MATEMÁTICA ESSENCIAL

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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
– NÚMEROS NATURAIS E 
INTEIROS: OPERAÇÕES
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números naturais são: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., +∞}
Os números inteiros são: Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +∞}
OPERAÇÕES COM NÚMEROS
As operações com números são: Soma, Subtração, Multiplicação, Divisão e Potenciação.
SOMAS (+) E SUBTRAÇÕES ( - ) SÃO OPERAÇÕES “IRMÃS”:
2 + 7 = 9
2 – 7 = -5
-2 + 7 = 5
-2 – 7 = -9
(veja que com sinais iguais basta somar os valores e conservar o sinal, já com sinais diferentes 
faz-se uma subtração e coloca o sinal do maior numero em valor absoluto)
Obs.:
par + par = par
par + impar = impar
impar + par = impar
impar + impar = par
Ex.:
269 + 782
MULTIPLICAÇÃO ( ∙ ) E DIVISÃO (÷) SÃO OPERAÇÕES “IRMÃS”.
NA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO TEM QUE FAZER O JOGO DE SINAIS:
Jogo de sinais:
+ + +
+ – –
– + –
– – +
4 x 6 = 24
2 x -6 = -24
-2 x 6 = -24
-2 x -6 = 24
 3
39 ÷ 13 = 3
39 ÷ -13 = -3
-39 ÷ 13 = -3
-39 ÷ -13 = 3
Obs.:
par ∙ par = par
par ∙ impar = par
impar ∙ par = par
impar ∙ impar = impar
Ex.:
27 x 73
396/18
A POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE 
FRACIONÁRIO) FICAM:
an = a∙a∙a∙a∙...∙a (multiplica o “a” tantas vezes quanto for o valor de n; em que a = base e n = 
expoente)
25 = 2∙2∙2∙2∙2 = 32
É importante conhecer algumas propriedades das potencias:
a0 = 1 (com a ≠ 0)
a1 = a
am ∙ an = am+n
am ÷ an = am-n
(am)n = am∙n
=
a-m = (1/a)m
-am = negativo
(-a)m = positivo de “m” par e negativo se “m” impar
am/n =
1/√a = (1/√a)∙(√a/√a) = √a/a
4
EXPRESSÕES NUMÉRICAS:
Para resolver as expressões numéricas:
- primeiro resolve o que está dentro dos parênteses, depois o que está dentro dos colchetes 
e por fim o que estiver dentro das chaves
- após isso, a prioridade entre as operações são: primeiros as potências, depois as multiplica-
ções e divisões e por fim as somas e subtrações.
Obs.: se tiver uma soma dentro de um parêntese e uma potência fora do parêntese primeiro 
você faz a soma, já que primeiro resolve os parênteses, só após resolver os parênteses resolve 
a potência (o mesmo vale para os colchetes e chaves)
Ex.:
72 + {40 ÷ 8 – [4 ∙ 5 – (17 – 19)]} =
NA PRÁTICA
1. (VUNESP - 2022)
O número inteiro pode também ser representado como
a) 9.
b) 8.
c) 7.
d) 5.
e) 6.
2. (FUNDATEC - 2022)
O resultado de -32 -22 +33 +2/(-3 +5)2 é:
a) 16.
b) 10,5.
c) -4.
d) 4.
e) -16.
3. (Instituto UniFil - 2022)
Assinale a alternativa que corresponde ao resultado de X + Y, considerando que X e Y foram 
usados para substituir números nas equações apresentadas.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
 5
4. (Avança SP - 2022)
Resolva a expressão matemática abaixo:
E assinale a alternativa correta com seu valor.
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
CONJUNTOS NUMÉRICOS – 
MÚLTIPLOS, DIVISORES E 
DIVISIBILIDADE
2
MÚLTIPLOS E DIVISORES
MÚLTIPLOS
Múltiplos de um número é o resultado da multiplicação de um número por todos os números 
naturais.
Os múltiplos de 4 são, por exemplo:
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
DIVISORES
Divisores de um número são os números que dão resultados exatos ao dividir um número 
qualquer por eles.
Os divisores de 36 são:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
DIVISIBILIDADE
Divisibilidade é saber se um número é divisível por outro ou não.
Os múltiplos de um número são divisíveis por esse número, e esse número é divisor de seus 
múltiplos.
As regras de divisibilidade são:
POR 2:
Um número é divisível por 2 quando ele é par.
Ex.:
22 é divisível por 2, pois 22 é par
POR 3:
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3 (múltiplo 
de 3).
Ex.:
231 é divisível por 3, pois 2+3+1=6 e 6 é múltiplo de 3, logo divisível por 3.
POR 4:
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou são múltiplos de 4.
Ex.:
316 é divisível por 4, pois 16 é múltiplo de 4.
 3
POR 5:
Um número é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou em 5.
Ex.:
225 é divisível por 5, pois termina em 5.
POR 6:
Um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Ex.:
84 é divisível por 6, pois é par e 8 + 4=9.
POR 8:
Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos são 000 ou são múltiplos de 8.
Ex.:
3000 é divisível por 8, pois termina em 000.
POR 9:
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 9 (múltiplo 
de 9).
Ex.:
693 é divisível por 9, pois 6+9+3=18 e 18 é múltiplo de 9, logo divisível por 9.
POR 10:
Um número é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Ex.:
650 é divisível por 10, pois termina em 10.
POR 12:
Um número é divisível por 12 quando ele é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Ex.:
4128 é divisível por 12, pois 4+1+2+8=15 e 28 é múltiplo de 4 (4128/12 = 344).
POR 7:
Um número é divisível por 7 quando multiplicando seu último algarismo por 2 e diminuindo 
esse resultado do restante do número sem o ultimo algarismo o resultado for múltiplo de 7.
Ex.:
4
665 é divisível por 7, pois 5∙2 = 10 e 66 – 10 = 56 (665/7 = 52).
POR 11:
Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par “menos” a soma 
dos algarismos de ordem impar for múltiplo de 11.
Ex.:
2849 é divisível por 11, pois 8+9=17; 2+4=6; e 17 – 6 = 11 (2849/11 = 259).
NA PRÁTICA
(QUADRIX - 2022)
Na matemática, um número inteiro positivo n é dito deficiente se a soma de todos os seus 
divisores positivos for menor que o seu dobro. A partir dessa informação, assinale a alternativa 
que apresenta um número deficiente.
a) 36
b) 30
c) 24
d) 21
e) 18
(QUADRIX - 2022)
Entre os números inteiros de 42 a 2.022, são divisíveis por 9
a) 220 números.
b) 219 números.
c) 218 números.
d) 217 números.
e) 216 números.
(Quadrix - 2022)
Julgue o item.
2.022 possui 8 divisores positivos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
– NÚMEROS PRIMOS, 
FATORAÇÃO, MMC E MDC
2
NÚMEROS PRIMOS
Os números primos são números naturais que tem apenas 2 divisores, o 1 e ele mesmo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
NÚMEROS COMPOSTOS
São os números resultados da multiplicação dos números primos (ou seja, os números que 
não são primos, logo têm mais de dois divisores).
FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO)
Todo número pode ser expresso em fatores primos, para tanto é preciso fatorar esse número. 
Fatorar é dividir um número pelos números primos com divisões exatas até o resultado das 
divisões chegar em 1.
Ex.: 54
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
MMC entre dois ou mais números é o menor número que é múltiplo ao mesmo tempo desses 
números. Para determinar o MMC basta fazer a fatoração – simultânea – desses números e 
multiplicar todos os fatores primos.
Ex:
MMC de 24 e 36
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
MDC entre dois ou mais números é o maior número que divide ao mesmo tempo esses núme-
ros. Para determinar o MDC basta fazer a fatoração – simultânea – desses números e multiplicar 
os fatores primos que dividiram ao mesmo tempo os números.
Ex:
MDC de 24 e 36
Obs.: o produto do MMC e do MDC de dois números é igual a multiplicação desses números.
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Para determinar a quantidade de divisores de um numero basta fazer a sua fatoração, olhar 
para os expoentes dos fatores primos e seguir a seguinte regra:
Ex.: 54
Para determinar esses divisores:
 3
NA PRÁTICA
(FUNDATEC - 2022)
A fatoração de um número em fatores primos é muito usada e possui inúmeras aplicações em 
computação. Dentre as alternativas abaixo, a única que possui um número com fator primo 
diferente de 2, 3 ou 7 é a de:
a) 42.
b) 70.
c) 84.
d) 126.
e) 294.
(UPENET/IAUPE - 2022)
O MDC dos números 120, 280 e 252 é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
(QUADRIX - 2022)
Por definição, todo número primo possui quantos divisores?
a) Nenhum divisor.
b) 1 divisor.
c) 2 divisores.
d) 3 divisores.
e) 4 divisores.
(FGV - 2022)
Considere um número N, inteiro epositivo, tal que 36 e 54 são ambos divisíveis por N.
A soma dos possíveis valores de N é
a) 27.
b) 32.
c) 36.
d) 39.
e) 54.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E DECIMAIS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números racionais são as frações: Q = {a/b; com a e b ∈ Z e b ≠ 0; a = numerador e b = 
denominador}.
Compõem também o conjunto dos números racionais os números decimais (aqueles escritos 
com a vírgula e cujo denominador são as potências de 10) e as dizimas periódicas (números 
em que a parte decimal de repete infinitamente)
FRAÇÕES
Fração é a parte de um todo que foi dividido.
Por exemplo: 3/7 quer dizer que um todo foi dividido em 7 partes e dessas 7 partes foram 
“pegas” 3 partes.
As frações podem ser próprias (numerador menor que o denominador), improprias (numerador 
maior que o denominador), aparentes (numerador múltiplo do denominador), mistas (tem 
uma parte inteiras e uma parte própria) e equivalentes (frações que podem ser simplificadas).
4/13 = própria
7/2 = impropria
30/6 = aparente
5 = mista
45/75 (simplificando por 3) = 15/25 (simplificando por 5) = 3/5 (irredutível) = equivalentes
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais basta repetir o denominador e somar 
ou subtrair os numeradores. Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes 
tem que fazer o MMC dos denominadores, fazer as frações equivalentes e somar ou subtrair 
os numeradores.
4/18 + 11/18 =
3/4 – 5/7 (MMC de 4 e 7 = 28) =
Para multiplicar frações basta multiplicar numeradores com numeradores e denominadores 
com denominadores.
4/11 ∙ 7/8 =
Para dividir frações a regra é “conservar” a primeira fração e multiplicar pelo “inverso” da 
segunda fração.
