Calculo elementar - A1

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Atividade Individual Avaliativa 
 
 
Disciplina: Cálculo Elementar 
 
 
Professor: Eduardo Lenho 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2021 
Questão 1) 
 
Texto introdutório para a leitura 
 
Há muitas aplicações importantes na física e nas engenharias para as funções lineares e 
quadráticas. Por exemplo, a função que representa a energia dissipada, para uma corrente 
que atravessa um resistor de um chuveiro elétrico (𝐸 = 𝑅𝑖), é uma função linear e podemos 
estudar o movimento de um corpo em queda livre próximo da superfície resolvendo a 
equação de movimento que é uma função do segundo grau. 
 
Faça uma pesquisa sobre FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (funções lineares, quadráticas 
e exponenciais) e comente sobre as suas aplicações na Física/Engenharia em uma área 
que seja do seu interesse. Cite duas aplicações nas engenharias. 
 
Resposta 
 
Funções Lineares 
 
Sobre 
 
É uma função de primeira ordem com certas características, deve ser um número real e é expressa de forma 
genérica como f(x)= a.x, sendo que a é um número real e diferente de 0 e sua lei de formação é do tipo f(x) 
= a.x + b e que b deve pertencer a um conjunto real. 
 
O valor a que acompanha a variável x na função é denominado de coeficiente angular. É o coeficiente que 
determina a direção do gráfico na função. Se for negativo, o gráfico da função está diminuindo, caso contrário, 
estará aumentando. 
 
O gráfico no plano cartesiano dessa função é formada por uma reta, em que a inclinação da reta é dada pelo 
valor do coeficiente a. 
 
Quando a < 0, o gráfico da função é decrescente; 
Quando a > 0, o gráfico da função é crescente. 
 
Caso a for igual a 0 temos uma função identidade. Em que a função de x é igual a multiplicação do coeficiente 
angular e a variável independente f(x) = a.x. 
 
Aplicações 
 
As funções lineares possuem diversas aplicações, em situações que 
apresentam crescimento ou decrescimento linear. 
 
Exemplo: Na fisica, temos o movimento retilíneo uniforme (MRU). 
 
Em linha reta e no mesmo ritmo. Corpos se movem linearmente a uma velocidade constante em um 
trajetória de reta. 
Na função horária da posição, é dada pela expressão S(t) = S0 + V .T , onde; 
S0 é posição inicial, no instante t = 0; 
V é a velocidade de deslocamento; 
T é o tempo do deslocamento. 
 
E que essa expressão é uma função do primeiro grau. Onde, S0 é o seu coeficiente linear e velocidade V 
e o coeficiente angular da reta ou inclinação da reta. 
Já sabemos que o MRU é uma função linear, então seu gráfico sempre será uma reta. 
Veja a ilustração abaixo: 
 
 
 
Funções Quadráticas 
 
Sobre 
 
É uma função de segunda ordem em que é estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, 
Onde a, b e c são números reais e a diferente 0. 
 
Temos a função quadrática completa e imcompleta. Já vimos que a completa e dada por f(x) = ax² + bx + 
c , já a incompleta é dada por f(x) = ax² + bx, onde o coeficiente c sera zero. 
 
Veja outros exemplos: 
 
f(x) = 3x² + 8, onde a = 3, b = 0 e c = 8 
f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0 
 
O grafico dessa função é formada por uma parabola de acordo com o valor do coeficiente a. 
 
a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima 
a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo. 
 
 
Para as raízes e vértice , esta relacionada a concavidade da parábola. A raiz o gráfico interceptará o eixo 
x em que pode ser calcula pela formula de Bháskara e o vertice o ponto de máximo e mínimo. 
 
Aplicações 
 
Exemplo: Na fisíca , temos o movimentos uniformemente variados (MUV), 
 
Devido à aceleração, os corpos variam a velocidade e o espaço em função do tempo e é denominada 
função quadrática que fornece o espaço (s) em função do tempo (t). 
No MUV, é dada pela expressão S(t) = S0 + V0T + (AT2/2) , onde; 
S: espaço; 
A: aceleração; 
V: velocidade; 
T: tempo. 
 
