões de objetos relacionados a linha, superfície e
volume. Sendo assim, a geometria é a parte da
matemática que trata de sólidos, superfícies, pontos,
ângulos e suas relações, dentre outros.
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941. Acesso em
ago.2021.
No ESPAÇO temos o conjunto de todos os pontos em
uma região tridimensional (3D). Ressaltamos que entre
dois pontos quaisquer do espaço existe uma infinidade de
pontos entre eles.
Observamos que no PLANO adotamos duas dimensões
(2D), e no caso da reta temos um objeto unidimensional
( 1D).
Com base nisso, como podemos definir os elementos do
ESPAÇO ?
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941. Acesso em
ago.2021.
Conceitos
Conceitos primitivos e
postulados
Que axiomas da geometria euclidiana sobre os
elementos primitivos e postulados são base para a
construção dos teoremas?
1º) Os conceitos primitivos: ponto reta e plano.
2º) Os postulados da existência, determinação, retas
concorrentes, retas paralelas.
3º) Determinação de planos.
4º) Posição relativas de retas no espaço.
5º) Interseção de planos.
POSTULADOS
Postulado da existência:
Existe plano, e nele, bem como fora dele, existem
infinitos pontos.I. A, B, C, D, E,H, I, J, P, S ∈ αII. T, U, X ∉ α
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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POSTULADOS
Postulado da determinação:
Três pontos não colineares determinam um único plano,
que passa por eles.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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FORMAS DE DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
1º modo) Postulado da determinação.
2º modo) Dada uma reta e um ponto fora dela
determinamos um plano.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSTULADOS
Retas concorrentes: duas retas são chamadas de
concorrentes quando possuem um único ponto em
comum.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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FORMAS DE DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
3º modo) Dadas duas retas concorrentes determinamos
um plano.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSTULADOS
Retas paralelas:
a) Duas retas são paralelas se, e somente se, elas não
possuírem nenhum ponto em comum e estiverem no
mesmo plano – retas coplanares.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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Retas paralelas:
b) Se tiverem todos os pontos em comum, sendo
denominadas, neste caso, coincidentes. • Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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FORMAS DE DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
4º modo) Dadas duas retas paralelas distintas
determinam um plano.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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Conceitos
Retas e planos no
espaço
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Retas paralelas:
a) paralelas coplanares
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Retas paralelas:
b) paralelas coincidentes
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Retas concorrentes:
a) concorrentes oblíquas
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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Retas concorrentes:
b) concorrentes perpendiculares
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Retas reversas: • Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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INTERSEÇÃO DE PLANOS
Postulado da interseção: se dois planos distintos
possuem um ponto comum, então eles possuem pelo
menos um outro ponto comum.
INTERSEÇÃO DE PLANOS
TEOREMA da interseção: se dois planos distintos
possuem um ponto em comum, então a interseção
desses planos é uma única reta que passa por esse
ponto.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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UNICIDADE DE RETAS PARALELAS
TEOREMA : considere uma reta r e um ponto P não
pertencente a r, então existe uma reta s passando por P
e paralela a r.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSIÇÃO RELATIVA DE UMA RETA E UM PLANO
TEOREMA : uma reta r e um plano α no espaço são
paralelos, se não possuem pontos em comum. Relação
que será denotada por r // α .
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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CONDIÇÃO SUFICIENTE: Se uma reta r não está contida
em um plano α e é paralela a uma reta s deste plano,
então ela é paralela ao plano.
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: se uma reta r é paralela a um
plano α, então ela é paralela a uma reta s do plano.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSIÇÃO RELATIVA DE UMA RETA E UM PLANO
Casos em que os elementos possuem pontos em comum.
a) Se a reta e o plano apresentarem dois pontos em
comum, então a reta estará contida no plano.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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b) Se a reta e o plano apresentarem um único ponto em
comum, então a reta será secante ao plano.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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Conceitos
Posição relativa de
Planos no espaço
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PLANOS
Casos em que os elementos não possuem pontos em
comum. Dois planos são paralelos se, e somente se, eles
não têm nenhum ponto em comum ou se não são
coincidentes.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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CONDIÇÃO SUFICIENTE: Se um plano contém duas retas
concorrentes e ambas são paralelas a outro plano, então
os planos são paralelos. • Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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CONDIÇÃONECESSÁRIA: se dois planos distintos são
paralelos, então um deles contém duas retas
concorrentes que são paralelas ao outro.
CONCLUSÃO: podemos afirmar que a condição
necessária e suficiente para que dois planos sejam
paralelos é que um deles contenha duas retas
concorrentes, ambas paralelas ao outro plano.
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POSIÇÃO RELATIVAS ENTRE PLANOS
Casos em que os elementos possuem pontos em comum.