14/23 / 6/26 =
NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E DECIMAIS 3
NÚMEROS DECIMAIS
Números decimais são os números “com virgula”.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Para somar ou subtrair os números decimais basta igualar as casas decimais dos números e 
fazer a soma ou subtração.
2,71 + 13,4 =
30,8 – 22,56 =
Para dividir os números decimais basta igualar as casas decimais dos números, retirar as vir-
gulas e fazer a divisão.
141,7/44,18 =
Para multiplicar os números decimais basta multiplicar os números e ao final da multiplicação 
contar quantas casas decimais tem ao todo depois das virgulas e aplicar essa quantidade de 
casas no resultado.
18,4 ∙ 22,28 =
NA PRÁTICA
1. (UNIOESTE - 2022)
Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Sabendo 
disso, qual das opções a seguir não representa o número racional 45?
a) 135/3.
b) 90/2.
c) -90/-2.
d) 45/-1.
2. (IBADE - 2022)
Analise as afirmativas abaixo.
I. (-3/4) + (-1/4) = -1
II. (2/3)3 = 4/9
III. 0,8 ∙ 0,65 = 0,52
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) III, apenas.
d) I e II, apenas.
e) I e III, apenas.
4
3. (MetroCapital Soluções - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta o resultado para a seguinte operação matemática com 
números decimais:
109,8 x 1,3 + 11,7
a) 154,44
b) 152,03.
c) 152,40.
d) 153, 89
e) 153,90
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2
NÚMEROS RACIONAIS - DIZIMAS PERIÓDICAS
DIZIMAS PERIÓDICAS
São números decimais que tem na sua parte decimal (após a virgula) uma repetição infinita.
Ex.: 7,228282828... é uma dizima periódica pois tem na sua parte decimal o 28 repetido 
infinitamente.
OPERAÇÕES COM DÍZIMAS
Com as dizimas periódicas a ideia é transformar as dizimas em fração para poder “operar” 
com elas.
Para transformar dizimas em frações as regras são:
ͫ	 Olhando para a parte decimal ver quantas “casas” tem a parte da dizima e quantas forem 
essas casas serão a quantidade de 9 no denominador; ainda na parte decimal se tiver 
casas não periódicas essas serão 0 no denominador.
ͫ	 Para o numerador basta escrever todo o número até a primeira “casa” da dizima e subtrair 
do que não for dizima.
Ex.:
0,777777... =
0,27272727... =
0,144144144144... =
0,14444... =
9,303030... =
8,288888... =
7,1813131313... =
NA PRÁTICA
1.	 (Quadrix - 2022)
Julgue o item.
20,4242… = 674/33
2.	 (FGV - 2022)
Ao prestar suporte na manutenção de um computador um agente censitário verificou que era 
necessário realizar a soma entre os números x = 0,222... e y = 0,666..., pois o dispositivo só 
admitia números na forma fracionária. Nessas condições, a fração correta a ser transmitida é:
a) 8/11
b) 8/10
NÚMEROS RACIONAIS - DIZIMAS PERIÓDICAS 3
c) 7/8
d) 8/9
e) 7/12
3.	 (FGV - 2022)
Ao transmitir dados num computador, um supervisor verificou que era necessário realizar o 
produto entre os números x = 0,333... e y = 0,777..., pois o dispositivo só admitia números na 
forma fracionária. Nessas condições, a fração correta a ser transmitida é:
a) 7/30
b) 7/18
c) 5/17
d) 5/13
e) 7/27
4.	 (CESGRANRIO - 2022)
M = 6,6666... é uma dízima periódica de período 6; N = 2,3333... é uma dízima periódica de 
período 3.
Dividindo M por N, encontra-se o mesmo resultado que dividindo
a) 20 por 7
b) 65 por 23
c) 29 por 9
d) 66 por 23
e) 37 por 13
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
NÚMEROS IRRACIONAIS E NÚMEROS REAIS E 
NOTAÇÃO CIENTIFICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números naturais são: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., +∞}
Os números inteiros são: Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +∞}
Os números racionais são as frações: Q = {a/b; com a e b ∈ Z e b ≠ 0; a = numerador e b = 
denominador}.
Obs.: Compõem também o conjunto dos números racionais os números decimais (aqueles 
escritos com a vírgula e cujo denominador são as potências de 10) e as dizimas periódicas 
(números em que a parte decimal de repete infinitamente)
Os números irracionais são as dizimas não periódicas e as raízes não exatas, ou seja, são 
números decimais, não-periódicos e que não podem ser representados por frações.
Os números reais é a união dos números racionais e irracionais.
NÚMEROS IRRACIONAIS
Ex.:
π = 3.14159265359...
√2 = 1.41421356237...
NOTAÇÃO CIENTIFICA
Todos os números podem ser expressos em função das potências de 10, ou seja, em notação 
cientifica, veja:
220000 = 2,2∙105
0,039 = 3,9∙10-2
0,0013 = 1,3∙10-3
58 = 5,8∙101
Note que quando a virgula “anda casas” para trás – para a esquerda – o valor do expoente 
do 10 aumenta de acordo com a quantidade de casas que essa virgula “anda”; já quando a 
virgula “anda casas” para frente – para a direita – o expoente do 10 diminui de acordo com a 
quantidade de casas que essa virgula “anda”.
Obs.: algarismos significativos são os algarismos que importam em um número. Em 0,000800 
os zeros antes do 8 não são significativos e os zeros após o 8 são significativos.
NÚMEROS IRRACIONAIS E NÚMEROS REAIS E NOTAÇÃO CIENTIFICA 3
OPERAÇÕES COM NOTAÇÕES CIENTIFICAS
Para somar e subtrair as notações cientificas é necessário que as potencias do 10 apresentem 
o mesmo expoente.
Ex.:
0,039 + 0,0013
0,039 – 0,0013
Para multiplicar as notações cientificas basta multiplicar a parte decimal e somar os expoentes
Ex.:
220000 × 0,039
Para dividir as notações cientificas basta dividir a parte decimal e subtrair os expoentes
Ex.:
58 ÷ 0,0013
NA PRÁTICA
1. (CESGRANRIO - 2022)
Usando somente os algarismos significativos, o registro 0,007500 m é equivalente a
a) 0,7500 x 10-2m
b) 0,75 x 10-2m
c) 7,500 x 10-3m
d) 7,5 x 10-3m
e) 75 x 10-4m
2. (CESPE/CEBRASPE - 2021)
Acerca das operações com números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir.
A soma de dois números irracionais positivos é sempre um número irracional.
Certo ( ) Errado ( )
3. (Avança SP – 2021)
Analise as afirmações a seguir:
I. Todo número negativo é um número inteiro.
II. Todo número natural é um número real.
III. Um número real pode ser racional ou irracional.
4
Dentre as afirmações apresentadas, indique a resposta correta:
a) Somente a I é falsa.b) Somente a II é falsa.
c) Somente a III é falsa.
d) Somente a II é verdadeira.
e) Somente a III é verdadeira.
4. (Quadrix – 2021)
Conhecendo os conjuntos numéricos N (números naturais), Z (números inteiros), Q (números 
racionais) e Q’ (números irracionais) e considerando as proposições acima, julgue o item.
Sabendo-se que 5 dividido por 17 é igual a 0,2941176470..., é correto afirmar que 5/17 é um 
número irracional.
5. (CETREDE – 2021)
Calcular:
Marque a opção CORRETA.
a) 5.250.
b) 52,50.
c) 5,250.
d) 0,525.
e) 1.
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
COMPRIMENTO, MASSA E VOLUME/CAPACIDADE
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
COMPRIMENTO (DISTÂNCIA)
Medido em metro e seus múltiplos e submúltiplos.
km 
(quilomet-
ro)
hm 
(hectômet-
ro)
dam 
(decâmetro) m (metro)
dm 
(decímetro)
cm 
(centímet-
ro)
mm 
(milímetro)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
ÁREA (M2)
Medido em metro e seus múltiplos e submúltiplos.
km2
(quilomet-
ro 
quadrado)
hm2
(hectômet-
ro 
quadrado)
dam2
(decâmet-
ro 
quadrado)
m2
(metro 
quadrado)
dm2
(decímet-
ro 
quadrado)
cm2
(centímet-
ro 
quadrado)
mm2
(milímet-
ro 
quadrado)
Multiplica por 100 a cada casa a direita
Divide por 100 a cada casa a esquerda
MASSA (PESO)
Medido em grama e seus múltiplos e submúltiplos.
kg (quilo-
grama)
hg (hecto-
grama)
dag (deca-
grama) g (grama)
dm 
(decigrama)
cm (centi-
grama)
mm 
(miligrama)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
COMPRIMENTO, MASSA E VOLUME/CAPACIDADE 3
VOLUME OU CAPACIDADE
Medido em litro ou em metros cúbicos e seus múltiplos e submúltiplos.
kl 
(quilolitro)
hl 
(hectolitro)
dal 
(decalitro) l (litro)
dl 
(decilitro)
cl 
(centilitro)
ml 
(mililitro)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
km3
(quilomet-
ro cubico)
hm3
(hectômet-
ro cubico)
dam3
(decâmet-
ro cubico)
m3
(metro 
cubico)
dm3
(decímet-
ro cubico)
cm3
(centímet-
ro cubico)
mm3
(milímet-
ro cubico)
Multiplica por 1000 a cada casa a direita
Divide por 1000 a cada casa a esquerda
Obs.: existe uma relação entre o litro e o metro cubico que é: 1m3 = 1000 litros.
NA PRÁTICA
1. (IBFC – 2022)
Ao realizar o censo numa região, o agente verificou que percorreu, em um dia, a distância de 
4,8 quilômetros, e no dia seguinte, percorreu 1,2 quilômetros a menos que o dia anterior. Nes-
sas condições, a soma entre as distâncias percorridas nesses dois dias por esse agente foi de:
a) 8.400 decímetros
b) 84 decâmetros
c) 6 centímetros
d) 60 metros
e) 840.000 centímetros
2. (IBFC – 2022)
Uma garrafa de água tem capacidade para 1.500 mL (mililitros). Assinale a alternativa que 
apresenta quantos litros (L) de água equivalem a 30 garrafas iguais a essa.
a) 30 L
b) 45 L
c) 30.000 L
d) 45.000 L
4
3. (VUNESP – 2022)
Considere as seguintes igualdades:
15 m = ______mm.
2,5 km = _______dm.
0,2 cm2 = ______m2.
0,01 m3 = _______cm3.
