matematica faculdade estacio-61

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- Resposta: \( \left[ -\cot(x) \right]_{\pi/6}^{\pi/4} = -\cot(\pi/4) - (-\cot(\pi/6)) = -1 - (-
\sqrt{3}) = \sqrt{3} + 1 \). 
 
169. Se \( f(x) = \ln(\csc(x)) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = -\csc(x)\cot(x) \). 
 
170. Encontre a solução para a equação \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) para \( \frac{4\pi}{3} 
\leq x < 2\pi \). 
 - Resposta: \( x = \frac{5\pi}{3} \). 
 
171. Qual é a solução para a equação \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \) para \( \frac{2\pi}{3} \leq x < 
\frac{5\pi}{3} \)? 
 - Resposta: \( x = \frac{2\pi}{3} \) e \( x = \frac{4\pi}{3} \). 
 
172. Se \( f(x) = \ln(\sin(3x)) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \frac{3\cos(3x)}{\sin(3x)} \). 
 
173. Calcule a integral definida \( \int_0^{\pi/3} \sec(x) \, dx \). 
 - Resposta: \( \left[ \ln|\sec(x) + \tan(x)| \right]_0^{\pi/3} = \ln|\sec(\pi/3) + \tan(\pi/3)| - 
\ln|\sec(0) + \tan(0)| = \ln|2 + \sqrt{3}| - \ln|1 + 0| = \ln(2 + \sqrt{3}) \). 
 
174. Se \( f(x) = e^{\cos(x)} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = -\sin(x) e^{\cos(x)} \). 
 
175. Encontre a solução para a equação \( \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) para \( \frac{\pi}{6} 
\leq x < \frac{\pi}{3} \). 
 - Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \). 
 
176. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^4} \)? 
 - Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4} \) que é 
indefinido. 
 
177. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos(x) \).