Probabilidade e Combinatória

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Gabarito “1E”
(Agente Administrativo – Ministério do Esporte – CESPE)
Considerando que se pretenda formar números de 3
algarismos distintos com os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e 9,
julgue os próximos itens.
(1) A quantidade de números ímpares de 3 algarismos que
podem ser formados é superior a 90.
Errado. Existem 4 escolhas para o último algarismo {3,5,7,9}, 5 para o
penúltimo e 4 para o primeiro. Portanto, a quantidade de números com estas
propriedades é 4 × 5 × 4 = 80.
Gabarito “1E”
(2) Escolhendo-se um desses números ao acaso, a
probabilidade de ele ser inferior a 600 é igual a 0,1.
Errado. Supondo que o último algarismo é 3, então existe 3 opções para o
primeiro algarismo que fazem com que o número seja maior que 600 {7,8,9},
portanto, existem 3 × 4 = 12 opções. Temos o mesmo número de opções para
caso o último algarismo seja 5. Se for 7, por outro lado, existem apenas 2
opções para o primeiro algarismo, e a quantidade de números maiores do que
600, nesse caso, é 2 × 4 = 8. O mesmo ocorre quando o último algarismo é
9. Portanto, 12 + 12 + 8 + 8 = 40 dos 80 números ímpares de 3 algarismos
são maiores do que 600, e a probabilidade de se escolher ao acaso um desses
é, portanto, 40/80 = 0,5.
(Agente Administrativo – Ministério da Saúde – CESPE)
Com relação a probabilidade, combinações, arranjos e
permutações, julgue os seguintes itens.
(1) Se uma gaveta de arquivo contiver 7 processos
distintos: 3 referentes à compra de materiais hospitalares e
4 referentes à construção de postos de saúde, então,
Gabarito “2E”
retirando-se ao acaso, simultaneamente, 3 processos dessa
gaveta, a probabilidade de que pelo menos dois desses
processos sejam referentes a compra de materiais
hospitalares será superior a 0,4.
Errado. A probabilidade de que pelo menos dois dos processos sejam
referentes à compra de materiais hospitalares é equivalente à probabilidade
de que exatamente três dos processos sejam referentes a esse tipo de compra
mais a soma da probabilidade de que exatamente dois dos processos sejam
referentes a essa compra. A probabilidade de que exatamente três dos
processos sejam desse tipo é (3/7) × (2/6) × (1/5) = 1/35. A probabilidade de
exatamente 2 ser desse tipo é dada por 3 × (3/7) × (2/6) × (4/5) = (12/35).
Portanto, a probabilidade procurada é 1/35 + 12/35 = 13/35 = 0.37.
(2) Sabe-se que, no Brasil, as placas de identificação dos
veículos têm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos,
escolhidos de 0 a 9. Então, seguindo-se essa mesma lei de
formação, mas utilizando-se apenas as letras da palavra
BRASIL, é possível construir mais de 600 000 placas
diferentes que não possuam letras nem algarismos
repetidos.
Correto. Como BRASIL tem 6 letras, e nenhuma se repete, o número de placas
diferentes sem repetições nem de letras nem de algarismos é (6 × 5 × 4) × (10
× 9 × 8 × 7) = 604 800.
(3) Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3
de seus 6 servidores presenteando um deles com um
ingresso para cinema, outro com um ingresso para teatro e
o terceiro com um ingresso para show, ele terá mais de
100 maneiras diferentes para fazê-lo.
Correto. Como a ordem de entrega dos bilhetes é relevante, pois os ingressos
são diferentes, precisamos encontrar o arranjo de 6 pessoas, 3 a 3. Portanto,
A(6;3) = 6!/3! = 120.
Gabarito “1E”
Gabarito “2C”
Gabarito “3C”
(4) Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3
de seus 6 servidores presenteando cada um deles com um
ingresso para teatro, ele terá mais de 24 maneiras
diferentes para fazê-lo.
Errado. Como agora a ordem de entrega não importa, pois os ingressos são os
mesmos, então, precisamos encontrar a combinação de 6 pessoas, 3 a 3.
Portanto, C(6;3) = 6!/(3! × 3!) = 20.
(Analista – ANAC – CESPE) Com relação a análise
combinatória, julgue os itens que se seguem.
(1) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto
Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza,
Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju,
fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de
Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.
Correto. Temos 3 cidades de origem, 7 cidades de destino e 4 pontos de
escala, sem repetições entre estas. Desta forma, o número de rotas possíveis
com uma escala é de 3 × 7 × 4 = 12 × 7 = 84, portanto múltiplo de 12.
(2) Considerando que: um anagrama de uma palavra é
uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não
significado na linguagem comum, α seja a quantidade de
anagramas possíveis de se formar com a palavra
AEROPORTO, β seja a quantidade de anagramas
começando por consoante e terminando por vogal
possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo
que 9! = 362 880 e 5! = 120, então, α = 21β.
Correto. O número de anagramas de AEROPORTO, dado que possui 3 letras
“O” e 2 letras “R” é dado por α = 9! / (3! × 2!) = 9!/12. 
O número de anagramas de TURBINA começando por consoante e
terminado por vogal é, dado que a palavra tem 4 consoantes e 3 vogais, β = 4
× 5! x 3 = 12 × 5!.
Gabarito “4E”
Gabarito “1C”