Assinale a alternativa que contém os valores que preenchem, correta e respectivamente, as 
lacunas.
a) 1500 ... 2500 ... 0,002 ... 100
b) 15000 ... 25000 ... 0,002 ... 100
c) 1500 ... 2500 ... 0,00002 ... 10000
d) 15000 ... 25000 ... 0,00002 ... 10000
e) 15000 ... 25000 ... 0,002 ... 1
4. (Avança SP – 2022)
Calcule a soma a seguir e assinale a alternativa correta em centímetros.
0,0350 Km + 0,05 hm + 1,7 dam + 2m + 4dm + 90cm + 3000 mm =
a) 3180
b) 4800
c) 6240
d) 6330
e) 9030
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
ÂNGULOS E TEMPO
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
TEMPO
O tempo é medido em segundo e seus múltiplos (minutos, horas, dias, ...), mas não varia de 
10 em 10, nem de 100 em 100, e sim de 60 em 60 e depois segue outras variações.
1 segundo
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
12 horas = meio dia
24 horas = 1 dia
7 dias = 1 semana
15 dias = 1 quinzena
30 dias = 1 mês
2 meses = 1 bimestre
3 meses = 1 trimestre
6 meses = 1 semestre
12 meses = 1 ano
10 anos = 1 década
100 anos = 1 século
1000 anos = 1 milênio
0,1 segundo = 1 decimo de segundos
0,01 segundo = 1 centésimo de segundos
0,001 segundo = 1 milésimo de segundos
ÂNGULOS E TEMPO 3
ÂNGULOS
Os ângulos são medidos em graus ou radianos.
360° = 2π radianos (ângulo completo ou de 1 volta)
180° = π radianos (ângulo raso)
90° = π/2 radianos (ângulo reto)
60° = π/3 radianos
45° = π/4 radianos
30° = π/6 radianos
120° = 2π/3 radianos
270° = 3π/2 radianos
Ângulos agudos são aqueles cuja medida são maiores que 0° e são menores que 90°
Ângulos obtusos são aqueles cuja medida são maiores que 90° e menores que 180°
Ângulos côncavos são aqueles cuja medida são maiores que 180° e menores que 360°
Dois ângulos são complementares quando a soma desses ângulos da 90°.
Dois ângulos são suplementares quando a soma desses ângulos da 180°.
Dois ângulos são replementares quando a soma desses ângulos da 360°.
NA PRÁTICA
1. (UNIOESTE – 2022)
Um ângulo α é suplementar a um ângulo de 160º e complementar a um ângulo β. Então, a 
medida do ângulo β é de:
a) 20°.
b) 70°.
c) 37°.
d) 67°.
e) 58°.
2. (AGIRH – 2022)
Durante uma competição, André completou a prova de natação nadando 50 metros em 21,320 
segundos. Qual a posição ocupada pelo algarismo 3 nesse registro de tempo?
a) unidades de segundos.
b) décimos de segundos.
c) centésimos de segundos.
d) milésimos de segundos.
4
3. (Avança SP – 2022)
Sobre ângulos, assinale aquilo que for correto.
a) É chamado de raso o ângulo que possui medida igual a 90°
b) É chamado de reto o ângulo que possui medida igual 180°
c) Dois ângulos são complementares quando a sua soma for igual a 360º°
d) Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 180º
e) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida for menor do que 90º
4. (MetroCapital Soluções – 2022)
Assinale a alternativa que apresenta a correta quantidade de minutos presentes em 22 horas 
e 20 minutos:
a) 780.
b) 890.
c) 1100.
d) 1210.
e) 1340.
5. (Avança SP – 2022)
Na escola de Eduarda, as aulas começam às 13 horas. Em um dia são ministradas 6 aulas, cada 
uma com 50 minutos de duração. Se há um intervalo de 25 minutos entre a terceira e a quarta 
aula, a que horas do dia Eduarda voltará para casa?
a) 15h55min
b) 16h45min
c) 17h35min
d) 18h25min
e) 18h35min
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
SISTEMA MONETÁRIO
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
SISTEMA MONETÁRIO
O sistema monetário brasileiro é o Real (R$).
O sistema monetário internacional é balizado pelo dólar (US$).
Outras moedas existem no mundo e a ideia é a conversão de uma moeda em outra, o que 
depende dos valores de cada moeda no momento da conversão.
Ex.:
Se hoje 1 dólar vale 5,50 reais, então 200 dólares valem 1100 reais (200∙5,50 = 1100).
Os dinheiros (cédulas ou moedas) existentes hoje no Brasil são:
Moedas:
0,05 centavos
0,10 centavos
0,25 centavos
0,50 centavos
1,00 real
Cédulas:
2,00 reais
5,00 reais
10,00 reais
20,00 reais
50,00 reais
100,00 reais
200,00 reais
SISTEMA MONETÁRIO 3
NA PRÁTICA
1. (Avança SP – 2022)
Gabriel é um colecionador de moedas. Sua coleção possui 80 moedas de 5 centavos, 65 moe-
das de 10 centavos, 40 moedas de 25 centavos, 35 moedas de 50 centavos e 22 moedasde 1 
real. Quantos reais Gabriel possui ao todo em sua coleção?
a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 96,00
d) R$ 118,50
e) R$ 150,00
2. (OBJETIVA – 2022)
Avião militar com design insólito, o bombardeiro estratégico Northrop Grumman B-2 Spirit é 
de longe a aeronave mais cara já construída. A Força Aérea dos Estados Unidos adquiriu 21 
unidades do B-2, cada um deles avaliado em US$ 2,1 bilhões (R$ 11,55 bilhões na cotação 
atual). (Fonte: CNN Brasil)
Considerando-se as informações dadas, a cotação do real frente ao dólar, empregada na con-
versão de moedas, é de, aproximadamente:
a) R$ 5,50 = 1 US$
b) R$ 5,00 = 1 US$
c) R$ 5,75 = 1 US$
d) R$ 5,25 = 1 US$
3. (OBJETIVA - 2022)
Uma marca de shampoo fez a seguinte promoção:
VALOR ORIGINAL: Shampoo 325mL por R$ 8,67.
PROMOÇÃO: Na compra de 4 unidades, pague R$ 26,00.
O valor unitário da promoção tem um custo de:
a) R$ 0,64 superior ao preço unitário original.
b) R$ 0,98 inferior ao preço unitário original.
c) R$ 2,17 inferior ao preço unitário original.
d) R$ 3,21 inferior ao preço unitário original.
e) R$ 8,67 e não sofreu alteração.
4
4. (FGV - 2022)
Doze amigos foram a um restaurante e resolveram dividir a conta igualmente entre eles. Como 
um deles estava sem dinheiro, cada um dos outros onze amigos teve que pagar um adicional 
de R$ 5,40.
O valor total da conta foi de
a) R$ 724,80.
b) R$ 712,80.
c) R$ 684,00.
d) R$ 674,40.
e) R$ 653,40.
5. (CONTEMAX - 2022)
Na livraria Ouse Criar, comprando 2 lápis e 1 caderno você paga R$ 22,50. Se comprar 1 lápis e 2 
cadernos o valor passa para R$ 33,00. A soma dos valores de aquisição de 1 lápis e 1 caderno é:
a) R$ 10,50
b) R$ 14,50
c) R$ 16,00
d) R$ 17,80
e) R$ 21,00
6. (CESPE/CEBRASPE – 2022)
Na compra de dois coletes e três caixas de munições, um policial pagou R$ 340; outro policial 
comprou três coletes e duas caixas de munições por R$ 360. Considerando-se que os preços 
unitários dos referidos produtos tenham sido os mesmos nas duas compras, é correto afirmar 
que um policial que compre um colete e uma caixa de munições pagará
a) R$ 60.
b) R$ 70.
c) R$ 80.
d) R$ 140.
e) R$ 700.
PROPORCIONALIDADE
2
GRANDEZAS, RAZÃO E PROPORÇÃO
Proporcionalidade é grandezas.
GRANDEZAS
Grandeza é tudo que pode ser medido, contado ou quantificado. As grandezas podem ser de 
mesma “espécie” ou de espécies diferentes.
As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.
RAZÃO
Razão é uma comparação entre grandezas.
É uma fração a/b com b ≠ 0, em que a = antecedente e b = consequente.
As razões podem ser de grandezas de mesma espécie ou de grandezas de espécie diferentes.
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade de razões.
a/b = c/d
As proporções geralmente são utilizadas para determinar o valor de alguma grandeza pela 
variação das outras grandezas que estão sendo comparadas.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
A propriedade fundamental das proporções é: o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos (multiplicação cruzada = “cruz credo”).
a/b = c/d
(b e c são os meios, veja que na igualdade eles estão no meio; já a e d são os extremos)
b∙c = a∙d
Ex.:
ͫ	 As proporções têm algumas outras propriedades bem comuns:
1ª PROPRIEDADE
A soma do antecedente e do consequente de uma razão está para o seu antecedente ou o 
seu consequente assim como a soma do antecedente com o consequente da outra razão está 
para o seu antecedente ou consequente.
a+b/a = c+d/c
a+b/b = c+d/d
GRANDEZAS, RAZÃO E PROPORÇÃO 3
EX.:
2ª PROPRIEDADE
A diferença do antecedente e do consequente de uma razão está para o seu antecedente ou o 
seu consequente assim como a diferença do antecedente com o consequente da outra razão 
está para o seu antecedente ou consequente.
a – b/a = c – d/c
a – b/b = c – d/d
Ex.:
3ª PROPRIEDADE
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente 
está para o seu consequente.
a+c/b+d = a/b
a+c/b+d = c/d
Ex.:
4ª PROPRIEDADE
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada ante-
cedente está para o seu consequente.
a – c/b – d = a/b
a – c/b – d = c/d
Ex.:
5ª PROPRIEDADE
O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim como o quadrado 
de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
a∙c/b∙d = a2/b2
a∙c/b∙d = c2/d2
Ex.:
4
NA PRÁTICA
1. (OBJETIVA – 2022)
Na disciplina de Matemática Discreta, estão matriculados 80 acadêmicos. No final do semestre, 
o professor observou que 64 alunos foram aprovados. Nessas condições, a razão entre o número 
de acadêmicos reprovados e o número de acadêmicos aprovados, nessa ordem, é igual a:
a) 1/3
b) 1/4
c) 1/5
d) 3/5
2. (VUNESP – 2022)
A razão entre o número de servidores recém-contratados e o número de servidores que já 
atuavam em certo órgão público é 1/5. Se, contando todos esses servidores, tem-se, ao todo, 
168 funcionários, então a diferença entre o número de servidores que já atuavam no órgão e 
o número de servidores recém-contratados é
a) 112.
b) 118.
c) 114.
d) 120.
e) 116.