Dois planos são coincidentes se, e somente se, possuírem
mais de uma reta em comum.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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POSIÇÃO RELATIVAS ENTRE PLANOS
Casos em que os elementos possuem pontos em comum.
Dois planos são secantes se, e somente se, possuírem
uma única reta em comum.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
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Resolução da SP
Analise de plano
no espaço
Situação-Problema
Analise as sentenças e jugue em verdadeira (V) ou falsa (F):
( ) Em um plano temos infinitos pontos, podemos
determinar um plano por três pontos não colineares.
( ) Considerando o espaço tridimensional, é possível
determinar quantos pontos existem em um plano e fora dele.
( ) Dado um plano e uma reta, se existem dois pontos da
reta contido no plano, então a reta está contida no plano.
Solução esperada
Analise as sentenças e jugue em verdadeira (V) ou falsa (F):
( V ) Em um plano temos infinitos pontos, podemos
determinar um plano por três pontos não colineares.
( F ) Considerando o espaço tridimensional, é possível
determinar quantos pontos existem em um plano e fora dele.
( V ) Dado um plano e uma reta, se existem dois pontos da
reta contido no plano, então a reta está contida no plano.
Interação
Retas e planos
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Situação problema
Explore o link sobre retas e planos no espaço, e
analise as posições relativas dos planos.
Link: https://www.geogebra.org/m/ugk4nehp
Conceitos
Planos ortogonais
POSTULADO DA SEPARAÇÃO DOS PONTOS DE UM
PLANO
Uma reta r separa um plano em dois subconjuntos que
denominamos de semiplano.
Observações:
I) Todos os pontos do plano estarão contidos na união
destes subconjuntos.
II) A interseção dos subconjuntos é a reta r.
III) Dados dois pontos distintos A e B pertencentes ao
plano , tais pontos só estarão no mesmo semiplano se, e
somente se, ⋂ = ∅ .
IV) Dados dois pontos distintos A e B pertencentes ao
plano, tais pontos só estarão em semiplanos distintos se,
e somente se, ⋂ ≠ ∅ .
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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PLANOS PERPENDICULARES
Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente
se, eles têm um ponto em comum e a reta é
perpendicular a todas as retas do plano que passam por
esse ponto.
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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ÂNGULOS ENTRE PLANOS
Diedros • Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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Triedros
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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PLANOS ORTOGONAIS
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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PROJEÇÕES SOBRE O PLANO
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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DISTÂNCIAS
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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Conceitos
Projeção ortogonal
Podemos aplicar planos ortogonais em um sistema de
projeção no espaço tridimensional. Estes possuem
características próprias e podem ser utilizados em
diferentes situações.
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Elementos essenciais de um sistema de projeção:
1. Objeto, que é o sólido ou o elemento que está sendo
representado.
• SANTOS, S. A; et al.
Geometria descritiva
aplicada à arquitetura I .
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2. Raio projetante: conjunto de retas imaginárias que
partem do centro de projeção e passam pelo objeto.
• SANTOS, S. A; et al.
Geometria descritiva
aplicada à arquitetura I .
Londrina : Editora e
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2017.
3. Centro de projeção, que é o ponto fixo de onde
partem ou por onde passam as projetantes.
• SANTOS, S. A; et al.
Geometria descritiva
aplicada à arquitetura I .
Londrina : Editora e
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2017.
4. Plano de projeção, que é onde a imagem é
projetada.
• SANTOS, S. A; et al.
Geometria descritiva
aplicada à arquitetura I .
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2017.
Distâncias geométricas
Construção de um plano e uma reta fora do plano: • Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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Construção de um plano perpendicular do plano dado:
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
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Projeção ortogonal da reta no plano:
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
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Construção de um ângulo entre um plano e uma reta
fora do plano:
• Fonte: MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Conceitos
Geometrias não
Euclidianas
Além da Geometria Euclidiana temos as geometrias não
Euclidianas. Como diferenciá-las?
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941. Acesso em
ago.2021.
[...] Notou-se que o quinto postulado de Euclides, além
de não poder ser provado – de fato tratava-se de um
postulado –, poderia ser negado, sem que contradições
ocorressem. Três matemáticos merecem grande
destaque nesse episódio: Nikolai Ivanovich Lobachevsky
(1792-1856), János Bolyai (1802-1860) e Carl Friedrich
Gauss (1777-1855). (SACHS, 2016, p. 22).
• SACHS, L.. O quinto
postulado de Euclides como
história de problemas.
Hipátia: Revista Brasileira de
História, Educação e
Matemática, Campos do
Jordão, v. 1, n. 1, p. 11-29,
dez. 2016.
Estudos realizados por Felix Klein (1871) assume que o
número de paralelas a uma reta dada passando por um
ponto excede o número (um) da geometria euclidiana.
