Calculo elementar - A2

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Atividade Individual Avaliativa 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Elementar 
 
 
 
 
Professor: Eduardo Lenho 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2021 
Parte I 
 
Texto introdutório para a leitura 
 
Há muitas aplicações importantes na Física e nas Engenharias envolvendo funções exponenciais, 
logarítmicas e trigonométricas. Por exemplo, a função que descreve o crescimento de uma 
população, o número de pessoas infectadas por um vírus, osciladores harmônicos simples, carga 
e descarga de um capacitor, etc... 
 
Faça uma pesquisa sobre FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (funções exponenciais, logarítmicas 
e trigonométricas) e comente sobre as suas aplicações na Física/Engenharia emuma área que seja 
do seu interesse. Cite três aplicações nas engenharias. 
 
 
Função logarítmicas 
 
A lei de formação f(x) = logax, cujo domínio são os números reais positivos e o 
contradomínio são os números reais. A base “a”, por definição, deve ser positiva e 
diferente de 1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial. Essa 
função pode ser crescente ou decrescente, ela é decrescente quando a sua base é um 
número maior que 0 e menor que 1, e crescente quando a sua base é maior do que 1. 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
Aplicação: Na computação usa-se para cálculo de desempenho de sistemas. 
 
O logaritmo de base 2 é usado para representar o número de bits (bits) de informação. 
Algoritmos executados em tempo logarítmico são comumente usados em operações 
de árvore binária ou quando a pesquisa binária é usada. Se log n, log2n, é chamado 
de tempo logarítmico. Uma vez que os computadores usam um sistema numérico 
binário, os logaritmos são geralmente de base 2. 
 
 
Função Trigonométricas 
 
As funções trigonométricas são funções seno, cosseno e tangente. Todas as funções 
trigonométricas associam o valor do ângulo em graus ou radianos ao valor da razão 
trigonométrica. Essa relação pode ser alcançada estudando o ciclo trigonométrico. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm
Seno: lei de formação é f(x) = sen (x). Como o seno de um ângulo, assim como o 
cosseno, é sempre um número entre 1 e -1, então, -1 ≤ sen (x) ≤ 1. 
 
Cosseno: lei de formação é f(x) = cos (x). Como o cosseno de um ângulo é sempre um 
número entre 1 e -1, então, -1 ≤ cos (x) ≤ 1. 
 
Tangente: lei de formação da função tangente é f(x) = tan(x). Ela não possui valor de 
máximo nem valor de mínimo. 
 
 
 
Relações 
Trigonométricas 
30° 45° 60° 
Seno 1/2 √2/2 √3/2 
Cosseno √3/2 √2/2 1/2 
Tangente √3/3 1 √3 
 
 
 
Figura do Círculo 
Trigonométrico dos ângulos 
expressos em graus e radianos 
Tabela que envolve somente os 
ângulos notáveis, ou seja, os 
ângulos de 30º, 45º e 60º 
 
 
 
Aplicação 1: Na física. Medição da tragetória de um objeto. 
 
Quando se deseja fazer uma passagem de ar em um jogo de futebol, é preciso 
procurar um ângulo e definir claramente para onde ele aponta. Considerando 
todos esses pontos, você pode calcular a trajetória da bola. 
 
 
 
 
Aplicação 2: Engenharia Civil. Construção de escadas. 
 
O diagrama de escada de linha vertical (do qual estamos lidando) pode ser 
representado por um triângulo retângulo, então as razões trigonométricas de seno, 
cosseno e tangente podem ser usadas para resolver alguns problemas envolvendo 
escadas. 
 
 
 
Parte II 
 
Nas próximas questões, você terá a oportunidade de colocar em prática o que aprendeu para resolver 
problemas aplicados envolvendo função exponencial e logarítmica. 
 
1) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser 
representado por uma função exponencial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑏𝑥, conforme o gráfico abaixo. 
 
 
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂 × 𝒃𝒙 
Do grafico temos os seguintes pontos: 
 
𝒇(𝟎) = 𝟗𝟔𝟎% 
𝒇(𝟕) = 𝟕, 𝟓% 
 
Da primeira equação temos: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂 × 𝒃𝒙 
𝟗𝟔𝟎 = 𝒂 × 𝒃𝟎 
𝟗𝟔𝟎 = 𝒂 × 𝟏 
𝒂 = 𝟗𝟔𝟎 
 
Substituir valor de “a” na segunda equação: 
 
𝟕, 𝟓 = 𝟗𝟔𝟎 × 𝒃𝟕 
𝒃𝟕 = 
𝟕, 𝟓 
𝟗𝟔𝟎 
𝟏 
𝒃𝟕 = 
𝟏𝟐𝟖 
 
𝟕 
𝒃 = √ 
𝟏 
𝒃 = 
𝟐
 
𝟏 
𝟏𝟐𝟖 
Voltando para função exponencial: 
 
𝟏𝒙 
𝒇(𝒙) = 𝟗𝟔𝟎 × 
𝟐 
Achar a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 
𝒇(𝟒): 
 
 
𝒇(𝟒) = 𝟗𝟔𝟎 × ( 
𝟏 𝟒 
𝟐
) 
𝒇(𝟒) = 𝟗𝟔𝟎 × 
𝒇(𝟒) = 𝟔𝟎 
𝟏 
 
 
𝟏𝟔 
 
 
 
Resposta: A taxa de inflação no quarto ano é de 60%. 
 
2) A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma 
ser encontrada em reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, é 
um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, 
em determinada região, a população de onças-pintadas, 𝑃(𝑡), daqui a 𝑡 anos, 
será́ estimada pela função: 𝑃(𝑡) = 60(1 + 𝑒-0, 05𝑡). O número e pode ser 
calculado com tanta precisão quanto se queira, mas, nesta questão, 
aproxime-o, quando necessário, para 2,7. 
 