3. (Quadrix - 2022)
Joaquim demora 42 minutos para organizar e arquivar 24 documentos.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item, considerando que Joaquim sempre organiza 
e arquiva documentos no mesmo ritmo.
A quantidade de tempo necessária para Joaquim organizar e arquivar os documentos é dire-
tamente proporcional à quantidade de documentos que se deseja organizar e arquivar.
4. (Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
O médico receitou um remédio, mas orientou ao paciente para tomar 8 gotas para cada 12 kg 
de sua massa. Se o paciente tem 72 kg, ele deve tomar:
a) 96 gotas.
b) 48 gotas.
c) 78 gotas.
d) 36 gotas.
PROPORCIONALIDADE
2
DIVISÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Dividir em partes proporcionais pode ser tanto em partes diretamente proporcionais – em 
que quem tem mais fica com mais e quem tem menos fica com menos, como em partes 
inversamente proporcionais – em que quem tem mais fica com menos e quem tem menos 
fica com mais.
Para dividir em partes proporcionais é importante conhecer a constante proporcional (k), que 
será usada nos cálculos.
EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Certa carga de 500kg será distribuída em três partes de maneira proporcional aos números 2, 
3 e 5. Sendo assim, qual a quantidade de carga correspondente a cada parte?
EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma obra está orçada em, aproximadamente, R$ 146.400,00, o valor orçado será dividido 
entre 3 construtoras de forma inversamente proporcional a 10, 2 e 5, respectivamente. O valor 
correspondente a cada construtora é igual a?
REGRA DAS TORNEIRAS
É um caso especifico de divisão proporcional aplicado quando determinada situação é feita 
em tempos diferentes quando feitas separadas e por outro tempo quando feitas juntas.
1/tT = 1/t1 + 1/t2
tT = t1∙t2/(t1 + t2)
Ex.:
Uma torneira enche um balde em 6 min. Outra torneira enche o mesmo balde em 4 min. Em 
quanto tempo as duas torneiras juntas encherão o balde?
NA PRÁTICA
1. (FCC – 2022)
Em um processo de partilha de herança entre Ana, Beatriz e Clara, ficou decidido que os valores 
recebidos serão diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que Ana tem 
o triplo da idade de Clara que, por sua vez, tem a metade da idade de Beatriz. Clara receberá 
100 mil reais. O valor total da herança é de:
a) R$ 700.000,00
b) R$ 400.000,00
c) R$ 600.000,00
d) R$ 900.000,00
e) R$ 500.000,00
DIVISÃO PROPORCIONAL 3
2. (FAUEL – 2022)
Ao dividir 180 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a maior parte é igual a:
a) 100.
b) 60.
c) 20.
d) 10.
e) 5.
3. (IBFC - 2022)
Ao analisar os pagamentos realizados aos recenseadores, um coordenador verificou que o 
valor pago a três deles foi um total de R$ 8.100,00. Se o tempo de trabalho de cada um foi 
de 2, 3 e 4 meses e o total pago foi diretamente proporcional ao tempo trabalhado, então o 
menor valor recebido por um dos recenseadores foi de:
a) R$ 2.700,00b) R$ 1.800,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 900,00
e) R$ 2.100,00
4. (UFES - 2021)
Uma certa quantia de dinheiro, em reais, foi dividida entre João, Marcos e Mateus, em partes 
inversamente proporcionais a 3, 2 e 5, respectivamente. Marcos recebeu 10000 reais a mais 
do que João. O valor total da quantia, em reais, que foi dividida é igual a
a) 62000
b) 62250
c) 62500
d) 63000
e) 63500
5. (CETREDE - 2021)
Uma caixa-d’água suporta 360 litros. Há dois motores conectados a ela. Um enche em 15 horas 
e o outro a esvazia em 20 horas. Ligando os dois motores simultaneamente, em quantas horas 
a caixa-d’água ficará cheia?
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 30.
e) 60.
PROPORCIONALIDADE
2
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS
Regra de três é um dispositivo ou mecanismo prático para calcular proporções.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de 3 é simples quando compara apenas 2 grandezas.
O ”segredo” é descobrir se as grandezas comparadas são direta ou inversamente proporcionais 
e fazer o cálculo pedido.
Ex.1:
Uma máquina produz 25 brinquedos por dia. O número de brinquedos que essa máquina 
produzirá em 12 dias será?
Ex.2:
A reforma de uma casa será realizada em 30 dias por 3 funcionários. Em quantos dias 5 fun-
cionários fariam a mesma reforma?
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de 3 é composta quando compara mais de 2 grandezas.
Determinando quais grandezas são direta e inversamente proporcionais é só fazer o cálculo 
pedido (a comparação das grandezas é feita sempre com a grandeza que se quer descobrir o 
valor).
Ex.:
8 máquinas iguais, de mesmo rendimento, trabalhando simultaneamente durante 9 horas 
por dia, produzem 100 unidades de peças em 10 dias. Nas mesmas condições, o número de 
máquinas necessárias para produzir 50 unidades dessa peça em 9 dias, trabalhando 8 horas 
por dia, será igual a?
NA PRÁTICA
1. (FGV – 2022)
18 advogados devem examinar 400 contas bancárias dos envolvidos em um processo de fraude. 
Em 14 dias esses advogados examinaram 150 contas e, nesse momento, 4 advogados foram 
transferidos para outro trabalho.
Os advogados restantes terminaram de examinar as contas em
a) 20 dias.
b) 24 dias.
c) 28 dias.
d) 30 dias.
e) 35 dias.
REGRA DE TRÊS 3
2. (VUNESP – 2022)
Para a fabricação de 100 peças de determinado produto em 4 horas, são necessárias três 
impressoras 3D, idênticas, trabalhando juntas e ininterruptamente, com igual capacidade 
de produção. Se a mesma quantidade de peças for fabricada por 5 dessas impressoras, nas 
mesmas condições anteriormente identificadas, a redução do tempo será de
a) 2 horas e 00 minutos.
b) 1 hora e 54 minutos.
c) 2 horas e 12 minutos.
d) 1 hora e 36 minutos.
e) 1 hora e 45 minutos.
3. (Quadrix - 2022)
Com 20 funcionários, a empresa de festas de Mariana demora 5 horas para preparar uma 
festa para 80 convidados.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item, considerando que todos os funcionários 
trabalham em um mesmo ritmo e que o número de convidados e o tempo necessário para 
preparar a festa são grandezas diretamente proporcionais.
Em 28 horas e 30 minutos de trabalho, a empresa de Mariana prepara uma festa para 460 
convidados.
4. (FUNDATEC - 2022)
O cachorro de Ana pesa 11 kg. Para tratar uma infecção, o veterinário receitou um antibiótico 
cuja dosagem é de 3,6 ml para cada 4 kg de peso corporal. Quantos ml de antibiótico Ana 
deve dar ao seu cachorro?
a) 11 ml.
b) 9,9 ml.
c) 9,7 ml.
d) 9 ml.
e) 7 ml.
5. (MPE-GO - 2022)
Dois atendentes atendem 32 clientes em 2 horas e 40 minutos. Com a mesma eficiência, três 
atendentes atenderão 60 (sessenta) clientes em:
a) 2 horas e 40 minutos.
b) 2 horas e 48 minutos.
c) 3 horas e 10 minutos.
d) 3 horas e 20 minutos.
PROPORCIONALIDADE
2
PORCENTAGEM - ACRÉSCIMOS E DESCONTOS
PORCENTAGEM
É uma razão/fração cujo denominador é igual a 100.
TAXA PERCENTUAL
É o valor que vem acompanhado do símbolo da porcentagem %.
Ex.:
7% = 7/100
28% = 28/100
CALCULO DE PORCENTAGEM
É a aplicação da taxa percentual a determinado valor.
Essa aplicação da taxa percentual é feita por regra de 3 (sempre de forma diretamente 
proporcional)
Ex.:
30% de 1400
PORCENTAGENS SUCESSIVAS
Quando aplicamos a porcentagem sucessivas vezes devemos ficar atentos para incidir a taxa 
percentual sobre os valores corretos, principalmente após alguma taxa já ter incidido sobre 
os valores.
Ex.:
Dois aumentos seguidos de 20%
Dois descontos seguidos de 20%
Um aumento de 20% seguido de um desconto de 20%
Um desconto de 20% seguido de um aumento de 20%
NA PRÁTICA
1. (FCC – 2022)
Carlos tem uma caixa com bolinhas de gude. O primo de Carlos perdeu quatro bolinhas de 
gude que estavam na caixa. Carlos verificou que o total de bolinhas da caixa se reduziu a 90% 
do que ele tinha na caixa. Nessas condições, é correto afirmar que o número de bolinhas na 
caixa antes da perda era
a) 40
PORCENTAGEM - ACRÉSCIMOS E DESCONTOS 3
b) 60
c) 80
d) 32
e) 44
2. (FGV – 2022)
Considere que X representa 40% de Y.
A porcentagem que Y representa de X é
a) 25%.
b) 60%.
c) 75%.
d) 150%.
e) 250%.
3. (Quadrix - 2022)
José pretende ganhar massa muscular. Para isso, o nutricionista recomendou que ele ingerisse, 
diariamente, 160 gramas de proteína.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Uma refeição contendo 22 gramas de proteína equivale a 13,75% da quantidade de proteína 
diária recomendada pelo nutricionista.
4. (UNICENTRO - 2022)
Uma pesquisa revelou que o brasileiro permanece em média conectado à internet 5,4 horas 
do seu dia, seja para utilização do trabalho ou lazer. Qual é o valor percentual corresponde do 
dia que o brasileiro passa conectado à internet?
a) 18,50%.
b) 22,50%.
c) 24,75%.
d) 26,45%.
e) 28,20%.
5. (MPE-GO - 2022)
Um tênis custa R$400,00 e é vendido com descontos sucessivos de 10% e 7%. Qual é o preço 
de venda do tênis após esses descontos?
a) R$332,00
b) R$334,80
c) R$468,00
d) R$360,00
PROPORCIONALIDADE
2
PORCENTAGEM - LUCRO E PREJUÍZO
PORCENTAGEM
É uma fração cujo denominador é igual a 100.
TAXA PERCENTUAL
É o valor que vem acompanhado do símbolo da porcentagem %.
