Problemas de Matemática

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82. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \) e o eixo \( x \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calculamos a integral da função no intervalo dado. 
 
83. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 \). 
 Resposta: \( y = \frac{x^3}{3} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial em relação a \( x \). 
 
84. Problema: Determine a tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( \left(\frac{\pi}{2}, 
0\right) \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = -x + \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função e utilizamos a equação da reta tangente. 
 
85. Problema: Encontre o valor de \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \). 
 Resposta: \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos as relações trigonométricas para encontrar o valor. 
 
86. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-
\cos(0)) = 2 \). 
 Explicação: Aplicamos as propriedades da integral definida e calculamos a diferença 
das primitivas nos limites de integração. 
 
87. Problema: Determine a solução do sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 3x - 4y = 1 \\ 
 2x + y = 3 
 \end{cases} 
 \]