VETORES

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Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Física Mecânica – Prof. Tiago Moura 
 
ATENÇÃO 
 Estas são apenas NOTAS DE AULA, não substituem a leitura dos livros; 
 Este material não representa o todo tratado pelas aulas ou pela 
disciplina, mas apenas um recorte de alguns conteúdos que o professor 
julgou interessante para ter um material de consulta e uniformizar as 
notações (as notações diferem de um livro para outro e entre 
professores), sendo imprescindível a leitura dos conteúdos nos livros; 
 Aqui também não é dada nenhuma informação básica essencial que 
seja pré-requisito para compreensão desses conteúdos, todas as 
dúvidas devem ser resolvidas com discussões entre alunos e professor 
e leituras de livros e artigos. 
 
 
VETORES 
 
Grandezas escalares e grandezas vetoriais 
Basicamente, uma grandeza escalar é aquela que fica bem 
representada por um número e sua unidade, sem informação adicional. Um 
exemplo de grandeza escalar é a temperatura, pois 35 °C são 35 °C, sem que 
necessitemos informar nada além disso. No entanto, há grandezas que, além 
da magnitude e da unidade, requerem mais informações para serem bem 
determinadas, um exemplo é a velocidade. Imagine uma interceptação de uma 
aeronave que tenha violado o espaço aéreo brasileiro. Para intercepta-la, o 
piloto da Força Aérea necessita que informem a ele mais do que apenas a 
velocidade do objeto, ele precisa que lhe informem, pelo menos, a velocidade, 
a direção e o sentido do deslocamento do objeto (altitude e latitude fazem 
parte). Logo, a velocidade é uma grandeza vetorial que tem magnitude, direção 
e sentido. Assim, se soubermos a posição inicial do objeto, se soubermos, por 
exemplo, que o objeto se move a 930 km/h, na direção norte-sul e no sentido 
norte, podemos fazer a interceptação desse objeto, pois temos as informações 
mínimas sobre o seu deslocamento. 
Sendo a velocidade (assim como o torque, a força, a aceleração, etc) 
uma grandeza vetorial, a representamos analiticamente e geometricamente por 
meio de um ente matemático chamado de vetor. Um vetor é justamente isso, 
um ente matemático que possui intensidade, direção e sentido. Comecemos 
com vetores no espaço bidimensional; é mais adequado usar um plano 
cartesiano para representa-lo. Considere a seguinte representação do vetor 
 ⃗ | | . Isso significa que o vetor ⃗ tem magnitude (que chamaremos de 
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módulo) | | e direção (e logicamente o sentido) que é inferida pelo ângulo 
(observe e pense sobre a Figura 1). 
 
 
Figura 1. Representação de um vetor no plano cartesiano. 
 
Componentes de um vetor 
Um vetor é frequentemente representado pelas suas componentes. 
Haverá uma componente na direção e outra na direção , conforme Figura 2. 
 
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Figura 2. Representação das componentes do vetor ⃗ . 
 
Observe que estamos diante de um triângulo retângulo (identifique o 
triângulo retângulo na Figura 2), logo são válidas todas as relações 
trigonométricas e o teorema de Pitágoras. Por exemplo, em termos numéricos 
podemos escrever: 
 
 | | 
 
 | | 
 
 
E representar o vetor ⃗ da seguinte maneira: 
 
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 ⃗⃗ | ⃗⃗ |( ) | ⃗⃗ |( ) 
 
Os vetores e são os vetores unitários nas direções e , 
respectivamente. 
O módulo (ou magnitude, que é o mesmo que tamanho) de um vetor é 
dado por: 
 
| ⃗⃗ | √ 
 
 
Podemos ainda determinar o ângulo por qualquer uma das seguintes 
relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
Represente o vetor em termos de suas componentes: 
Solução 
Temos que | | e . Assim: 
 
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Portanto, podemos representar o vetor da seguinte maneira: 
 ⃗⃗ 
 
 
EXEMPLO 2 
Represente o vetor em termos do módulo e do ângulo , 
conforme definidos neste texto. 
Solução 
| | √ 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
Finalmente, podemos representar o vetor da seguinte forma: 
 
 ⃗⃗ 
Soma de vetores 
A soma analítica de dois (ou mais) vetores torna-se algo muito simples 
quando usamos as notações em termos dos componentes dos vetores, pois 
basta somar o componente de um vetor com os componente do outro vetor, 
e o componente de um vetor com o componente do outro. Por exemplo, se 
pretendemos somar um vetor com um vetor ⃗ , começamos escrevendo os 
vetores em termo de seus componentes cartesianos: 
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 ⃗⃗ 
 ⃗⃗ 
 