Ex.:
2% = 2/100
31% = 31/100
CALCULO DA PORCENTAGEM
É a aplicação da taxa percentual a determinado valor.
(para fins de cálculo, usa-se a taxa percentual em forma de fração com denominador 100 ou 
em número decimal)
Ex.:
7% de 1300
45% de 220
LUCRO E PREJUÍZO (NA COMPRA OU NA VENDA)
Lucro (ou ganho) e prejuízo (ou perda) são os resultados das operações financeiras envolvendo 
compras e vendas.
Conceitos importantes:
Custo (C): é o quanto é “gasto” para comprar algo.
Venda (V): é o quanto se “ganha” pela venda de algo.
Lucro (L): Quando o “ganho” é maior do que o “gasto”.
Prejuízo (P): Quando o “gasto” é maior do que o “ganho”.
Fórmulas do Lucro e do Prejuízo:
L = V – C
P = C – V
Obs.: para calcular o lucro ou o prejuízo, na venda ou no custo, basta substituir na formula do 
lucro ou do prejuízo a porcentagem do custo ou da venda.
Ex.1.:
Uma bicicleta foi comprada por R$ 3600,00 e revendida com lucro de 30% sobre a venda. Qual 
o preço de venda?
PORCENTAGEM - LUCRO E PREJUÍZO 3
Ex.2:
Um celular foi vendido por R$ 4500,00 com prejuízo de 12% sobre a venda. Por qual valor 
esse celular foi comprado?
NA PRÁTICA
1. (IESES – 2022)
Uma mercadoria é vendida com margem de lucro de 25%. Qual seria o custo da mercadoria 
vendida sabendo-se que o preço de venda é de $ 160,00?
a) $ 132,00
b) $ 128,00
c) $ 125,00
d) $ 120,00
2. (Avança SP – 2022)
Em uma loja, uma bolsa é vendida por R$ 200,00. A dona da loja paga uma comissão de 7% 
sobre o preço de venda, para a funcionária que vende a bolsa, e ganha 50% sobre o seu valor 
de custo. Desse modo, qual é o valor de custo da bolsa?
a) R$ 119,00.
b) R$ 124,00.
c) R$ 128,00.
d) R$ 184,00.
e) R$ 279,00.
3. (CETREDE - 2021)
Na venda de uma camiseta, um comerciante teve um lucro de R$ 30,00, correspondente a 25% 
do preço de venda. O preço de custo desse produtopara o comerciante foi
a) R$ 90,00.
b) R$ 45,00.
c) R$ 60,00.
d) R$ 75,00.
e) R$ 120,00.
4. (AEVSF/FACAPE - 2021)
Um aparelho celular foi comprado por um determinado valor. Em seguida o comprador reven-
deu esse aparelho por R$ 492,80. Sabendo que ao revender por esse preço ele está lucrando 
12% sobre o valor pelo qual comprou, então, o valor que ele pagou ao comprar o aparelho 
celular foi:
a) R$ 433,66
4
b) R$ 420,00
c) R$ 440,00
d) R$ 480,80
e) R$ 480,00
5. (CETREDE - 2021)
Sabendo que eu quero lucrar 26% sobre o preço de venda dos meus produtos, de quanto, 
aproximadamente, deve ser o acréscimo sobre o preço de compra?
a) 15%.
b) 19%.
c) 27%.
d) 35%.
e) 41%.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
EQUAÇÕES DO 1° GRAU
EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU:
É a equação que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – no 1º grau. 
Escrita na forma genérica por:
ax + b = 0
Obs.: A ideia é achar o valor de x, somando, subtraindo, multiplicando ou dividindo os 
valores. Geralmente as equações do 1º grau são obtidas pelos problemas matemáticos 
mais simples.
Ex.:
O triplo da idade de Maria somado mais 2 anos da a idade de Luiza. Se Luiza tem 11 anos, 
qual a idade de Maria?
NA PRÁTICA
1. (FAUEL – 2022)
Assinale a equação que tem x = 9 como solução.
a) x – 16 = 2x + 8 
b) 5x + 5 = 59 – x
c) 3x + 7 = -x – 29
d) 9x + 1 = 10
e) 4x – 9 = 9x – 9
EQUAÇÕES DO 1° GRAU 3
2. (VUNESP – 2022)
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 2x + 8 = 3x – 25 verdadeira? 
a) 6
b) 17
c) 23
d) 29
e) 33
3. (Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
A quantidade de parafusos na caixa de ferramentas de certo mecânico corresponde ao 
valor de x, que satisfaz a equação abaixo. Sendo assim, ao todo, quantos parafusos esse 
mecânico possui em sua caixa de ferramentas:
2x + 369 = 531 – x 
a) 48 
b) 50
c) 52
d) 54
4. (FGV - 2022) 
Na equação
5x − 1 = 2x + 71
o valor de x é
a) 23.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 27.
5. (FGV - 2022) 
O valor de x que satisfaz a equação 
é tal que 
4
a) x > 10.
b) 0 < x < 10. 
c) −10 < x < 0. 
d) −20 < x < −10.
e) x < −20.
6. (VUNESP - 2022) 
A distância entre as cidades A e B é 154 km. Entre elas, há um posto da polícia rodoviária 
(PR) e um posto de combustíveis (PC), conforme mostra a figura.
Sabendo que a distância entre o posto de combustíveis e a cidade B é 5 vezes a distância 
entre o posto da polícia rodoviária e o posto de combustíveis, então a distância entre o 
posto de combustíveis e a cidade B é igual a 
a) 12 km.
b) 24 km.
c) 36 km.
d) 48 km.
e) 60 km.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM 2 VARIÁVEIS
SISTEMA DE EQUAÇÕES (DO 1º GRAU)
Nos sistemas de equações temos duas incógnitas (variáveis) a serem descobertas. 
Escrito na forma genérica fica:
 
Os métodos para resolver o sistema de equação são o método da adição e o método da 
substituição.
Obs.: Os sistemas de equações são obtidos por problemas matemáticos.
Ex.:
Em uma fazenda tem 25 animais entre galinhas e porcos. Ao todo os amimais tem 64 patas. 
Quantas são as galinhas e os porcos?
RESOLVENDO O SISTEMA PELO MÉTODO DA ADIÇÃO:
RESOLVENDO O SISTEMA PELO MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM 2 VARIÁVEIS 3
NA PRÁTICA
1. (OBJETIVA – 2022)
Dado que  . Nessa condição, é correto afirmar que:
a) x – y = – 1
b) y – x = – 1
c) x = 3
d) y = 4
2. (IESES – 2022)
Considere dois números inteiros p, q tais que p + q = 12 e p – q = 20. Nesse caso, assinale 
a alternativa correta:
a) p é negativo. 
b) Ambos p e q são divisí�veis por 4. 
c) q é maior do que p.
d) p e q são positivos.
3. (FAUEL - 2022)
Sejam x e y números que resolvem CORRETAMENTE o sistema
Assinale a alternativa que apresenta x/y.
a) -1,5.
b) 1,5.
c) -2,5. 
d) 2,5.
4. (FGV - 2022) 
x e y são tais que 4x + 5y = 80 e 6x + 7y = 116.
O valor de 2x + 3y é
a) 38.
b) 40.
c) 42.
d) 44.
e) 46.
4
5. (FGV - 2022) 
Rafael possui no bolso exatamente 16 notas, umas de 2 reais, as outras de 5 reais, totali-
zando a quantia de 53 reais.
O número de notas de 2 reais que Rafael tem no bolso é
a) 5. 
b) 6.
c) 7. 
d) 8.
e) 9.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU
É a equação que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – no 2º grau (x2). 
Escrita na forma genérica por:
ax2 + bx + c = 0
Obs.: Como a incógnita está no 2º grau ele pode assumir até 2 valores no conjunto dos 
números reais.
FORMULA DE BHASKARA 
Para achar os valores de “x” usa-se a formula de Bhaskara e calcula-se em duas etapas:
1º calcula o discriminante (vulgo delta “Δ”)
Δ = b2 – 4∙a∙c
Depois calcula as raízes:
x = (-b ±√Δ)/2∙a
x’ = (-b + √Δ)/2a
x” = (-b – √Δ)/2a
Ex.:
Quais os valores de “x” na equação x2 – 7x + 5 = -7?
Obs.: 
quando Δ > 0 a equação tem duas raízes reais diferentes; 
quando Δ = 0 a equação tem duas raízes reais iguais; 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU 3
quando Δ < 0 a equação tem suas raízes no conjunto dos números complexos.
RELAÇÃO ENTRE A SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES 
Existe uma relação entre as raízes da equação de 2º grau com a equação do 2º grau, que é:
Relação entre a soma e produto das raízes:
ax2 + bx + c = 0
Soma = S = x’ + x” = -b/a
Produto = P = x’ ∙ x” = c/a
x2 – Sx + P = 0
Ex.: x2 – 7x + 5 = -7
NA PRÁTICA
1. (UECE-CEV – 2022)
Considerando a sequência dos seis primeiros múltiplos positivos do número 5, assinale a 
opção que corresponde à equação do 2º grau que tem raízes, o primeiro e o último termo 
dessa sequência.
a) x2 – 35x + 150 = 0.
b) x2 – 35x – 150 = 0.
c) x2 + 35x + 150 = 0.
d) x2 + 35x – 150 = 0.
2. (Quadrix – 2022)
Considerando a equação, na incógnita x, x2 + 5x + m = 0, julgue o item.
Se uma das raízes é igual a −4, então m = 4.
4
3. (Quadrix – 2022)
Considerando a equação, na incógnita x, x2 + 5x + m = 0, julgue o item.
Se m = -14, então a equação admite raízes iguais a -2 e 7.
4. (CESGRANRIO - 2022) 
Para b ∈ ℝ, considere a equação 2x + b = x2 - 2x - 4.
A equação dada possui 2 raízes reais distintas quando, e apenas quando,
a) b < 8
b) b > -8 
c) b = -8 
d) b < 0 
e) b ≠ -4.
5. (VUNESP - 2021) 
Considere a equação do 2º grau:
2x2 – 3x – 2 = 0
Se x1 e x2 são as raízes dessa equação e x1 > x2, então é verdadeiro que x1/x2 é igual a
a) –4
b) –3
c) 3/2
d) 2/3
e) 3/4
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E 
BIQUADRADAS
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são as equações em que as incógnitas – valor desconhecido (o 
“x”) – estão nos expoentes.
Obs.: Para resolver questões com essas equações usa-se as propriedades das potencias.