 
 
a) faça uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos. 
Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo. 
 
t = 20 anos 
𝑒 ≅ 𝟐, 𝟕 
 
Substituindo: 
𝑷(𝟐𝟎) = 𝟔𝟎 × (𝟏 + 𝟐, 𝟕−𝟎,𝟎𝟓×𝟐𝟎) 
𝑷(𝟐𝟎) = 𝟔𝟎 × (𝟏 + 𝟐, 𝟕−𝟏) 
𝟏 
𝑷(𝟐𝟎) = 𝟔𝟎 × (𝟏 + 
𝑷(𝟐𝟎) = 𝟔𝟎 × 𝟏, 𝟑𝟕 
𝑷(𝟐𝟎) = 𝟖𝟐 
𝟐, 𝟕
)
 
 
Resposta: Daqui a vinte anos habitarão essa região 82 onças-pintadas. 
 
b) se mantiver esse decrescimento, daqui a quantos anos será atingido o ponto em que a 
extinção é inevitável, considerada pelos biólogos em cem indivíduos? Utilize esses valores 
para os logaritmos neperianos de 2 e 3: ln 2 = 0,69; ln 3 = 1,10. 
 
P(t) = 100 
𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟎 × (𝟏 + 𝒆−𝟎,𝟎𝟓𝒕) 
𝟏𝟎𝟎 
= 𝟏 + 𝒆−𝟎,𝟎𝟓𝒕 
𝟔𝟎 
𝟓 
= 𝟏 + 𝒆−𝟎,𝟎𝟓𝒕 
𝟑 
𝟓 
− 𝟏 = + 𝒆−𝟎,𝟎𝟓𝒕 
𝟑 
𝟐 
= 𝒆−𝟎,𝟎𝟓𝒕 
𝟑 
𝟐 
𝒍𝒏 = 𝒍𝒏 𝒆−𝟎,𝟎𝟓𝒕 
𝟑 
𝐥 𝐧 𝟐 − 𝐥 𝐧 𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟓𝒕 
𝟎, 𝟔𝟗 − 𝟏, 𝟏𝟎 = −𝟎, 𝟎𝟓𝒕 
−𝟎, 𝟒𝟏 = − 𝟎, 𝟎𝟓𝒕 
−𝟎, 𝟒𝟏 
𝒕 = 
−𝟎, 𝟎𝟓 
𝒕 = 𝟖, 𝟐 
 
 
3) Uma das aplicações de funções exponenciais é o decaimento de amostras radioativa. Certa 
substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, e a quantidade 
ainda não desintegrada da substância é 𝑆 = 104. 2-0,5𝑡 gramas. Responda: 
 
a) qual é a quantidade inicial da substância? 
 
𝟏𝟎𝟒 
 
b) qual será a quantidade desintegrada daqui a 10 anos? 
 
𝑺 = 𝟏𝟎𝟒 × 𝟐−𝟎,𝟓×𝟏𝟎 
𝑺 = 𝟑𝟏𝟑 
 
c) qual é o valor de 𝑡 para que a metade da quantidade inicial se desintegre? 
𝑺(𝒕) = 𝟏𝟎𝟒 × 𝟐−𝟎,𝟓𝒕 
𝟏𝟎𝟒 
= 𝟏𝟎𝟒 × 𝟐−𝟎,𝟓𝒕 
𝟐 
𝟏 
= 𝟐−𝟎,𝟓𝒕 
𝟐 
𝟏 = 𝟐−𝟎,𝟓𝒕 × 𝟐 
−𝟎, 𝟓𝐭 + 𝟏 = 𝟎 
𝟎, 𝟓𝐭 = 𝟏 
𝐭 = 𝟐 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬 
 
Para finalizar a sua atividade avaliativa, mostre que o que você aprendeu sobre trigonometria 
em uma questão envolvendo uma aplicação. 
 
4) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O 
percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçado na 
figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo 
com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60° e DE é paralelo a BC. 
 
 
Assumindo o valor √3 = 1,7 e sabendo-se que AB=2km, BC=3km, DE=1km e FH=3,3km, 
determine: 
a) as medidas dos segmentos BD e EF em quilômetros; 
 
BD = BF – DF 
𝟑 𝟏 
BD = – 
𝑪𝑶𝑺 𝟔𝟎 
 
 
𝑪𝑶𝑺 𝟔𝟎 
𝑩𝑫 = 𝟔 – 𝟐 
𝑩𝑫 = 𝟒 𝒌𝒎 
 
 
EF 
𝑬𝑭 
𝟏 
= 𝒕𝒈 𝟔𝟎 
 
𝑬𝑭 = √𝟑 
𝑬𝑭 = 𝟏, 𝟕 𝒌𝒎 
 
b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo-se que o valor da corrida do táxi 
é dado pela função 𝑦 = 4 + 0,8𝑥 sendo 𝑥 a distância percorrida em quilômetrose 𝑦 o valor da 
corrida em reais. 
 
𝑦 = 4 + 0,8𝑥 
 
𝒙 = 𝐀𝐁 + 𝐁𝐃 + 𝐃𝐄 + 𝐄𝐅 + 𝐅𝐇 
𝒙 = 𝟐 + 𝟒 + 𝟏 + 𝟏, 𝟕 + 𝟑, 𝟑 
𝒙 = 𝟏𝟐 
 
𝒚 = 𝟒 + 𝟎, 𝟖 × 𝟏𝟐 
𝒚 = 𝟏𝟑, 𝟔𝟎 
 
Resposta: O preço da corrida foi R$ 13,60.