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Exemplo: Aplicações do disco de Poincaré
• Disponível em:
https://upload.wikimedia.org/w
ikipedia/commons/thumb/7/7c/
3-7_kisrhombille.svg/800px-3-
7_kisrhombille.svg.png .
Acesso em set. 2021.
Conhecida como geometria riemanniana, assume que
dada uma reta r e um ponto P fora dela, não existe
uma reta paralela a passando por P.
Exemplo: aplicação no estudo dos meridianos
Disponível em : https://image.shutterstock.com/image-vector/earth-planet-globe-grid-meridians-600w-
1007943943.jpg . Acesso em set. 2021.
• Disponível em :
https://image.shutterstock.com
/image-vector/earth-planet-
globe-grid-meridians-600w-
1007943943.jpg . Acesso em
set. 2021.
Exemplo de aplicação na física quântica
• Disponível em :
https://jornal.usp.br/wp-
content/uploads/2018/11/Gaus
sian_curvature-300x288.jpg .
Acesso em ago. 2021.
“Várias tentativas de solucionar a questão do limite
quântico de velocidade têm sido feitas, mas seus
resultados deixaram lacunas ou mesmo inconsistências
quando comparados entre si. O pulo do gato da
pesquisa do físico do IFSC foi utilizar a geometria para
tratar do problema. Mais especificamente, da geometria
da informação, uma área da matemática que utiliza
ferramentas geométricas no estudo de modelos
estatísticos”.
Disponível em : https://jornal.usp.br/ciencias/ciencias-exatas-e-da-terra/a-boa-e-velha-geometria-pode-ajudar-a-
resolver-problemas-quanticos/ . Acesso em ago. 2021.
• Disponível em :
https://jornal.usp.br/ciencias/ci
encias-exatas-e-da-terra/a-
boa-e-velha-geometria-pode-
ajudar-a-resolver-problemas-
quanticos/ . Acesso em ago.
2021.
Geometrias não euclidianas
Existem outras versõespara os postulados da
geometria plana que são encontrados nos Os Elementos
de Euclides, elas se baseiam na variação sofrida no
postulado das paralelas.
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Resolução da SP
Análises de Projeções
Situação-Problema
(Adaptação de Gerônimo e Franco, 2006) No espaço
tridimensional é possível analisar as projeções de
objetos, sejam pontos, retas planos ou
sólidos. Considere os conceitos relacionados a esse
tema e analise as afirmações a seguir, julgando em
verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) A projeção ortogonal de um ponto num plano é um
ponto.
( ) A projeção ortogonal de uma reta paralela a um
plano é um ponto.
( ) A projeção ortogonal de uma reta perpendicular ao
plano de projeção é uma reta.
( ) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um
plano, sobre o plano, é menor que o segmento dado.
Interação
Planos no espaço
tridimensional
No estudo da Geometria Espacial podemos estabelecer
a relação entre planos. Com base nisso, como podemos
conceber dois planos contidos no espaço
tridimensional?
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941. Acesso em
ago.2021.
Acesse o link e veja exemplos de posições entre
planos e retas e utilize o recurso da geometria
dinâmica para explorar a representação no
geogebra.
LINK: https://www.geogebra.org/m/k2bvfu5n
Disponível em : https://www.geogebra.org/m/k2bvfu5n . Acesso em
ago. 2021.
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Recapitulando!
Elementos Básicos da
Geometria Espacial
Introduzir os conceitos referentes a Geometria
Espacial.
Conceitos primitivos e
postulados
Definir os entes geométricos ponto, reta e plano.
Retas e planos no espaço Analisar posições relativas de retas e planos no espaço.
Recapitulando!
Projeção ortogonal Analisar a projeção de entes geométricos.
Geometrias não euclianas Compreender a implicação do postulado das paralelas e
as aplicações da geometria.
REFERÊNCIAS
_____. Aplicações da Física Quântica. Disponível em:
https://jornal.usp.br/ciencias/ciencias-exatas-e-da-terra/a-boa-e-velha-
geometria-pode-ajudar-a-resolver-problemas-quanticos/ . Acesso em: ago.
2019.
GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V.. Geometria Plana e Espacial: Um Estudo
Axiomático. Maringá: 2006.
MOREIRA, L. A.; et al. Geometria espacial. Londrina : Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2018.
SACHS, L.. O quinto postulado de Euclides como história de problemas.
Hipátia: Revista Brasileira de História, Educação e Matemática, Campos do
Jordão, v. 1, n. 1, p. 11-29, dez. 2016. Disponível em:
http://ojs.ifsp.edu.br/index.php/hipatia/article/view/437 . Acesso em: ago.
2019.
SANTOS, S. A; et al. Geometria descritiva aplicada à arquitetura I . Londrina :
Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2017.