Ex.: 
1252x – 1 = 3125x+1
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Para falar de equações logarítmicas é preciso primeiro conhecer os logaritmos.
Logaritmo está relacionado com as equações exponenciais. 
Por definição logaritmo é expresso por:
Logab = x
ax = b
em que a = base, b = logaritmando, e a > 0 e a ≠ 1 e b > 0
As propriedades dos logaritmos são:
Loga1 = 0
Logaa = 1
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E BIQUADRADAS 3
Loga(b∙c) = Logab + Logac
Loga(b/c) = Logab – Logac
 = n∙Loga
b 
 = 1/n ∙ Loga
b 
 = b
Logab = Logcb / Logca
Logab ∙ Logba = 1
Obs.: sempre que a base não aparece no logaritmo, essa base é o 10 (log2 = log102). Dito 
isto, os logaritmos de 10 e das potencias de 10 serão os números inteiros, veja:
log10 = 1
log100 = = 2;
log0,001 = = -3.
As equações logarítmicas são aquelas que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – 
no logaritmando.
Ex.: 
 = 2
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
São as equações escritas na forma: ax4 + bx2 + c = 0. 
A ideia é transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau e resolver a 
partir daí.
Trocando x2 por y, a equação fica:
ay2 + by + c = 0
4
Resolve a equação do 2º grau (acha os valores de y) e após encontrar os valores de y iguala 
a x2 para chegar na solução definitiva da equação.
Ex.: 
x4 – 13x2 + 36 = 0
NA PRÁTICA
1. (CESPE – 2021)
A quantidade de soluções reais da equação log3(x³) + log3(1/2) = log3(4) éigual a
a) 4.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
2. (CPCON – 2021)
Resolvendo a equação é CORRETO afirmar que o seu conjunto solução 
S é igual a:
a) S = {-4,3}
b) S = {5,-2}
c) S = {-2,-5}
d) S = {-5,2}
e) S = {4,-3}
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E BIQUADRADAS 5
3. (CESPE – 2017) 
Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2 + 6.400 = 0, então 
a diferença X2 – X1 é igual a
a) 2.
b) 1.
c) 36.
d) 18.
e) 4.
FUNÇÕES
2
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CONCEITOS, PLANO CARTESIANO, GRÁFICOS, 
DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO
Funções são relações entre valores, mais explicitamente, são relações entre “x” e “y” (para 
cada valor de x existe um único valor de y).
As funções são as mais diversas possíveis e as relações entre “x” e “y” vão depender da forma 
como foi estabelecida a função.
Obs.: f(x) = y
Ex.:
f(x) = 2x + 7
PLANO CARTESIANO E GRÁFICOS DAS FUNÇÕES
O plano cartesiano é um sistema usado para localizar pontos através de suas coordenadas (x, y).
Esse sistema é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos cartesianos e 
divididos em quatro quadrantes.
O eixo do “x” é chamado de eixo das abscissas (eixo horizontal), já o eixo do “y” é chamado 
de eixo das ordenadas (eixo vertical).
As relações entre os valores de “x” e o “y” num plano cartesiano formando um gráfico.
Para cada valor de x existe um valor de y correspondente, formando o par (x, y).
Ex.:
f(x) = 2x + 7
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO
Nas funções o domínio são os valores de “x”, a imagem são os valores de “y” e o contradomínio 
são todos os possíveis valores de “y”.
Obs.1: não confunda contradomínio com imagem. O contradomínio são todos os valores pos-
síveis para y na relação com x, já a imagem são os valores de y relação com x.
Obs.2: f: A→B (A = domínio; B = contradomínio)
Ex.:
f(x) = 2x + 7
NA PRÁTICA
1. (FUNDATEC – 2022)
O domínio da função f(x) = √(2𝑥 – 1) é dado pelos valores de 𝑥 tais que:
a) 𝑥 ≥ 0
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CONCEITOS, PLANO CARTESIANO, GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO 3
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b) √𝑥 > 1
c) 𝑥 ≥ √1/2
d) 𝑥 > 1/2
e) 𝑥 ≥ 1/2.
2. (FUNDATEC – 2022)
Seja f: ℝ → ℝ a função real definida por f(x) = 3x − 18. Para qual valor do domínio a imagem 
de f é nula?
a) 6.
b) 3.
c) 9.
d) 0.
e) –3.
3. (COPESE-UFPI – 2022)
O plano cartesiano abaixo mostra os gráficos das equações de duas retas. O par ordenado que 
representa a solução do sistema definido por essas duas equações é:
a) (1,3)
b) (2,3)
c) (1,-3)
d) (-1,-3)
e) (-1,3)
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4
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4. (Prefeitura de Bombinhas-SC – 2021)
Dada a função f(x) = 2x+4, o domínio {2, 3, 4}, o contradomínio composto por números inteiros 
entre -2 e 20, o conjunto imagem será:
a) {8, 10, 12}
b) {2, 3, 4}
c) {-2, 0, 2, 20}
d) {-2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
5. (Aeronáutica – 2021)
Seja uma função f: A → B tal que A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = ℝ. A alternativa que apresenta todos 
os pontos de um possível gráfico de f é
a) (0, 0); (0, 1); (0, 2); (0, 3) e (0, 4)
b) (0, 0); (1, 0); (2, 0); (3, 0) e (4, 0)
c) (0, 0); (1, −1); (2, −2) e (3, −3)
d) (0, 1); (2, 3); (4, 5) e (5, 6)
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FUNÇÕES
2
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FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA, BIJETORA, 
CRESCENTE, DECRESCENTE, PARES, IMPARES
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA
Uma função é injetora quando cada elemento distinto do domínio x tem um único elemento 
distinto no contradomínio.
Ex.:
f: (0,1,2,3,4)→(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
f(x) = x+4
Uma função é sobrejetora quando a imagem é igual ao contradomínio.
Ex.:
f: (-2,-1,0,1,2)→(0,1,4)
f(x) = x2
Uma função é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Ex.:
f: (1,2,3,4)→(2,4,6,8)
f(x) = 2x
FUNÇÃO CONSTANTE, CRESCENTE, DECRESCENTE
Uma função f(x) é constante quando f(x1) = f(x2) = f(x3) = f(x4) e assim por diante, ou seja, para 
qualquer valor de x o valor de y é sempre o mesmo.
No gráfico a função constante é uma linha paralela ao eixo Y.
Ex.:
f(x) = x/x
Uma função f(x) é crescente quando f(x1) < f(x2) < f(x3) < f(x4) para x1 < x2 < x3 < x4, ou seja, a 
medida que x aumenta, y também aumenta.
No gráfico a função crescente é uma linha inclinada para cima em relação ao eixo Y.
Ex.:
f(x) = x+4
Uma função f(x) é crescente quando f(x1) > f(x2) > f(x3) > f(x4) para x1 < x2 < x3 < x4, ou seja, a 
medida que x aumenta, y diminui.
No gráfico a função decrescente é uma linha inclinada para baixo em relação ao eixo Y.
Ex.:
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FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA, BIJETORA, CRESCENTE, DECRESCENTE, PARES, IMPARES 3
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f(x) = -2x+6
FUNÇÕES PARES E IMPARES
Função par é a função que f(-x) = f(x).
Função ímpar é a função que f(-x) = -f(x).
Os clássicos das funções pares e impares são:
f(x) = x2 (função par)
f(x) = 2x (função ímpar)
NA PRÁTICA
1. (Instituto Access - 2022)
Seja f(x) = –x2 – 6x uma relação definida de A em B, sendo A = {−6, −1, 0, 1, 6} e B = {−72, −7, 0, 5}.
De acordo com o diagrama de flechas, podemos dizer que essa função é
a) injetora.
b) sobrejetora.
c) bijetora.
d) subjetora.
2. (FAUEL - 2021)
Uma função ƒ real é denominada crescente quando, ao tomar x1 > x2, tem-se ƒ(x1) > ƒ(x2). 
Dentre as funções reais abaixo, qual não é crescente?
a) ƒ(x) = 2x
b) ƒ(x) = 2x + 1
c) ƒ(x) = -2x + 1
d) ƒ(x) = 2x - 1
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3. (CESPE/CEBRASPE - 2019)
Tendo como referência as funções f(x) = x2 – 5x + 4 e g(x) = x2 – 3, em que –∞ < x < +∞, julgue 
o item que se segue.
A função g(x) é ímpar.
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FUNÇÕES
2
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FUNÇÃO DO 1° GRAU (AFIM)
FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU (FUNÇÃO AFIM):
Função do 1º grau – função afim – é a função escrita na forma f(x) = ax + b em que x está 
“elevado” a 1 e a ≠ 0.
O gráfico da função do 1º grau é:
uma reta inclinada para cima (função crescente, a > 0),
uma reta inclinada para baixo (função decrescente, a < 0).
Ex.:
f(x) = 2x + 1
f(x) = -4x + 7
Na função do 1º grau cada elemento de “x” tem um único elemento em ”y” (função injetora)
Obs.1: uma reta para paralela ao eixo x podemos dizer que é uma função constante (a = 0 e 
não é uma função do 1º grau) e 1/x não é função do primeiro grau também, pois x-1.
Obs.2: a raiz da função é o valor de x que determina quando y = 0.
NA PRÁTICA
1. (UNICENTRO - 2022)
A função f(x) = 20x – 50 é igual a 300 quando x assume o valor de:
a) 15,00.
b) 16,75.
c) 17,25.
d) 17,50.
e) 18,50.
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FUNÇÃO DO 1° GRAU (AFIM) 3
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2. (FAFIPA - 2022)
A função afim é do tipo polinomial do primeiro grau definida como: f : R → R tal que f(x) = 
ax + b ou y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0. Em relação a esta função, classifique 
cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e, em seguida, assinale a alternativa com a 
sequência CORRETA:
( ) A representação da função, por meio de um gráfico, é uma reta.
( ) A representação da função, por meio de um gráfico, é uma parábola.
( ) Se o valor de b for zero a equação continua sendo definida de primeiro grau.
( ) O valor de b na função afim determina sua classificação em: crescente, decrescente e 
constante.
( ) A raiz, ou seja, o valor de x desta função é dada por x= -b/a.
a) V - F - V - F - V.
b) V - F - V - V -V.
c) V - V - F - F - V.
d) V - V - V - V - V.
e) V - F - V - V - F.
3. (FGV - 2022)
Em uma função do 1º grau y = ƒ(x) , sabe-se que ƒ(0) = 4 e ƒ(-1) = -3.