A soma será: 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ( ) 
 
EXEMPLO 3 
Considere os vetores ⃗ e ⃗⃗ . Determine o valor 
de ⃗ ⃗⃗ . 
Solução 
 
 ⃗ ⃗⃗ ( ) ( ) 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
EXEMPLO 4 
Considere os vetores ⃗ e ⃗⃗ . Determine o valor 
de ⃗ ⃗⃗ . 
Solução 
 
 ⃗ ⃗⃗ ( ( )) ( ( )) 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
Soma de vetores usando o software Octave 
Para o Octave, um vetor é uma lista de números. Podemos criar um 
vetor apenas listando os seus elementos da seguinte forma: 
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Vamos refazer o EXEMPLO 4 usando o Octave: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Embora estejamos trabalhando apenas em duas dimensões (x,y), um 
vetor pode ter qualquer número de componentes (dimensões). 
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REGRA DO PARALELOGRAMO E REGRA DO POLÍGONO 
Existem outras formas de se fazer a soma de dois vetores. Duas regras 
importantes são as regras do paralelogramo e do polígono. Para conhecer 
essas regras, assista aos seguintes vídeos: 
Regra do polígono: 
https://www.youtube.com/watch?v=hVSv5r43p5E 
 
Regra do paralelogramo: 
https://www.youtube.com/watch?v=Y-s60SFPLkg 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Seja ⃗ . Efetue as 
seguintes operações: 
 
a) ⃗ (R.: ) 
b) ⃗ (R.: 55 ) 
c) ⃗ (R.: ) 
d) ⃗ (R.: ) 
e) ⃗ (R.: ) 
 
2) Seja ⃗ . Efetue as 
seguintes operações: 
 
a) ⃗ (R.: ) 
b) ⃗ ⃗ (R.: ) 
c) ⃗ ⃗ (R.: ) 
d) ⃗ ⃗ (R.: ) 
e) ⃗ ⃗ (R.: ) 
 
3) Um móvel se deslocou da posição ( ) até a posição 
( ). Qual foi o deslocamento do móvel? E a direção? 
(R.: deslocamento: 138,85 km; direção: 4,36° a partir do eixo ) 
 
https://www.youtube.com/watch?v=hVSv5r43p5E
https://www.youtube.com/watch?v=Y-s60SFPLkg
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4) (SERWAY, 2014, p. 29) Os vetores deslocamento e ⃗ mostrados 
na figura abaixo têm módulos de . A direção do vetor é 
 . Encontre graficamente ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗ . (b) ⃗ ; (c) ⃗ e (d) 
 ⃗ . (informe todos os ângulos no sentido anti-horário a partir do 
eixo ). 
 
 
 
 
5) (SERWAY, 2014, p. 32) -do Lago B para o campo de base. 
 
6) (SERWAY, 2014, p. 32) Uma pessoa que vai fazer uma caminhada 
segue o trajeto mostrado na figura abaixo. A viag 
composta por quatro 
 deslocamento resultante da pessoa medido a partir do ponto 
de partida? 
 
 
 
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7) (SERWAY, 2014, p. 32) Um vetor tem componentes e de 
 e , respectivamente; o vetor ⃗ tem componentes 
e de e , respectivamente. Se ⃗ , 
Quais são as componentes de ? 
 
8) (SERWAY, 2014, p. 33) Uma topógrafa 
 Começando diretamente 
em oposta, ela anda d = 100 m ao 
longo da margem para estabelecer uma referência. Então, avista a 
árvore. O ângulo da referência árvore 
largura do rio? 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
FILHO, Adalberto A D. Fundamentos de cálculo numérico. Porto Alegre: 
Grupo A, 2016. E-book. ISBN 9788582603857. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603857/. Acesso em: 
04 ago. 2023. 
GEOGEBRA. Regra do Paralelogramo. Disponível em: 
https://www.geogebra.org/m/kq6br9qj. 
NUSSENZVEIG, Herch M. Curso de Física Básica. São Paulo: Editora 
Blucher, 2013. E-book. ISBN 9788521207467. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207467/. Acesso em: 
04 ago. 2023. 
SERWAY, Raymond A.; JR., John W J. Princípios de Física vol. 1. [Digite o 
Local da Editora]: Cengage Learning Brasil, 2014. E-book. ISBN 
9788522116720. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116720/. Acesso em: 
17 ago. 2023. 
https://www.geogebra.org/m/kq6br9qj