Problemas de Matemática

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80. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \). 
 Resolução: Utilizando a regra do quociente, derivamos \( \frac{1}{\sqrt{x}} \). A derivada 
de \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) é \( -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \). 
 
81. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \frac{\cos(x)}{1 - \sin(x)} \). 
 Resolução: Podemos utilizar uma substituição trigonométrica para integrar a função. 
Após a integração, obtemos a integral indefinida da função dada. 
 
82. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resolução: Esse é um caso de indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \), então podemos 
usar a regra de L'Hôpital. Após aplicar a regra de L'Hôpital, o limite se torna uma 
expressão que pode ser facilmente avaliada. 
 
83. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \frac{1}{x^3} \) e \( y 
= e^x \) no intervalo \( [1, \infty] \). 
 Resolução: Para calcular a área entre as curvas, precisamos encontrar os pontos de 
interseção e, em seguida, integrar a diferença entre as duas funções nesse intervalo. Os 
pontos de interseção são encontrados igualando as duas equações e resolvendo para \( x 
\). Então, integramos a diferença entre as duas funções nesse intervalo. 
 
84. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(x)}{x} \). 
 Resolução: Esse limite é uma forma indeterminada de \( \frac{0}{0} \), então podemos 
usar a definição de limite para \( \arctan(x) \) quando \( x \) se aproxima de zero. 
 
Claro, vou gerar 100 problemas de matemática sobre porcentagem, cada um com sua 
resposta e explicação. Vamos começar: 
 
1. Problema: Uma loja oferece um desconto de 35% em um produto que custa $200. Qual 
é o preço do produto após o desconto? 
 Resposta: $130 
 Explicação: O desconto de 35% de $200 é $70. Subtraindo $70 de $200, obtemos $130. 
 
2. Problema: Se 20% dos alunos de uma escola são meninos, e a escola tem 500 alunos, 
quantos meninos há na escola? 
 Resposta: 100 meninos