O valor de ƒ(1) é
a) 3.
b) 5.
c) 7.
d) 9.
e) 11.
4. (Quadrix - 2021)
Com relação às funções ƒ(x) = ax + b e g(x) = x + c, definidas em ℝ com a ≠ 0 e b ≠ c , julgue o 
item.
Se ƒ(0) = 5, ƒ(3) = g(3) e g(1) = 0, então a + b + c = 3.
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4
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5. (IBFC - 2021)
As funções do primeiro grau possuem o formato definido por f(x) = ax+ b, com a, b ∈ ℝ e com 
a ≠ 0. Sabe-se que f(−1) = 2 e f(2) = 1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de f(1).
a) -1
b) 2
c) 1/3
d) 4/3
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FUNÇÕES 
2
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FUNÇÃO DO 2° GRAU (QUADRÁTICA) E MÁXIMOS E 
MÍNIMOS
FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA):
Função do 2º grau – função quadrática – é a função escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c em 
que x está “elevado” a 2 e a ≠ 0.
O gráfico da função do 2º grau é uma parábola:
com sua abertura (concavidade) voltada para cima (a > 0) 
com sua abertura (concavidade) voltada para baixo (a < 0).
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Ponto de máximo ou de mínimo e Valor de máximo e mínimo são os Xv e Yv.
Quando a > 0 tem-se o ponto de mínimo e o valor de mínimo. 
Quando a < 0 tem-se o ponto de máximo e o valor de máximo. 
Para calcular o Xv e o Yv:
Xv = -b/2a
e
Yv = -Δ/4a
Outra forma de calcular o Yv é substituir o valor do Xv na função f(x) = ax2 + bx + c.
Ex.: qual o mínimo valor assumido pela função y = 2x2 + 12x + 14?
Calculando Xv:
Calculando Yv:
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FUNÇÃO DO 2° GRAU (QUADRÁTICA) E MÁXIMOS E MÍNIMOS 3
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Obs.1: as raízes da função do 2º grau são os valores de x que determina quando y = 0.
Obs.2: ao resolver a função do 2º grau para encontrar suas raízes:
se ∆ > 0 tem duas raízes reais distintas
se ∆ = 0 tem duas raízes reais iguais
se ∆ < 0 tem suas raízes no conjunto dos números complexos.
NA PRÁTICA
1. (FAU - 2022)
As funções buscam modelar uma situação real e com elas podemos entender, prever, simu-
lar determinadas situações um exemplo de função do 2º grau é f(x)= x2 – 8x + 10, qual é 
o valor da imagem desta função quando x é igual a 10? 
a) 20.
b) 25.
c) 30.
d) 40.
e) 50.
2. (Quadrix - 2021)
O número de óbitos por uma doença infecciosa no n-ésimo dia de um certo mês é dado 
pela função f(n) = −4n2 + 120n.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
O maior número de óbitos por essa doença registrado, em um dia desse mês, é igual a 900.
3. (Quadrix - 2021)
Uma função f: R → R, do 2° grau, é tal que f(3) = 0, f(8) – f(6) = 11 e f(10) = 35. Conside-
rando essas informações, julgue o item.
O gráfico de f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
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MINISSIMULADO
2
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FUNÇÕES 
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Função exponencial é a função escrita na forma f(x) = ax com a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico da função exponencial é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA:
Função logarítmica é a função escrita na forma f(x) = logax com a > 0 e a ≠ 1, e x > 0.
O gráfico da função logarítmica é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. 
NA PRÁTICA
1. (FAU - 2022)
Uma maneira de modelar fenômenos que tem crescimento muito rápidos é utilizando 
funções exponenciais. Qual é o valor da função f(x) = 100∙2x quando x assume o valor 15?
a) 2.240.320.
b) 2.480.640.
c) 2.960.560.
d) 3.080.240.
e) 3.276.800.
2. (OMNI - 2022)
Das alternativas abaixo, qual apresenta uma função exponencial decrescente? 
a) ƒ(x) = 0,63x.
b) ƒ(x) = 2,1x.
c) ƒ(x) = 0,42.
d) ƒ(x) = 1,53.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 3
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3. (OMINI - 2021)
As funções exponenciais e logarítmicas, são funções consideradas funções inversas, e seus 
gráficos são simétricos em relação a reta y = x. Analise as afirmações abaixo, em relação 
as funções exponenciais e logarítmicas.
I. - As funções f(x) = ax e g(x) = logax sempre se intersectam em um único ponto, indepen-
dente do valor de a. 
II. - Se a > 1, o gráfico da a função f(x) = logax é crescente. 
III. - Se a < 1, o gráfico da função g(x) = ax é decrescente.
Assinale a opção CORRETA acerca da afirmações acima:
a) Apenas a afirmação I está correta.
b)Apenas a afirmação II está correta.
c) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
d)Todas as afirmações estão corretas.
4. (FADESP - 2021)
A função exponencial y = ax+1 é tal que a imagem de 2 é 27. A imagem de 4 será
a) 64.
b) 81.
c) 243.
d) 256.
e) 729.
(GUALIMP - 2020)
Considere a função f: R → R cujo o gráfico está esboçado abaixo.
Qual é a lei de formação da função f?
a) y = log2(x+1)
b) y = log2x
c) y = logx
d) y = logx+1
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FUNÇÕES 
2
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FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA
FUNÇÃO COMPOSTA:
Função composta é a função que combina “duas ou mais variáveis” em funções distintas 
para uma mesma função. 
Em outras palavras é quando se coloca uma função “dentro” da outra.
Para determinar a função composta basta substituir a variável pela função determinada.
Ex.:
f(x) = x + 4
g(x) = 2x – 7
f ∘ g = f(g(x)) = 
g ∘ f = g(f(x)) = 
FUNÇÃO INVERSA:
Função inversa é a função em que trocamos o “x” pelo “y” e determinamos a nova função.
A função inversa é representada por f–1. 
Ex.:
f (x) = 6x – 8
f–1 = 
Obs.: a função inversa é uma função bijetora.
NA PRÁTICA
1. (FAFIPA - 2022)
Sejam as funções reais f e g definidas por
f(x) = x2 − 2x + 2 e g(x) = x – 1 assinale a alternativa que apresenta a função ƒ ∘ g
a) ƒ ∘ g =x2 − 4x + 5
b) ƒ ∘ g =x2 – x + 1
c) ƒ ∘ g = x2 −2x
d) ƒ ∘ g =x2 − 2x + 3
e) ƒ ∘ g =x2 −1
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FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA 3
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2. (FEPESE - 2021)
Sejam f(x) = x2 – 16 e g(x) = x – 4 funções reais. Tome y como o maior número real tal que 
a função composta h = f ∘ g se anula, isto é, y é o maior número real tal que h(y) = 0.
Então, o logaritmo na base 2 de y, log₂y, é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3. (CONSULPLAN - 2014)
Sejam as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x + 5. A raiz da função composta f(g(x)) é igual a
a) –3.
b) –1.
c) 2
d) 4
4. (FAPEC-AL - 2013)
A função inversa para f(x) = 2 – 6x é equivalente a:
a) f–1(x) = 6 / 2 – x
b) f–1(x) = – (2 – x / 6)
c) f–1(x) = 2 – x / 6
d) f–1(x) = –x/6
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GEOMETRIA PLANA
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, 
PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES
PONTO, RETA E PLANO
São elementos básicos da geometria, servem de base para tudo o que trata a geometria.
Ponto é uma posição no espaço, que não possui comprimento, área ou volume.
Reta é a união de vários pontos que formam uma linha infinita.
Plano é a união de infinitas retas, sem espaço entre elas, formando uma superfície plana sem 
curvas.
PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE
Paralelismo e perpendicularidade são posições relativas entre retas.
Duas ou mais retas são paralelas quando estão no mesmo plano, não possuem pontos em 
comum e todos os pontos de cada reta mantêm a mesma distância para os pontos das outras 
retas.
Duas retas são perpendiculares quando no ponto em que elas se cruzam o ângulo formado 
entre elas é de 90°.
Quando as retas se cruzam em um ponto, mas o ângulo formado entre as retas não é de 90°, 
são chamadas de concorrentes ou transversais.
TEOREMA DE TALES
O Teorema de Tales, aplicado na geometria, diz que o cruzamento de retas paralelas com retas 
transversais forma segmentos proporcionais.
Obs.: Esse teorema é muito importante, pois com ele pode-se calcular (ou determinar) as 
semelhanças de figuras geométricas.
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES 3
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NA PRÁTICA
1. (COPESE-UFPI - 2022)
Paulo marcou três pontos em uma folha de papel, de forma que eles não estavam todos con-
tidos em uma mesma reta, ou seja, eram não colineares. Em seguida, Paulo pediu a André 
que traçasse todas as retas que fossem equidistantes aos três pontos. A quantidade de retas 
que André traçou foi:
a) 1 reta
b) 2 retas
c) 3 retas
d) 4 retas
e) Não é possível traçar uma reta equidistante aos três pontos.
2. (OBJETIVA - 2021)
Considerando-se que as retas r, s e t são paralelas, assinalar a alternativa que apresenta o valor 
de x que satisfaz a figura abaixo:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
3. (FUNDATEC - 2021)
Na figura a seguir, temos que a ∕∕ b ∕∕ c e as medidas são dadas em unidades de comprimento. 
Com os dados informados, qual o valor de x?
a) 40.
b) 60.
c) 80.
d) 100.
e) 120.
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4. (Instituto Consulplan - 2021)
Sobre um rio de margens paralelas foi construída uma ponte PA, cujo comprimento é 32 
metros. Devido a problemas estruturais nessa ponte, foi necessário construir uma segunda 
ponte PB, conforme a figura:
Levando em consideração que o problema em PA foi identificado a 8 metros, medidos ao 
longo da ponte e que o ponto correspondente na outra ponte está a 10 metros, qual será o 
comprimento da ponte PB sobre esse rio?
a) 34 m
b) 36 m
c) 38 m
d) 40 m
5. (FGV - 2021)
Considere a figura:
Sabe-se que a razão a/b é igual a 3/2.
A razão x/y é igual a
a) 3/2.
b) 2/3.
c) 2/5.
d) 3/5.
e) 5/3.
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES 5
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6. (VUNESP - 2020)
A figura a seguir é uma representação aproximada da região de Ilhabela em que as ruas Prof. 
Malaquias e Rondônia se encontram na Rio Grande do Sul:
Considerando que na representação aproximada a Rua Maranhão e a Rua Pará são paralelas, 
o trecho da Rua Rondônia entre elas medirá
a) 88 m.
b) 106 m.
c) 248 m.
d) 290 m.
e) 346 m.