Análise do gráfico de MUV 
 
 
Parábola de concavidade voltada para baixo, então aceleração A < 0; 
Em T = 0 o móvel está na posição S0; 
Do instante T = 0 até t=t1 (0 ≤ t < t1) temos um movimento 
progressivo , ou seja, no mesmo sentido da orientação e , 
portanto, V > 0 então (v>0 e a <0 movimento retardado); 
Em t=t1 o móvel atinge a posição S e muda de sentido, logo 
neste instante V=0; 
Para t1 < t ≤ t2 o móvel anda no sentido retrógrado, pois a 
posição decresce com o tempo V < 0 então ( v<0 e a <0 
movimento acelerado) 
Em t=t2 o móvel está passando pela origem do espaço S = 0. 
 
 
Parábola de concavidade voltada para cima, então 
aceleração A > 0; 
Em T = 0 o móvel está na posição S0; 
Em t= t1 o móvel passa pela posição S = 0; 
Entre o instante T = 0 e t2 (0≤ t < t2) temos um movimento 
retrógrado, ou seja, sentido contrário a orientação da 
trajetória e, portanto, V < 0, então (v<0 e a>0 movimento 
retardo); 
Em t=t2 o móvel muda de sentido e passa a ter um 
movimento progressivo; 
Para t> t2 o móvel é acelerado, pois a >0 e v >0 (sentido 
positivo); 
Em t=t3 o móvel passa novamente na origem, posição, S 
= 0. 
 
 
 
 
Questão 2) 
 
Nesta questão, você resolverá um problema aplicado para entender o comportamento de uma 
função e obter a equação da reta que representa a função 
 
Três indutores (I, II e III) foram construídos através do mesmo processo de fabricação, 
porém empregaram-se materiais com propriedades magnéticas distintas no núcleo de 
cada um deles. No gráfico abaixo, são apresentadas as regiões lineares das curvas 
características de cada núcleo. Nos eixos são representados o fluxo de energia no indutor 
(fluxo concatenado, em unidades de Volt. segundo) e a corrente em Ampere (A). Resolva 
as questões a seguir sobre o gráfico da função. 
 
Fonte: ENADE 
 
 
a) Escreva a equação da reta que representa o fluxo de energia para cada uma das 
retas I, II e III 
 
Resposta 
 
𝑅𝑒𝑡𝑎: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
Reta 1. 
 
x y 
-2 -0,2 
2 0,2 
 
{ 
− 0,2 = 𝑎. (−2) + 𝑏 
0,2 = 𝑎. (2) + 𝑏 
 
 
 
 
 
 
x-1 
 
𝑏 = 2𝑎 − 0,2 
𝑏 = 2. 0,1 − 0,2 
𝒃 = 𝟎 
 
0,2 = 2𝑎 
+ { 
0,2 = 2𝑎 
0,4 = 4𝑎 
𝑎 = 
0,4 
= 𝟎, 𝟏 
4 
 
Reta 1: y = 0,1x 
 
 
Reta 2. 
 
x y 
-2 -0,10 
2 0,20 
 
{ 
−0,10 = 𝑎. (−2) − 𝑏 
0,20 = 𝑎. (2) − 𝑏 
 
 
 
 
x-1 
−0,10 = −2.0,075 − 𝑏 
𝑏 = −0,10 − 0,15 
𝑏 = −0,25 
 
 
 
𝑎 = 
0,30 
4 
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟓 
 
 
Reta 2: y = 0,075x – 0,25 
 
 
Reta 3. 
 
 
 
−0,05 = −2.0,025 − 𝑏 
𝑏 = −0,05 − 0,05 
𝒃 = − 𝟎, 𝟏 
 
−0,05 = 𝑎. (−2) − 𝑏 
{ 
0,05 = 𝑎. (2) − 𝑏 
x-1 
 
 
 
 
𝑎 = 
0,1 
4 
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 
 
Reta 3: y = 0,025x- 0,1 
{ 
0,05 = 2𝑎 + 𝑏 
0,05 = 2𝑎 − 𝑏 
{ 
0,10 = 2𝑎 + 𝑏 
0,20 = 2𝑎 − 𝑏 
− 𝑏 
+ 𝑏 
x y 
-2 -0,05 
2 0,05 
 
b) Com base no gráfico e na resposta do item anterior, qual das três retas apresenta a 
maior taxa de crescimento do fluxo de energia com a corrente? (justifique a sua resposta) 
 
Resposta 
 
É aquela que tiver o maior “a” , será a reta com maior taxa de crescimento. 
 
Reta l : Pois possui maior indutância e que a reta é mais inclinada. E o indutor com maior indutância armazena 
mais energia. 
 
 
c) Para a mesma corrente de 1,0 A, qual é o valor do fluxo de energia correspondente a cada 
reta? (justifique a sua resposta) 
 
Resposta 
 
𝑅𝑒𝑡𝑎 1: 𝑦 = 0,1𝑥 
𝑦 = 0,1 . 1 
𝑦 = 0,1 𝑉 
 
𝑅𝑒𝑡𝑎 2: 𝑦 = 0,075𝑥 − 0,25 
𝑦 = 0,075 . 1 − 0,25 
𝑦 = − 0,175 𝑉 
 
𝑅𝑒𝑡𝑎 3: 𝑦 = 0,025𝑥 − 0,1 
𝑦 = 0,025 . 1 − 0,1 
𝑦 = − 0,075 𝑉 
 
 
Questão 3) 
 
Há muitas aplicações importantes na física e nas engenharias para as funções 
quadráticas. Uma delas é a função que representa o lucro das vendas de um produto por 
uma empresa. 
 
Vamos colocar em prática os conhecimentos que você adquiriu sobre o estudo de uma 
função quadrática e análise de gráfico neste exercício? 
 
O custo de produção de um determinado artigo é dado por 𝑐(𝑥) = 3𝑥² − 12𝑥 + 21. Se a 
venda de 𝑥 unidades é dada por 𝑣(𝑥) = 2𝑥² − 6𝑥 + 16, para que o lucro 𝑙(𝑥) = 
𝑣(𝑥) − c(𝑥) . 
 
a) Determine a funçãolucro 𝑙(𝑥) e construa o seu gráfico 
 
l(x) = v(x) − c(x) 
l(x) = (2x2 − 6x + 16)– ( 3x2 − 12x + 21) 
l(x) = 2x2 − 6x + 16 − 3x2 + 12x – 21 
l(x) = (2x2 − 3x2)(−6x + 12x)(16 − 21) 
l(x) = −1x² + 6x − 5 
 
Função do lucro l(x)= -1x² + 6x – 5 
Gráfico: 
y = -1x² + 6x – 5 
 
∆ = b2 − 4. a. c 
𝑎 = −1 
𝑏 = 6 
𝑐 = −5 
 
∆= 62 − 4. (−1). (−5) 
∆ = 36 − 20 
∆ = 16 
 
 
𝒙 = 
− 𝑏 ± √∆ 
 
 
2. 𝑎 
 
x’ = 
−𝟔+𝟒 
= 
−𝟐 
= 𝟏
 
𝒙 = 
−𝟔 ± √𝟏𝟔 
−𝟐 −𝟐 
𝟐.(−𝟏) 
x’’ = 
−𝟔−𝟒 
= 
−𝟏𝟎 
= 𝟓
 
−𝟐 −𝟐 
 
− ∆ −16 −16 
Vertice = Yv = 
4. 𝑎 
= 
4. (−1) 
=
 −4 
= 𝟒 
 
 
 
 
 
b) Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja máximo? (justifique a sua resposta através do 
cálculo) 
 
Lucro máximo de x: 
−𝑏
 
2𝑎 
= 
− 6 
2.(−1) 
= 
−6 
= 𝟑 𝐮𝐧𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 
−2