Problemas Stiff & Reação Química

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Problemas Stiff & Reação Química
Guilherme Aguiar
Análise Numérica II, 1o Semestre 2013
Guilherme Aguiar Problemas Stiff & Reação Química
Problemas Stiff
Stiff em português significa rígido, duro, inflexível.
Não existe um consenso sobre a definição matemática de
um problema stiff.
Mas podemos entender que um problema stiff é um
problema duro de resolver com métodos explícitos.
Em geral as solução tem uma estabilidade rápida.Ou seja,
ficam inflexíveis a partir de um ponto
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Exemplo de problema Stiff em uma dimensão
Vamos pegar um exemplo em uma dimensão.
Considere a equação y ′ = −50(y − cos(t)).
A equação é uma E.D.O linear de primeira ordem.
Uma solução analítica para o problema é dada por:
y(x) = c1e−50x +
50 sin(x)
2501
+
2500 cos(x)
2501
.
O gráfico da solução
Figura : Gráfico do exemplo
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Exemplo de problema Stiff em uma dimensão
Vamos resolver o problema no Matlab.
Os dois principais solvers de problemas stiff no Matlab são
“ODE15S” e “ODE23S”.
ODE15S : É um solver variável, baseado nas fórmulas de
diferenciação numérica NDFs.Utiliza várias etapas em
cada iteração.
ODE23S : É baseado na na fórmula modificada de
Rosenbrockde ordem 2.Utiliza apenas uma etapa em cada
iteração, podendo ser mais eficiente em alguns casos.
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ODE15S
Resolvendo o problema com “ODE15S” obtemos o seguinte
gráfico:
Figura : Gráfico do exemplo
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ODE23S
Resolvendo o problema com “ODE23S” obtemos o seguinte
gráfico:
Figura : Gráfico do exemplo
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Exemplo de um sistema de equações diferenciais Stiff
Como o problema que será abordado será um sistema de
equações diferenciais, vamos tratar um exemplo antes,
com um sistema de duas equações.
Considere o problema:
y ′1(t) = −100y1(t) + y2(t)
y ′2(t) = −0.1y2(t)
y(0) = 2.
(1)
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Exemplo de um sistema de equações diferenciais Stiff
Figura : Gráfico do exemplo
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Robertson Problem
O sistema de equações abaixo descreve como ocorre uma
reação química.
y ′1(t) = −0.04y1 +104y2y3 y1(0) = 1
y ′2(t) = 0.04y1 −104y2y3 −3 × 107y22 y2(0) = 0
y ′3(t) = 3 × 107y22 y3(0) = 0.
(2)
É um problema clássico da análise numérica.
Sua solução foi proposta em 1966 por H.H. Robertson.
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Robertson Problem
No Matlab há códigos que resolvem esse problemas como:
hb1dae.
hb1ode.
Ambos utlizam a função odebim para resolver o
problema.Odebim também é um solver de equações
diferenciais ordinárias, para equações de ordem máxima igual
a 3.
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HB1DAE
Figura : Gráfico resultante do comando hb1dae
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HB1ODE
Figura : Gráfico resultante do comando hb1ode
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Usando “ODE15S” e “ODE23S” vamos a algumas
análises.
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Primeiramente vamos utlizar os métodos nas configurações
padrões.
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.065 0.045
Iterações 172 72
Avaliações de função 382 435
Cálculo de derivadas parciais 10 72
Fatorações LU 51 72
Solução de Sistemas Lineares 340 216
A seguir trazemos os gráficos das soluções.Podemos obervar
que não há uma diferença visível.
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Figura : Gráfico da solução usando ode15s na configuração padrão
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Figura : Gráfico da solução usando ode23s na configuração padrão
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Agora, vamos mudar o ponto inicial e mantermos a
configuração padrão. Vamos considerar o ponto inicial
y(0) = (0.8,0.2,0).
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.080 0.065
Iterações 245 72
Avaliações de função 518 690
Cálculo de derivadas parciais 10 114
Fatorações LU 62 114
Solução de Sistemas Lineares 477 342
A seguir os gráficos.
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Figura : Gráfico da solução usando ode15s na configuração padrão
com ponto inicial (0.8,0.2,0)
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Figura : Gráfico da solução usando ode23s na configuração padrão
com ponto inical (0.8,0.2,0)
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Vamos considerar o ponto inicial y(0) = (0,1,0).
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.60 0.055
Iterações 174 89
Avaliações de função 362 538
Cálculo de derivadas parciais 5 89
Fatorações LU 44 89
Solução de Sistemas Lineares 340 267
A seguir os gráficos.
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Figura : Gráfico da solução usando ode15s na configuração padrão
com ponto inicial (0,1,0)
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Figura : Gráfico da solução usando ode23s na configuração padrão
com ponto inical (0,1,0)
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Agora, vamos alterar a tolerância relativa para 10−6, a mesma
que a absoluta.
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.09 0.075
Iterações 279 172
Avaliações de função 563 1041
Cálculo de derivadas parciais 10 172
Fatorações LU 61 175
Solução de Sistemas Lineares 521 525
A seguir os gráficos.
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Figura : Gráfico da solução usando ode15s com a tolerância relativa
alterada
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Figura : Gráfico da solução usando ode23s com a tolerância relativa
alterada
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Agora, vamos manter a tolerância relativa em 10−6 e alterar a
tolerância absoluta para 10−12
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.165 1.5000
Iterações 550 3614
Avaliações de função 1048 22212
Cálculo de derivadas parciais 7 3614
Fatorações LU 96 3876
Solução de Sistemas Lineares 1081 11628
Os gráficos apresentaram os mesmos comportamento dos
demais.
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Agora, vamos usar a tolerância relativa em seu padrão 10−3 e
amanter a tolerância absoluta em 10−12.
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.065 0.095
Iterações 215 204
Avaliações de função 438 1228
Cálculo de derivadas parciais 6 204
Fatorações LU 51 204
Solução de Sistemas Lineares 412 612
Os gráficos apresentaram os mesmos comportamento dos
demais.
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Vamos,então manter a tolerância relativa no padrão e alterar a
tolerância absoluta para 10−4
ode15s ode23s
Tempo Médio (s) 0.050 0.045
Iterações 134 352
Avaliações de função 320 352
Cálculo de derivadas parciais 12 58
Fatorações LU 43 58
Solução de Sistemas Lineares 269 174
Agora, os gráficos tiveram alteração.
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Figura : Gráfico da solução usando ode15s com a tolerância
absoluta alterada
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Figura : Gráfico da solução usando ode23s com a tolerância
absoluta alterada
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Há outros dois solvers para problemas stiffs, também da família
ode23.São:
ode23t : Deve ser usado quando a "queda"ocorre sem
amortecimento.Para o problema ele não apresentou um
bom desempenho.Utiliza a regra dos trapézios.
ode23tb : Deve ser usado quando precisa uma tolerância
pequena.O desempenho foi muito próximo ao
desempenho do ode23s(esse desempenho próximo é
confirmado pela literatura).É uma implementação do
método TR-BDF2.O método trabalha em duas etapas em
cada iteração, a primeira baseada nas regra dos trapézios,
a segunda é uma regra regressiva de diferenciação.Em
ambos as etapas é utilizado a mesma matriz de iteração.
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O problema resolvido com o ode23t:
Figura : Gráfico gerado ode23t
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O problema resolvido com o ode23tb:
Figura : Gráfico gerado ode23tb
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Bibliografia
C. B. Moler.
Numerical Computing with MATLAB.
SIAM, Philadelphia, 2004.
U. M. Ascher & L. R. Petzold.
Computer Metholds for Ordinary Differential Equations and
Differential-Algebraic Equations.
SIAM, Philadelphia, 1998.
E. Hairer & G. Wanner.
Solving Ordinary Differential Equations II. Second Revised
Edition.
Springer, Berlim, 1996.
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