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GEOMETRIA PLANA
2
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ÂNGULOS - CONCEITOS, DEFINIÇÕES E CÁLCULOS
ÂNGULOS
Ângulo é a área entre duas semirretas com a mesma origem (vértice).
Os ângulos são medidos em graus (°) ou radianos (rad).
RELAÇÃO ENTRE GRAU E RADIANO
360° = 2π rad
180° = π rad
90° = π/2 rad
60° = π/3 rad
45° = π/4 rad
30° = π/6 rad
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Nulos (iguais a 0°)
Agudos (menores que 90°)
Retos (iguais a 90°)
Obtusos (maiores que 90°)
Rasos (iguais a 180°)
Côncavos (maiores que 180° e menores que 360°)
Inteiro ou completo (iguais a 360°).
Ângulos complementares: a soma de dois ângulos dá 90°.
Ângulos suplementares: a soma de dois ângulos dá 180°.
Ângulos replementares: a soma de dois ângulos dá 360°.
ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS E TRANSVERSAIS
Ângulos opostos pelo vértice – AOPV (ângulos iguais):
Ângulos correspondentes (ângulos iguais):
Ângulos alternos internos (ângulos iguais):
Ângulos alternos externos (ângulos iguais):
Ângulos colaterais internos (ângulos suplementares):
Ângulos colaterais externos (ângulos suplementares):
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ÂNGULOS - CONCEITOS, DEFINIÇÕES E CÁLCULOS 3
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NA PRÁTICA
1. (Avança SP - 2022)
Considere as retas paralelas cortadas por uma transversal abaixo:
Os valores de x e y, respectivamente, são:
a) 20º e 72º
b) 12º e 60º
c) 52º e 20º
d) 72º e 20º
e) 60º e 52º.
2. (MetroCapital Soluções - 2022)
A figura abaixo representa os ângulos formados por duas retas m e n paralelas cortadas por 
uma reta transversal t.
Os valores de a e b são, respectivamente:
a) 5º e 42º
b) 30º e 42º
c) 15º e 12º
d) 42º e 30º
e) 18º e 5º
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4
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3. (UNIOESTE - 2022)
Um ângulo α é suplementar a um ângulo de 160º e complementar a um ângulo β. Então, a 
medida do ângulo β é de:
a) 20°.
b) 70°.
c) 37°.
d) 67°.
e) 58°.
4. (Avança SP - 2022)
Sobre ângulos, assinale aquilo que for correto.
a) É chamado de raso o ângulo que possui medida igual a 90°
b) É chamado de reto o ângulo que possui medida igual 180°
c) Dois ângulos são complementares quando a sua soma for igual a 360º°
d) Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 180º
e) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida for menor do que 90º
5. (Fenaz do Pará - 2022)
Três semi-retas partem de um mesmo ponto P, formando três ângulos que envolvem todo o 
plano e são proporcionais aos números 11, 12, e 13. O suplemento do menor dos três núme-
ros é:
a) 60º.
b) 75º.
c) 65º.
d) 68º.
e) 70º.
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TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO, SEMELHANÇA, SOMA DOS ÂNGULOS
TRIÂNGULOS
CONCEITO, ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Triângulo é o polígono com 3 lados, 3 ângulos e 3 vértices.
Obs.1: o triângulo tem também uma base e uma altura.
Obs.2: condição de existência de um triangulo: qualquer lado é maior que a diferença dos 
outros dois e menor do que a soma dos outros dois.
De acordo com OS LADOS, o triângulo pode ser classificado em:
 » escaleno (todos os lados diferentes)
 » isósceles (2 lados iguais)
 » equilátero (os 3 lados iguais).
De acordo com OS ÂNGULOS, o triângulo pode ser classificado em:
 » acutângulo (os 3 ângulos agudos – menores que 90°)
 » retângulo (um ângulo de 90°)
 » obtusângulo (um ângulo maior que 90°).
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
A soma dos ângulos do triângulo é 180°.
Si = 180°
CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois ou mais triângulos são congruentes quando são iguais, tanto os lados como os ângulos.
Dois ou mais triângulos são semelhantes quando seus lados são proporcionais.
Os casos de semelhanças de triângulos são:
 » LLL = lado, lado, lado.
 » LAL = lado, ângulo, lado.
 » ALA = ângulo, lado, ângulo.
 » LAAo = lado, ângulo, ângulo oposto.
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CLASSIFICAÇÃO, SEMELHANÇA, SOMA DOS ÂNGULOS 3
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NA PRÁTICA
1. (CESPE - 2022)
Julgue o item que se segue, relacionados a geometria plana e espacial.
Considere que um triângulo ABC tenha lados com as seguintes medidas: 3 cm, 5 cm e 7 cm. Se 
o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e tem perímetro 25 cm, então o menor lado 
do triângulo DEF é 5 cm.
(Avança SP - 2022)
Os ângulos internos de um determinado triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6. 
Considerando que a soma de todos esses ângulos seja igual a 180ᵒ, é correto afirmar que o 
maior ângulo mede:
a) 50º
b) 68º
c) 72º
d) 75º
e) 80º
2. (OMNI - 2021)
Se a figura abaixo representa um triângulo isósceles, qual é a medida (X) dos ângulos da base?
a) X = 55°
b) X = 60°
c) X = 45°
d) X = 70°
3. (FGV - 2021)
Euclides dispõe de 20 varetas cujos comprimentos, em centímetros, são, respectivamente, 
os números inteiros de 1 a 20. Ele pega as varetas de comprimentos 6 cm e 13 cm e deseja 
formar um triângulo em que essas varetas sejam dois dos lados. Entre as varetas restantes, o 
número de escolhas que Euclides tem para o terceiro lado do triângulo é
a) 18.
b) 12.
c) 11.
d) 10.
e) 9.
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4. (OMNI - 2021)
Se os triângulos ABC e DEF possuem os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes significa que:
a) Eles não são semelhantes, mas possuem lados proporcionais.
b) Eles são congruentes e não são semelhantes.
c) 1Eles são semelhantes e seus lados proporcionais
d) Nenhuma das alternativas.
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GEOMETRIA PLANA
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GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS
PERÍMETRO E ÁREA E FORMULA DE HEBRON
Área e perímetro do triângulo
Perímetro
Perímetro é a soma dos lados de um polí�gono, logo, no triângulo, é a soma dos seus 3 lados.
2p = a + b + c
Área
Área é o espaço ocupado pelo polígono no plano. 
A área do triângulo é: base “vezes” altura, “dividido” por 2.
Obs.1: no triângulo retângulo, a área pode ser calculada multiplicando um cateto pelo outro 
e dividindo o resultado da multiplicação por 2.
Obs.2: no triângulo equilátero, a área do triângulo será determinada por: A = l2√3/4. (a altura 
do triângulo equilátero também pode ser determinada por: h = l√3/2).
 
Outra forma de determinar a área de qualquer triângulo é pela fórmula de Heron:
A = √p∙(p – a)∙(p – b)∙(p – c)
Na prática
1. (UNIOESTE - 2022)
Em um triângulo equilátero de altura 9, qual a medida do seu lado?
a) 3
b) 9
c) 3√3
d) 6√3
2. (UNESPAR - 2022)
Na figura abaixo, med(AC) = 10 cm, med(BC) = 12 cm e med(DE) = 6 cm. Qual é a área do 
quadrilátero DBCE? 
a) 15
b) 20
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 3
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c) 30
d) 45
e) 60
3. (FAU - 2022)
Uma área que vai ser destinada a construção de uma praça na cidade de Marimar, tem 
forma de um triângulo equilátero, com 30 metros de comprimento cada lado. Conhecendo 
estas informações foi calculada a área total que a praça vai ocupar que é aproximadamente 
igual a: (use 31/2 = 1,732) 
a) 368,4 m2.
b) 379,5 m2. 
c) 389,7 m2.
d) 398,9 m2. 
e) 406,2 m2.
4. (FGV - 2021)
Dado um triângulo equilátero ABC, prolonga-se o lado AB, no sentido de A para B, até um 
ponto D, tal que a medida de BD seja igual à medida do lado do triângulo ABC.
A razão entre a área do triângulo ACD e a área do triângulo BCD é
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) √3
e) √2.
5. (FCC - 2019)
Os seis triângulos que aparecem na figura são equiláteros, com bases no segmento AB 
que mede 36 cm.
A soma dos perí�metros dos triângulos, em cm, é:
a) 36
b) 54
c) 72
d) 90
e) 108
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GEOMETRIA PLANA
2
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GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS
TEOREMA DE PITÁGORAS E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIANGU-
LO RETÂNGULO
TEOREMA DE PITÁGORAS 
A principal relação no triângulo retângulo é o famoso Teorema de Pitágoras que diz: a hipote-
nusa (a) ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos (b e c).
Obs.: triângulos pitagóricos famosos
cateto, cateto, hipotenusa
3, 4, 5 (e seus múltiplos)
5, 12, 13 (e seus múltiplos)
8, 15, 17 (e seus múltiplos)
Outras relações métricas no triângulo retângulo 
No triângulo retângulo existem algumas relações bem conhecidas e que ajudam a 
resolver as questões que abordam esse assunto.
Essas relações são:
a∙h = b∙c
h2 = m∙n
b2 = a∙m
c2 = a∙n
Na prática
1. (FUNDATEC - 2022)
No triângulo retângulo ABC, apresentado na imagem abaixo, temos que a medida do seg-
mento AB é igual a c, a medida do segmento BC é a, AD é igual a 3,6, a medida do segmento 
CD é 6,4 e a medida do segmento BD é igual a 4,8. Podemos dizer então que (a + c)2 é igual a:
a) 36.
b) 64.
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GEOMETRIA PLANA 3
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c) 100.
d) 144.
e) 196.
2. (Avança SP - 2022)
Deseja-se subir em um muro com 32 metros de altura. Para isso apoia-se uma escada, a 
24 metros de distância desse muro, como pode ser observado na figura abaixo.
Desse modo, a altura dessa escada, em metros, é de:
a) 28 m.
b) 30 m.
c) 40 m.
d) 45 m.
e) 56 m.
3. (CESPE - 2021)
Julgue o item a seguir, relativo à trigonometria do triângulo retângulo.
A distância entre os pontos A e B na figura seguinte é maior que 10 cm.
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4. (VUNESP - 2021)
Para ir do ponto A até o ponto D, seguindo o trajeto