HI - HIDRODINÂMICA_CONS MOVIMENTO

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA UNOESC 
Campus de Xanxerê - Curso de Engenharia Civil
Prof. Esp. Debora Simon
CONTEÚDO
Hidrodinâmica: 
Conservação da quantidade de movimento
RELEMBRANDO
Sistema 
 É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que 
escolhemos como objeto de estudo;
 Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através 
da qual não há fluxo de massa.
RELEMBRANDO
Volume de controle
• É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde 
uma determinada quantidade de matéria é observada.
RELEMBRANDO
Superfície de controle 
É a fronteira (contorno geométrico) de um volume de controle.
A partir da 2ª Lei de Newton para um sistema, 
desenvolveremos, com o auxílio do Teorema de Reynolds, a 
equação da 2ª Lei de Newton para um VC.
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑚 × Ԧ𝑎 = 𝑚 ×
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑚 × Ԧ𝑣)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑃
𝑑𝑡
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Teorema do Transporte de 
Reynolds
Este teorema tem como premissa 
transformar as equações válidas para 
um sistema em equações válidas para 
um volume de controle.
Onde P é a quantidade de movimento linear = 𝑚 × 𝑣
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝑑 Ԧ𝑃
𝑑𝑡
(1)
Teorema de Reynolds (para a equação da energia para uma abordagem de Euler, com volume 
de controle VC):
𝑑𝑁
𝑑𝑡
|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝜕
𝜕t
න
𝑉𝐶
ɳ𝜌𝑑𝑉 + න
𝑆𝐶
ɳ𝜌 Ԧ𝑣 × 𝑑 Ԧ𝐴 (2)
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Onde P é a quantidade de movimento linear = 𝑚 × 𝑣
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝑑 Ԧ𝑃
𝑑𝑡
(1)
Teorema de Reynolds (para a equação da energia para uma abordagem de Euler, com volume de controle 
VC):
𝑑𝑁
𝑑𝑡
|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝜕
𝜕t
න
𝑉𝐶
ɳ𝜌𝑑𝑉 +න
𝑆𝐶
ɳ𝜌 Ԧ𝑣 × 𝑑 Ԧ𝐴 (2)
N=m
ɳ =
𝑁
𝑚
𝑁 = Ԧ𝑃 → ɳ =
Ԧ𝑃
𝑚
→ ɳ =
𝑚 × Ԧ𝑣
𝑚
→ ɳ = 𝒗
𝑑𝑁
𝑑𝑡
|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝜕
𝜕t
න
𝑉𝐶
𝒗𝜌𝑑𝑉 + න
𝑆𝐶
𝒗𝜌 Ԧ𝑣 × 𝑑 Ԧ𝐴
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝜕
𝜕t
න
𝑉𝐶
𝒗𝜌𝑑𝑉 +න
𝑆𝐶
𝒗𝜌 Ԧ𝑣 × 𝑑 Ԧ𝐴 (3)
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 − 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒: 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜, 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 − 𝒓𝒆𝒂çã𝒐 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜: 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜, 𝒈𝒓𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍, 𝑒𝑡𝑐.
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Assim é possível escrever:
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 +෍ Ԧ𝐹|𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
Ou
෍ Ԧ𝐹|𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = Ԧ𝐹|𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 + Ԧ𝐹|𝑟𝑒𝑎çã𝑜 + Ԧ𝐹|𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (4)
Escoamento para a atmosfera
Fgrav.=m.g
Fpressão=0
Substituindo
𝑭|𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 + 𝑭|𝒓𝒆𝒂çã𝒐 + 𝑭|𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒈𝒓𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 =
𝛛
𝛛𝐭
න
𝑽𝑪
𝒗𝝆𝒅𝑽 + න
𝑺𝑪
𝒗𝝆𝒗 × 𝒅𝑨 (𝟓)
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
2ª Lei de Newton na forma integral
Na direção x: 
𝑭|𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 + 𝑹𝒙 +𝒎× 𝒈𝒙 =
𝛛
𝛛𝐭
න
𝑽𝑪
𝝁𝝆𝒅𝑽 + න
𝑺𝑪
𝝁𝝆𝒗 × 𝒅𝑨
Na direção y:
𝑭|𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 + 𝑹𝒚 +𝒎× 𝒈𝒚 =
𝛛
𝛛𝐭
න
𝑽𝑪
𝝑𝝆𝒅𝑽 +න
𝑺𝑪
𝝑𝝆𝒗 × 𝒅𝑨
Simplificações:
Regime permanente: 
𝛛
𝛛𝐭
𝑽𝑪𝒗𝝆𝒅𝑽׬ = 𝟎
Escoamento para a atmosfera 𝑭|𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 = 𝟎
Se x e y gx=0 Fgravitacional=0
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO