Purificação do Tolueno com Ácido Benzoico

Prévia do material em texto

Módulo 2
Purificação do Tolueno contendo Ácido Benzóico
(regime transiente).
EQ502 – Introdução à Análise de Processos
1o Semestre de 2006
O exemplo do módulo 2 refere-se ao regime transiente do problema do
módulo 1.
Imaginemos a seguinte situação:
Uma indústria qúımica deseja purificar tolueno contaminado com ácido
benzóico, conforme o exemplo da aula anterior. O ińıcio do processo é a
preparação do sistema para a partida da operação cont́ınua. Esta etapa
ocorre através da adição de um volume V1 de tolueno conhecido no tanque
de separação. Após isto, adiciona-se um volume V2 de água.
Após o volume V2 de água ser atingido, o sistema é agitado vigoro-
samente e inicia-se a adição de uma corrente R [m3 de tolueno/s] a uma
concentração c [kg de ácido benzóico/m3 de tolueno] e uma corrente de S
[m3 de água/s], isenta de ácido benzóico. Uma corrente R[m3/s] de tolueno
deixa o sistema com uma concentração x [kg ácido benzóico/m3 de tolueno],
que varia com o tempo, e uma corrente S (m3 de água/s) com uma concen-
tração y [kg ácido benzóico/m3] de água) também sai do sistema. Pede-se
para determinar a variação das concentrações x e y em função do tempo e
analisar o resultado obtido.
Resolução:
A solução do problema propriamente dito se inicia a partir do momento
em que o volume V2 da água foi completado. A partir deste momento
uma agitação vigorosa é iniciada. No instante inicial tem-se então uma
concentração x0 para a fase orgânica e uma concentração y0 para a fase
aquosa, que podem ser obtidas por um balanço de massa. A Figura 1 mostra
os dois estados deste processo transiente.
Nas duas situações, a quantidades de ácido permanece a mesma. A
seguinte relação pode então ser obtida através de um balanço de massa:
• Quantidade de ácido no Estado 1:
m1 = V1(m3 tolueno).c
[
kg ácido benzóico
m3 tolueno
]
= V1.c [kg ácido benzóico]
(1)
1
(a) Estado 1: tanque com tolueno. (b) Estado 2: tanque com tolueno e água.
Figura 1: Estado inicial do processo transiente de extração de ácido
benzóico.
• Quantidade de ácido no Estado 2:
m2 = V1(m3 tolueno).x0
[
kg ácido benzóico
m3 tolueno
]
+ V2[m3 água].y0
[
kg ácido benzóico
m3 água
]
⇒
⇒ ou m2 = V1.x0 + V2.y0 [kg ácido benzóico]
(2)
Como as quantidades são iguais:
V1.c = V1.x0 + V2.y0 (3)
Lembrando ainda da Lei de Henry do módulo 1 (y=m.x), tem-se que y0=m.x0.
Portanto:
x0 =
V1.c
V1 + m.V2
e y0 =
m.V1.c
V1 + m.V2
(4)
Os valores x0 e y0 são condições iniciais da resolução do nosso problema.
Após esta condição inicial iniciam-se as correntes R e S.
A partir de então estuda-se a operação cont́ınua do tanque extrator,
através de um outro equacionamento referente a esta etapa.
O esquema do processo pode ser dado pela Figura 2.
Figura 2: Esquema representativo da extração do ácido benzóico do tolueno.
2
Um balanço de massa, como o próprio nome sugere, sempre envolve uma
quantidade de massa. No caso do balanço de massa em regime transiente,
é necessário que um intervalo de tempo seja escolhido para poder avaliar as
quantidades de massa envolvidas no balanço. Isto é necessário porque em
qualquer instante de tempo isolado, a quantidade de massa que escoa nas
correntes R e S é nula. Um detalhe muito importante é que o intervalo de
tempo tem que ser muito bem escolhido. Para se encontrar os valores das
incógnitas dos balanços, é necessário que as quantidades nos instantes inicial
e final deste intervalo de tempo possam ser relacionadas por alguma relação
matemática. Caso contrário, o número de incógnitas será maior do que o
número de equações.
Com o intuito de esclarecer o o que foi mencionado, define-se que x0
e y0 são os valores das concentrações x e y no instante inicial de nosso
intervalo (θ) e xf e yf as concentrações no instante final de nosso intervalo
(θ + δθ). Neste caso existem quatro variáveis a serem determinadas, ou
seja, x0, y0, xf e yf . Entretanto, determinam-se apenas duas equações
para se avaliar estas quantidades que são o balanço de massa e a relação
de equiĺıbrio termodinâmico. Fica claro que será necessário resgatar da
matemática alguma relação que possa relacionar x0 com xf e y0 com yf .
Pergunta: Conseguem se lembrar de algum teorema matemático que
possa relacionar estas variáveis, nem que seja sob condições especiais? Caso
lembrem, quais são as condições nas quais esta relação pode ser usada?
Pensem um pouco antes de virarem a página e lerem a resposta.
3
Se você pensou no teorema de Taylor, você acertou! Ao se escolher um
intervalo de tempo δθ bem pequeno, a seguinte relação será válida:
f(θ + δθ) = f(θ) +
∂f
∂θ
(δθ) +
∂2f
∂θ2
(δθ)2
2!
+
∂3f
∂θ3
(δθ)3
3!
+ . . . (5)
Notaram que o valor da função f em θ+δθ foi relacionada com valores da
função f e suas derivadas no instante θ? É exatamente isso que se procurava
para relacionar as variáveis. Assim sendo as variáveis de interesse são:
Quantidade de água que entra em θ S [m3 água/h]
Quantidade de tolueno que entra em θ R [m3 tolueno/h]
Quantidade de água que entra em θ + δθ S [m3 água/h]
Quantidade de tolueno que entra em θ + δθ R [m3 tolueno/h]
Concentração de ácido benzóico no tolueno x [kg ácido benzóico/m3 tolueno]
Concentração de ácido benzóico na água y [kg ácido benzóico/m3 água]
Concentração de ácido benzóico na corrente de entrada c [kg ácido benzóico/m3 tolueno]
Mais uma vez aplica-se a equação geral do balanço para estudar o sis-
tema, ou seja:
ENTRADA− SAÍDA + GERAÇÃO = ACÚMULO (6)
Resta então avaliar as quantidade envolvidas nos termos do balanço.
Algumas hipóteses são feitas:
1. A agitação é vigorosa e o equiĺıbrio entre as fases é obtido instantane-
amente, caso contrário as concentrações dependeriam de sua posição
dentro do extrator;
2. As vazões de tolueno R e água S são constantes e são completamente
imisćıveis entre si;
3. O termo de geração é igual a zero. Tal fato deve-se a inexistência de
transformações qúımicas dentro do sistema;
4. A densidade das fases permanece constante, igual a do componente
puro. Isto significa que o ácido benzóico tem uma pequena parti-
cipação na densidade de cada fase, participação esta que pode ser
desprezada;
5. O equiĺıbrio de fases pode ser descrito pela Lei de Henry, com o coefi-
ciente de distribuição valendo 1/8.
A solução deverá ser feita em um intervalo de tempo arbitrário (δθ)
que, entretanto, não pode incluir nem o instante inicial (que corresponde a
condição inicial do problema), nem um tempo infinito, que é um caso limite
da nossa solução.
O balanço de massa deverá ser feito em um intervalo de tempo δθ pe-
queno, onde a aproximaçào da função por série de Taylor seja válida. As
quantidades de massa envolvidas entre o intervalo de tempo θ e θ + δθ são:
4
ENTRADA: A entrada de ácido benzóico ocorre somente através da cor-
rente de tolueno, uma vez que a água está isenta do ácido.
A quantidade de ácido benzóico que entra no intervalo entre δθ, con-
siderando as variáveis R e c constantes com o tempo é:
R
[
m3 tolueno
s
]
.c
[
kg ácido benzóico
m3 tolueno
]
.δθ [s] = R.c. δθ [kg ácido benzóico]
(7)
SAÍDA: A quantidade de ácido benzóico que sai no intervalo entre θ e
θ + δθ na corrente orgânica é calculada da seguinte maneira:
Em θ, a concentração de ácido benzóico no tolueno é x = x |θ ;
Em θ + δθ, a concentração de ácido benzóico no tolueno é x = x |θ+δθ .
A quantidade total de ácido que deixa o sistema através da corrente
orgânica é dada por:
∫ θ+δθ
θ
R x dθ (8)
Apesar de não ser posśıvel ainda resolver esta integral, visto não se
saber como a concentração x varia com o tempo, seria muito interes-
sante relacionar a concentração x no instante θ, com a concentração x
no instante θ + δθ. Como que isso poderia ser feito isso?
Ao se utilizar um intervalo dotipo δθ bem pequeno, pode-se aplicar
novamente o teorema de Taylor. Graficamente, a integral acima, que
fornece a quantidade de sal que entra (ou sai) da corrente R é esque-
matizada na Figura 3:
Figura 3: Representação da vazão de sáıda de ácido benzóico com o tempo,
cuja integral representa a sáıda no intervalo δθ.
Apesar de não se saber como R.x varia com o tempo, se um intervalo
de tempo δθ bem pequeno for considerado, pode-se considerar esta
5
variação como sendo linear. Isto tanto mais é verdade quanto menor
o intervalo de tempo em questão.
Desta forma a área é aproximada por um trapézio e o esquema de
aproximação é mostrado na Figura 4:
Figura 4: Esquema representativo da extração do ácido benzóico do tolueno.
Sendo assim a área é dada por:
ÁREA =
[
R.
(
x + dxdθ .δθ +
d2x
dθ2
. δθ
2
2 + ...
)
+ R.x
]
. δθ2 ⇒
⇒ ÁREA = R.
(
x + dxdθ .
δθ
2 +
d2x
dθ2
. δθ
2
4 + ...
)
.δθ
(9)
Pergunta: Note qual é o valor da integral da Equação 8 se um valor
médio constante para a concentração x̄ = (x|θ )+(x|θ+δθ )2 for utilizado.
Explique o resultado.
SAÍDA Analogamente a quantidade de ácido que sai na fase aquosa é dada
por:
S.
(
y +
dy
dθ
.
δθ
2
+
d2y
dθ2
.
δθ2
4
+ ...
)
.δθ
GERAÇÃO: - Nào ocorre geração de ácido benzóico no sistema.
ACÚMULO: O acúmulo é dado pela variação da quantidade de ácido
dentro de cada fase do misturador, no intervalo de tempo θ e θ + δθ.
As quantidade de ácido em θ e θ + δθ são dadas por:
tempo θ: • Fase orgânica:
V1(m3 tolueno).x
[
kg ácido benzóico
m3 tolueno
]
= V1.x [kg ácido benzóico]
(10)
• Fase Aquosa:
V2[m3 água].y
[
kg ácido benzóico
m3 água
]
= V2.y [kg ácido benzóico]
(11)
6
tempo θ + δθ: • Fase orgânica:
V1.
[
x +
dx
dθ
.δθ +
d2x
dθ2
.
δθ2
2
+ .....
]
[kg ácido benzóico]
(12)
• Fase Aquosa:
V2.
(
y +
dy
dθ
.δθ +
d2y
dθ2
.
δθ2
2
+ .....
)
[kg ácido benzóico]
(13)
O acúmulo então é dado pela diferença entre a quantidade de ácido
dentro do tanque nos tempos θ + δθ e θ.
[
V2.
(
y +
dy
dθ
.δθ +
d2y
dθ2
.
δθ2
2
+ .....
)
− V2.y
]
+
[
V1.
(
x +
dx
dθ
.δθ +
d2x
dθ2
.
δθ2
2
+ .....
)
− V1.x
]
(14)
Que se reduz a:
[
V2.
(
dy
dθ
+
d2y
dθ2
.
δθ
2
+ .....
)
.δθ
]
+
[
V1.
(
dx
dθ
+
d2x
dθ2
.
δθ
2
+ .....
)
.δθ
]
(15)
Substituindo estas parcelas na equação global do balanço e lembrando-se
que a geração é nula, tem-se que:
ENTRADA − SAÍDA = ACÚMULO (16)
Ou seja:
R.c.δθ −
[
R.
(
x + dxdθ .
δθ
2 +
dx
dθ .
δθ2
4 + ...
)
.δθ + S.
(
y + dydθ .
δθ
2 +
dy
dθ .
δθ2
4 + ...
)
.δθ
]
=
[
V2.
(
dy
dθ +
d2y
dθ2
. δθ2 + .....
)
.δθ
]
+
[
V1.
(
dx
dθ +
d2x
dθ2
. δθ2 + .....
)
.δθ
]
(17)
Dividindo por δθ:
R.c−
[
R.
(
x + dxdθ .
δθ
2 +
dx
dθ .
δθ2
4 + ...
)
+ S.
(
y + dydθ .
δθ
2 +
dy
dθ .
δθ2
4 + ...
)]
=
[
V2.
(
dy
dθ +
d2y
dθ2
. δθ2 + .....
)]
+
[
V1.
(
dx
dθ +
d2x
dθ2
. δθ2 + .....
)]
(18)
A equação acima é válida para um valor δθ pequeno, inclusive para um valor
de δθ →0. Neste caso:
R.c−R.x− S.y = V2.dy
dθ
+ V1.
dx
dθ
(19)
Esta é a equação diferencial final que vale para qualquer instante de
tempo do intervalo δθ, inclusive para os instantes iniciais e finais do processo.
Repare que os termos de 2a ordem e acima forma eliminados ao se aplicar
o limite de δθ →0. Portanto, daqui por diante, apenas o primeiro termo da
derivada da equação no Teorema de Taylor será considerado, visto que os
outros termos são cancelados.
7
Da relação de equiĺıbrio y=m.x tem-se que dy=m.dx. Portanto:
R.c−R.x− S.m.x = V2.m.dx
dθ
+ V1.
dx
dθ
(20)
Ou
R.c− x. (R + S.m) = dx
dθ
. (V1 + m.V2) (21)
A solução da equação acima será apresentada a seguir de duas maneiras
diferentes:
1. A equação diferencial pode ser resolvida por uma equação diferencial
ordinária separável, chamando:
z = R.c− x. (R + S.m) ⇒ dz = −dx. (R + S.m) (22)
Ou
dx = − dz
R + S.m
(23)
Obtém-se então que:
z = −dz
dθ
.
(V1 + m.V2)
(R + S.m)
(24)
Ou
dz
z
= −dθ. (R + S.m)
(V1 + m.V2)
(25)
Se a derivada for como a que segue:
dy
dx
= f (x, y) =
h(x)
g(y)
(26)
Então:
h (x) .dx = g (y) .dy (27)
Portanto: ∫
h (x) .dx =
∫
g (y) .dy = c = constante (28)
Integrando a equação acima deve-se chegar a:
ln |R.c− (R + m.S) .x|+ ln k = − R + m.S
V1 + m.V2
.θ (29)
ln {k. |R.c− (R + m.S) .x|} = − R + m.S
V1 + m.V2
.θ (30)
Logo:
k. |R.c− (R + m.S) .x| = exp
[
− R + m.S
V1 + m.V2
.θ
]
(31)
k , que é uma constante de integração, deverá ser determinada pela
condição inicial do problema, ou seja, quando θ=0:
x0 =
V1.c
V1 + m.V2
(32)
Substituindo o valor de k encontrado na equação e isolando x, encontra-
se a resposta do problema.
8
2. A equação diferencial pode também ser resolvida por fator de inte-
gração:
R.c− x. (R + S.m) = dx
dθ
. (V1 + m.V2) (33)
dx
dθ
+ x.
(R + S.m)
(V1 + m.V2)
=
R.c
(V1 + m.V2)
(34)
Sendo a equação é do tipo:
dy
dx
+ P (x) .y = Q (x) (35)
Esta equação é resolvida utilizando-se um fator de integração e com-
preende os seguintes passos:
(a) Determina-se o fator de integração:
R (x) = exp
[∫
P (x) .dx
]
(36)
(b) Multiplica-se todos os termos da equação diferencial pelo fator
de integração:
R (x) .
dy
dx
+ P (x) .y.R (x) =
d
dx
[R (x) .y] = Q (x) .R (x) (37)
Integrando obtém-se que:
R (x) .y =
∫
Q (x) .R (x) dx + c (38)
(c) Isolando y:
y =
∫
Q (x) .R (x) dx
R (x)
+
c
R (x)
(39)
Utilizando agora este processo de resolução para a a equação do modelo
tem-se que:
(a) O fator de integração é:
R (θ) = exp
[∫
R + m.S
V1 + m.V2
dθ
]
= exp
[
R + m.S
V1 + m.V2
θ
]
(40)
(b) Portanto:
x. exp
[
(R + m.S) .θ
(V1 + m.V2)
]
=
∫
R.c
(V1 + m.V2)
. exp
[
(R + m.S) .θ
(V1 + m.V2)
]
.dθ+C
(41)
9
(c) Obtém-se então x:
x =
∫ R.c
(V1+m.V2)
. exp
[
(R+m.S).θ
(V1+m.V2)
]
.dθ
exp
[
(R+m.S).θ
(V1+m.V2)
] + C
exp
[
(R+m.S).θ
(V1+m.V2)
] (42)
x =
R.c
R + m.S
+ C. exp
[
−(R + m.S) .θ
V1 + m.V2
]
(43)
Com a condição inicial, para θ=0:
x = x0 =
V1.c
V1 + m.V2
(44)
Ambas as equações são iguais. Ao se substituir a condição inicial em ambos
os casos:
x =
R.c
R + m.S
−
(
R.c
R + m.S
− V1.c
V1 + m.V2
)
. exp
[
−(R + m.S) .θ
V1 + m.V2
]
(45)
Repare que quando θ →∞, obtém-se:
x =
R.c
R + m.S
(46)
Esta é a resposta do exerćıcio do Módulo 1, com a concentração em regime
permanente, como era de se esperar. Observa-se ainda que a condição inicial
foi satisfeita, portanto:
Para θ = 0 ⇒ x = V1.c
V1 + m.V2
(47)
Aprendemos nesta aula que o Teorema de Taylor será de muita valia para
resolver as equações diferenciais obtidas em nossos modelos.
10